届高三数学一模考试试题文.docx
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届高三数学一模考试试题文
辽宁省丹东市2018届高三数学一模考试试题文
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知
，
，
，则
A．
或
B．
C．
或
D．
2．若复数
为纯虚数，则实数
A．1B．
C．1或
D．
或2
3．已知双曲线
的一条渐近线方程为
，则
A．2B．3C．4D．9
4．我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：
“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？
”意思是：
“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？
”根据上述已知条件，该女子第3天所织布的尺数为
A．
B．
C．
D．
5．执行右面的程序框图，若输入a
，b
，则输出的
A．3
B．4
C．5
D．6
6．如果甲去旅游，那么乙、丙和丁将一起去．据此，下列结论正确的是
A．如果甲没去旅游，那么乙、丙、丁三人中至少有一人没去．
B．如果乙、丙、丁都去旅游，那么甲也去．
C．如果丙没去旅游，那么甲和丁不会都去．
D．如果丁没去旅游，那么乙和丙不会都去．
7．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
A．
B．
C．
D．
8．将函数
的图象向左平移
个单位后，便得到函数
的图象，则正数
的最小值为
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
是奇函数，且
，
，则
A．3B．2C．
D．
10．设
，则函数
A．有极值B．有零点C．是奇函数D．是增函数
11．已知数列
是公差为3的等差数列，
是公差为5的等差数列，若
，则数列
为
A．公差为15的等差数列B．公差为8的等差数列
C．公比为125的等比数列D．公比为243的等比数列
12．设F为抛物线C：
的焦点，直线
交C于A，B两点，O为坐标原点，若△FAB的面积为
，则
A．
B．
C．2D．4
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数
，
满足
，则
的最小值为．
14．如图，一铜钱的直径为32毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为8毫米，现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米落在铜钱的正方形小孔内的概率为．
15．直角△
的三个顶点都在球
的球面上，
，若球
的表面积为
，则球心
到平面
的距离等于．
16．已知△
的边
的三等分点分别为
，若线段
上一点
满足：
，则
的取值范围是．
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
已知△
内角
，
，
的对边分别为
，
，
，
．
（1）求
；
（2）若
，
，求△
的面积．
18．（12分）
某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示．
5
6
5
8
6
0
1
3
6
2
4
6
9
7
1
2
7
1
3
8
0
1
8
1
甲
乙
（1）分别求甲乙两个小组成绩的平均数与方差；
（2）分析比较甲乙两个小组的成绩；
（3）从甲组高于70分的同学中，任意抽取2名同学，求恰好有一名同学的得分在[80,90）的概率．
19．（12分）
如图，△
是边长为2的正三角形，
平面
，
∥
，
．
（1）求证：
平面
平面
；
（2）求
点到平面
的距离．
20．（12分）
已知动圆
过定点
且与圆
：
相切，记动圆圆心
的轨迹为曲线
．
（1）求C的方程；
（2）设
，B
，P为C上一点，P不在坐标轴上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：
为定值．
21．（12分）
已知函数
，
．
（1）求
单调区间；
（2）设
，证明：
在
上有最小值；设
在
上的最小值为
，求函数
的值域．
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），将
上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线
．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求
的极坐标方程；
（2）设
，
为
上两点，若
，求
的值．
23．[选修4-5：
不等式选讲]（10分）
已知
，
，
．证明：
（1）
；
（2）
．
参考答案
一、选择题
1．A2．A3．B4．B5．B6．C
7．D8．C9．D10．D11．A12．B
二、填空题
13．314．
15．116．
三、解答题
17．解：
（1）由于
，所以
，
．因为
，故
．…………6分
（2）根据正弦定理得
，
，
．
因为
，所以
．…………8分
由余弦定理得
得
．
因此△
的面积为
．…………12分
18．解：
（1）记甲乙成绩的的平均数分别为
，
，则
．
．
记甲乙成绩的的方差分别为
，
，则
．
．
…………4分
（2）因为
，所以甲乙两个小组成绩相当；
因为
，所以乙组成绩比甲组成绩更稳定．…………8分
（3）由茎叶图知，甲组高于70分的同学共4名，有2名在[70,80），记为
，
，有2名在[80,90）记为
，
．
任取两名同学的基本事件有6个：
（
），（
），（
），（
），（
），（
）．
恰好有一名同学的得分在[80,90）的基本事件数共4个：
（
），（
），（
），（
）．
所以恰好有一名同学的得分在[80,90）的概率为
．…………12分
19．解：
（1）取
边的中点
，
的中点为
，
连接
，
，
，则
．
因为
是△
的中位线，由题设
∥
，且
，所以四边形
为平行四边形，于是
∥
．
因为
平面
，所以
，
所以
，故
平面
．所以
平面
，又
面
，
故平面
平面
．…………6分
（2）由
（1）
，△
面积为2，所以三棱锥
的体积为
．
由
（1）
，
，△
面积为2．
设
点到平面
的距离为
，则三棱锥
的体积为
．
因为三棱锥
与三棱锥
的体积相等，所以
，即
点到平面
的距离为
．…………12分
20．解：
（1）圆
的圆心为
，半径为4，
在圆
内，故圆
与圆
相内切．
设圆
的半径为
，则
，
，从而
．
因为
，故
的轨迹是以
，
为焦点，4为长轴的椭圆，其方程为
．…………6分
（2）设
，则
，即
．
直线PA：
，
代入得
，所以
．
直线PA：
，
代入得
，所以
．
所以
．
综上，
为定值4．…………12分
21．解：
（1）
．
由
得
，或
；由
得
．
所以
在
单调递增，
单调递减，在
单调递增．
…………4分
（2）
．设
，则当
时，
，
在
上是增函数．
因为
，
，故
在
上有唯一零点
．
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增．故当
时，
在
上的最小值
．
…………8分
因为
，
，所以
．
当
时，
是
的递减函数，所以
等价于
．
由
（1）知
在
递减，所以
于是函数
的值域为
．…………12分
22．解：
（1）由题设
的参数方程为
（
为参数），消去
得
的普通方程为
．
将
，
代入
得
的极坐标方程为
．…………5分
（2）不妨设
，
的极坐标分别为
，
，则
，
．
从而
，
，所以
，因此
．…………10分
23．证明：
（1）因为
．
所以
．…………5分
（2）方法1：
由
（1）及
得
．
因为
，
．
于是
．…………10分
方法2：
由
（1）及
得
．
因为
，所以
．
故
．…………10分
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