青岛版数学九年级上全册学案第3章.docx
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青岛版数学九年级上全册学案第3章
3.1一元二次方程
【学习目标】1.认识一元二次,会辨认一元二次方程。
2.学会把一元二次方程化成一般形式,并能找出二次方程系数、一次项系数和常数项。
3.感悟一元二次方程与实际生活的密切关系。
【学习过程】
一.知识回顾:
一元一次方程:
分式方程:
二.自主探究:
(一)一元二次方程的概念
1.自学课本72页内容,得到的三个方程分别是:
①
②③
2.整理这三个方程,使方程的右边为0,并左边按x的将幂排列。
①②③
这三个方程的共同特点:
3.像这样的方程叫做一元二次方程。
对应练习:
1.下面的方程是一元二次方程吗?
为什么?
(1)x2-9=0
(2)y2-4y=0(3)1/3x-x2=0(4)4s(s-1)=4s2+2
(5)3x+x2-1=0(6)3x3-4x2+1=0
2.关于x的方程(a-1)x2-3ax+5=0是一元二次方程,这时的取值范围是___________
(二)一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为___________________,二次项是________,一次项是________,常数项是_______,其中a称为__________b称为__________.
对应练习:
1.一元二次方程3x2=5x的一般形式为____________,二次项系数为__________一次项系数为__________常数项为__________.
2.将下列一元二次方程化为一般形式,并分别指出它的二次项系数,一次项系数,常数项。
①3x(x+1)=4(x-2)②(x+3)2=(x+2)(4x-1)③2(y+5)(y-1)=y2-8④2t=(t+1)2
三.课堂小结
四.课堂检测:
1.下列方程是关于x的一元二次方程的是()
A:
ax2+bx+c=0B:
k2x+bk+6+0C:
3x2+2x+1=0D(m2+3)x2+3x-2=0
2.方程(3x-1)(2x+4)=1化为一般形式是其中二次项系数为_________,一次项系数为______,常数项为_______.
3.小明家有一块长150㎝,宽100㎝的矩形地毯,为了使地毯美观,小明请来了工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯,镶完后的面积是原地毯面积的2倍,若设花色地毯的宽为x㎝,则根据题意,可列方程为____________________,并化成一般形式
3.2用配方法解一元二次方程
(1)
【学习目标】1.知道什么叫开平方法。
2.学会利用开平方的方法解一元二次方程。
【学习过程】
一.复习回顾:
1.平方根的定义____________________________。
2.求下列各数的平方根:
4,6,0,12.
3.负数有没有平方根?
相关知识链接:
为美化校园,我校决定将校园中心边长为40米的正方形草坪扩为面积为2500平方米的正方形,请同学们计算一下边长应该增加多少?
解:
设边长应增加x米,根据题意可列方程_________________________________
同学们思考,怎样解这个方程?
二.探求新知:
自学课本80页内容,再根据平方根的意义,解下列方程
①x2=9②x2=6③(x+3)2=1④(x-2)2=2
方法总结:
通过学习,总结以上各题的特点:
1.如果一个一元二次方程一边是____________________
另一边是_____________________________就可以用开平方法求解。
2.利用开平方解一元二次方程,一定注意方程有__________个解。
三.典型例题:
例1.解方程:
4x2-7=0
对应练习:
解方程
①49x2=25②0.5x2-32=0③2x2=3④9x2-8=0
例2.9(x-1)2=25
对应练习:
(1)(x+1)2=16
(2)(6x-1)2=81
小结:
当堂测试:
1.下列方程,能否用开平方法求解()
(1)2x2=1
(2)3x2+1=0(3)9(x-2)2=25(4)x2-4x+4=9
2.利用开平方法解方程:
(1)4x2=9
(2)2(x-3)2=8
3.解方程:
(x+
)(x-
)=2
3.2用配方法解一元二次方程
(2)
学习目标:
1.知道配方法与开平方法的关系。
2.学会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
3.归纳配方法解一元二次方程的一般步骤,并熟练解方程。
学习过程:
一.拓通准备:
1.回顾开平方法解方程,方程具备的特点:
__________________.
2.添加适当的数,使下列等式成立。
(1)x2+6x+_______=(x+3)2
(2)x2+18x+______=(x+____)2
(3)x2-16x+______=(x-____)2(4)x2+Px+______=(x+____)2
(5)x2-x+______=(x-____)2
二.探求新知:
1.观察方程:
x2+10x+25=26,左边可以变成______________,原方程变成__________,用开平方法解这个方程。
2.观察方程x2+10x=1,它与上述方程有哪些相同和不同?
怎样变化就可以得到方程一的形式
3.总结上述方程解法中,关键是哪一步?
具体做法是什么?
_____________________________________________________________________.
4.什么是配方法?
______________________________________.
三.典型例题:
用配方法解方程:
(1)x2-3x=-2
(2)x2-6x+8=0
方法总结:
1.用配方法解一元二次方程时,常数项和一次项系数有什么关系?
2.用配方法解一元二次方程的具体步骤:
___________________________________.
对应练习:
用配方法解下列方程:
(1)x2+4x=-3
(2)x2-6x=7(3)Y2=3Y-2(4)x2+12x+1=0
四.拓展延伸:
用配方法解方程:
(x+1)2+2(x+1)=8
五.课堂小结
六.当堂检测:
1.关于x的方程x2+a+1=2x有解得条件是()
A.a<0B.a>0C.a为非负数D.a为非正数
2.填空:
(1)x2-7x+_____=(x-____)2
(2)x2+20x+_____=(x+____)2
3.利用配方法解下列方程:
(1)x2-3x+2=0
(2)x2-5x=6
4.在一块长35m,宽26m的矩形地面上,修建同样宽的
两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,要使剩余部分
的面积为850㎡,道路的宽应为多少?
3.2用配方法解一元二次方程(3)
学习目标:
1、学会用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程。
2、熟记配方法解一元二次方程的步骤。
3、体会配方法解一元二次方程的实际意义。
学习过程:
一.拓通准备:
解方程:
x2+x-1=0
二.探求新知:
解方程:
2x2+3x-1=0
总结方法:
用配方法解一元二次方程时,一般先把二次项系数化为_________,然后把方程的_____________________移到方程的右边,再把左边配成一个_____________________,如果右边是________________,就可以进一步通过直接开平方求它的解.
三.自我训练:
用配方法解下列方程:
(1)3Y2-12=2Y
(2)3x2-5x-2=0(3)3x2+4x-1=0(4)2x2-2
x+1=0
四.能力提升:
1.用配方法解方程x(2x-1)=32.实际应用:
当x取何值时,2x2-3x+1的值等于3.
五.拓展延伸:
如果P与q都是常数,且P2≥4q,你会用配方法解关于x的一元二次方程x2+Px+q=0吗?
试一试。
六.当堂达标:
1.用配方法解方程2x2-3=-6x,正确的解法是()
A:
(x+
)2=
x=﹣
±
B:
(x-
)2=
x=
±
C:
(x+
)2=﹣
原方程无解。
D:
(x+
)2=
x=﹣
±
2.若用配方法解方程,2x2-
x-4=0时,原方程可变形为__________________.
3.用配方法解下列方程:
(1)3x2-6x=0
(2)2x2-7x+3=0
3.3用公式法解一元二次方程
(1)
学习目标:
1.会用配方法解方程推导出一元二次方程的求根公式。
2.能利用一元二次方程根的判别式判断根的情况。
3.学会运用公式法解一元二次方程。
学习过程:
一.拓通准备:
1.配方法解一元二次方程的步骤:
2.运用配方法解方程ax2+bx+c=0(a,b,c都是常数,且a≠0)
归纳总结:
1.根据上题,得出一元二次方程的求根公式_________________________________________.
2.什么叫做公式法:
_______________________________.
3.一元二次方程根的判别式:
________________________.
4.根据判别式,怎样判断一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况:
当b2-4ac>0,方程_____________________.当b2-4ac=0,方程________________________.
当b2-4ac<0,方程_______________________.
二.自我尝试:
不解方程,根据判别式,判断一元二次方程根的情况。
(1)x2-
x=1=0
(2)x2-x+1=0(3)4x2-4x+1=0
三.典型例题:
用公式法解方程:
(1)2x2+5x-3=0
(2)4x2=9x
四.自我训练:
用公式法解方程
(1)x2+6x+5=0
(2)6Y2-13Y-5=0(3)x2-3x-4=0(4)2x2+1=3x
五.小结:
六.当堂检测:
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c都是常数,且a≠0)的求根公式:
___________________________.用求根公式的前提条件是_____________
2.一元二次方程x2+2=2
x,其中a=____,b=____,c=___,b2-4ac=___.它的根是:
________.
3.下列一元二次方程中,没有实数根的是(_____)
A:
x2+2x-1=0B:
x2+
x+1=0C:
x2-2
x+2=0D:
-x2+x+2=0
4.解下列方程:
(1)2x2+11x+5=0
(2)5x2-2
x+3=0
3.3用公式法解一元二次方程
(2)
学习目标:
1.会熟练地把一元二次方程化成一般形式。
2.巩固公式法解一元二次方程。
学习过程:
一.拓通准备:
1.一元二次方程的一般形式:
____________________________.
2.一元二次方程的求根公式:
_____________________________.
3.解下列方程:
(1)x2-2x-3=0
(2)x2-
x+1=0:
二.自我尝试
(一):
把下列方程化为一般形式,然后用公式法解下列方程。
(1)(x+1)(3x-1)=0
(2)4-(2-Y)2=0
自我训练:
解下列方程
(1)2x2+1=32x
(2)3x2+5(2x+1)=0(3)(x+2)2-2x=3(4)x-2-x(x-2)=0
三.自我尝试
(二)
(1)(2x+1)2=2x+1
(2)(x+1)(x-1)=2
x
四.拓展思维:
1.已知方程x2+kx-6=0的一个根式2,求k及另一个根。
2.如果三角形的两边分别为1和2,第三边式方程2x2-5x+3=0的根,求这个三角形的周长。
五.当堂检测:
1.方程x(2x-1)=3(2x-1)的根是()A.
;B.3;C.
和3;D.
和-3.
2.三角形的两边长分别是8和6,第三边是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根,求解这个三角形的面积
3.两数的和是-12,积是35,求这两个数。
4.公式法解方程:
(1)2x2+7x=4
(2)(x-2)(3x-5)=1
3.4用因式分解法解一元二次方程
学习目标:
1.知道什么是因式分解法。
2.学会用因式分解法解特殊的一元二次方程。
3.通过因式分解法解一元二次方程,体会数学中的转化思想。
学习过程:
一.拓通准备:
1.因式分解法:
_____________,_______________._______________,_______________.
2.把下列各式因式分解
(1)4x2-x
(2)9x2-4
(3)x2-4x+4(4)x2-5x+6
二.探求新知:
自学课本95页内容,归纳出:
1.什么是因式分解法:
_______________________________.
2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
___________________.
三.自我尝试:
直接写出下列方程的两个根:
(1)x(x-1)=0
(2)(y-2)(y+5)=0(3)t2=2t
(3)(x+1)(3x-2)=0(4)(x-
)(5x+
)=0
四.典型例题
例1:
用因式分解法解下列方程:
(1)15x2=6x=0
(2)4x2-9=0
对应练习:
解方程
(1)16x2+10x=0
(2)(y-3)2=1
例2:
解方程
(1)(2x-1)2=(x-3)2
(2)x2-4x+4=0
对应练习:
用因式分解法解方程:
(1)x-2-x(x-2)=0
(2)(x+1)2-25=0(3)x2-5x+6=0(4)(2x+1)2-6(2x+1)+8=0
五.当堂检测:
1.(x+a)(x+b)=0与方程x2-x-30=0同解,则a+b等于()
A:
1B:
-1C:
11D:
-11
2.用因式分解法解方程:
①x(x+3)=x+3②x2=8x③2x(2x+5)=(x-1)(2x+5)
3.5一元二次方程的应用
(1)
学习目标:
1.能根据题意找出正确的等量关系.
2.能正确的列出一元二次方程解决实际问题.
学习过程:
前面我们学习过了一元一次方程、分式方程,并能用它们来解决现实生活与生产中的许多问题,同样,我们也可以用一元二次方程来解决一些问题。
想一想,列方程解应用题的关键是什么?
一.自主学习
例1.如图,有一块长40cm、宽30cm的矩形铁片,在它的四角各截去一个全等的小正方形,然后拼成一个无盖的长方体盒子.如果这个盒子的底面积等于原来矩形铁片面积的一半,那么盒子的高是多少?
分析:
这个问题中的等量关系是:
解:
例2.如图,MN是一面长10m的墙,要用长24m的篱笆,围成一个一面是墙、中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABCD.已知花圃的设计面积为45平方米,花圃的宽度应当是多少?
解:
设矩形花圃ABCD的宽为x(m),那么长____m.
根据问题中给出的等量关系,得到方程_________________________________.
解这个方程,得
= ,
=
根据题意,舍去_________________.
所以,花圃的宽是________m.
二.对应练习
1.从一块正方形木板上锯掉2cm宽的矩形木条,剩余矩形木板的面积是48
.求原正方形木板的面积.
2.有一块矩形的草坪,长比宽多4m.草坪四周有一条宽2m的小路环绕,已知小路的面积与草坪的面积相等地,求草坪的长和宽.
三.当堂检测
1.两个数的和是20,积是51,求这两个数.
2.
如图,道路AB与BC分别是东西方向和南北方向,AB=1000m.某日晨练,小莹从点A出发,以每分钟150m的速度向东跑;同时小亮从点B出发,
以每分钟200m的速度向北跑,二人出发后经过几分钟,
他们之间的直线距离仍然是1000
?
3.5一元二次方程的应用
(2)
学习目标1.会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题.
2.通过列方程解应用问题,进一步提高分析问题、解决问题的能力.
学习过程
一.自主学习
例1.某工厂2002年的年产值为500万元,2004年的产值为605万元,求2002-2004年该
厂年产值的增长率.
提示:
如果设该厂2002-2004年产值的平均增长率为x,那么2003年的年产值为_____________________________,2004年的年产值为______________________________.
例2.某种药品原售价为每盒4元,两次降价后,每盒售价为2.56元,求该药品平均每次的降价率.
提示:
如果设该药品平均每次的降价率为x,那么第一次降价后该药品每盒的售价为______________,第二次降价后该药品每盒的售价为_________________.
二.自我练习
1.两个连续奇数的积是323,求这两个数.
2.将进货单价为40元的商品按50元售出时,能卖500个,已知该商品每涨价1元时,其销售量就减少10个,为了赚8000元利润,售价应定为多少,这时应进货为多少个?
三.当堂小结
四.当堂检测
1.某农场的粮食产量在两年内从600吨增加到726吨,该农场平均每年的增长率是多少?
2.某农机厂一月份生产联合收割机300台,为了满足夏收季节市场对联合收割机的需求,三月份比一月份多生产132台,求二、三两个月平均每月的增长率.
3.已知两个数的和是12,积为23,求这两个数.
4.(山西)“五一”黄金周期间,某高校几名学生准备外出旅游,有两项支出需提前预算:
(1)备用食品费,购买备用食品共花费300元,在出发时,又有两名同学要加入(不再增加备用食品费),因此,先参加的同学平均每人比原来少分摊5元,现在每人需分摊多少元食品费?
(2)租车费:
现有两种车型可供租用,座数和租车费如下表所示:
车型
座数
租车费(元/辆)
A
7
500
B
5
400
请选择最合算的租车方案,(仅从租车费角度考虑)并说明理由。
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