数学中考真题精选.docx

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数学中考真题精选

中考压轴题精选　

专题一：

抛物线与多边形

1．（2011•连云港）如图，抛物线y=

x2﹣x+a与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点在直线y=﹣2x上．

（1）求a的值；

（2）求A，B的坐标；

（3）以AC，CB为一组邻边作▱ACBD，则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上？

请说明理由．

2．（2010•陕西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣1）三点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标．

3．（2010•临沂）如图：

二次函数y=﹣x2+ax+b的图象与x轴交于A（﹣

，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？

若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

4．（2010•徐州）如图，已知二次函数y=

的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．

（1）点A的坐标为　_________　，点C的坐标为　_________　；

（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？

若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？

5．（2007•上海）如图，在直角坐标平面内，函数

（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB．

（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；

（2）求证：

DC∥AB；

（3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式．

6．（2011•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=

（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．

（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；

（2）求△AOB的面积；

（3）Q是反比例函数y=

（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：

AN∥MB．

7．（2011•徐州）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，﹣2）．

（1）求此函数的关系式；

（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；

（3）在

（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？

若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由．

8．（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在

（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？

若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是

（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

9．（2013•乌鲁木齐）如图．在平面直角坐标系中，边长为

的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．

（1）求证：

△OAD≌△EAB；

（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；

（3）在

（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？

若有，求出点P的坐标；

（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．

　专题二：

直角顶点落在直线上

1．（2013•徐州）如图，二次函数y=

x2+bx﹣

的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）请直接写出点D的坐标：

　_________　；

（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；

（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？

若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

2．（2010•徐州）如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．

（1）如图②，若M为AD边的中点，

①△AEM的周长=　_________　cm；

②求证：

EP=AE+DP；

（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？

请说明理由．

3．（2013•滨湖区二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴的负半轴于点A（﹣5，0），交y轴于点B，过点B作BC⊥y轴交函数y=ax2+bx+c的图象于点C（﹣2，4）．

（1）设函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为D，求△ABD的面积．

（2）若P为y轴上的一个动点，连接PA、PC，分别过A、C作PC、PA的平行线交于点Q，连接PQ．试探究：

①是否存在这样的点P，使得PQ2=PA2+PC2？

为什么？

②是否存在这样的点P，使得PQ取得最小值？

若存在，请求出这个最小值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2006•徐州）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD中，边AB=2，边AD=1，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在边DC上，设点A′是点A落在边DC上的对应点．

（1）当矩形ABCD沿直线y=﹣

x+b折叠时（如图1），求点A′的坐标和b的值；

（2）当矩形ABCD沿直线y=kx+b折叠时，

①求点A′的坐标（用k表示）；求出k和b之间的关系式；

②如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图2、3、4所示的三种情形，请你分别写出每种情形时k的取值范围．（将答案直接填在每种情形下的横线上）k的取值范围是　_________　；k的取值范围是　_________　；k的取值范围是　_________　．

5．（2012•连云港）已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，

问题1：

如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？

问题2：

如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？

如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

问题3：

若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？

如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

问题4：

如图3，若P为直线DC上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？

如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

6．（2009•潍坊）已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC的长的最大值是　_________　．

7．（2009•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0），B（6，0），C（0，4

），延长AC到点D，使CD=

AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．

（1）求D点的坐标；

（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

（3）设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：

简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

8．（2008•徐州）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°

操作：

将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．

探究一：

在旋转过程中，

（1）如图2，当

时，EP与EQ满足怎样的数量关系？

并给出证明；

（2）如图3，当

时，EP与EQ满足怎样的数量关系？

并说明理由；

（3）根据你对

（1）、

（2）的探究结果，试写出当

时，EP与EQ满足的数量关系式为　_________　，其中m的取值范围是　_________　．（直接写出结论，不必证明）

探究二：

若

且AC=30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：

（1）S是否存在最大值或最小值？

若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．

（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围．

9．（2010•南通）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（3）若y=

，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

专题三：

运动中的图形膨胀题型

1．（2010•绍兴）如图，设抛物线C1：

y=a（x+1）2﹣5，C2：

y=﹣a（x﹣1）2+5，C1与C2的交点为A，B，点A的坐标是（2，4），点B的横坐标是﹣2．

（1）求a的值及点B的坐标；

（2）点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG．记过C2顶点M的直线为l，且l与x轴交于点N．

①若l过△DHG的顶点G，点D的坐标为（1，2），求点N的横坐标；

②若l与△DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围．

2．（2010•南京改编）如图，正方形ABCD的边长是4，M是AD的中点．动点E在线段AB上运动．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．

（1）求证：

△GEF是等腰三角形；

（2）设AE=x时，△EGF的面积为y．求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．

（4）在点E运动过程中△GEF是否可以成为等边三角形？

请说明理由．

3．（2005•徐州）如图1，已知直线y=2x（即直线l1）和直线y=﹣

x+4（即直线l2），l2与x轴相交于点A．点P从原点O出发，向x轴的正方向作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时点Q从A点出发，向x轴的负方向作匀速运动，速度为每秒2个单位．设运动了t秒．

（1）求这时点P、Q的坐标（用t表示）．

（2）过点P、Q分别作x轴的垂线，与l1、l2分别相交于点O1、O2（如图1）．以O1为圆心、O1P为半径的圆与以O2为圆心、O2Q为半径的圆能否相切？

若能，求出t值；若不能，说明理由．（同学可在图2中画草图）

4．（2011•南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为ts．

（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；

（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．

5．（2009•江苏）如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4）．动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒．

（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；

（2）以点C为圆心、

t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．

①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围；

②当△PAB为等腰三角形时，求t的值．

专题四：

几何图形与函数图象综合题型

1．（2010•徐州）如图①，梯形ABCD中，∠C=90°．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线BA﹣AD﹣DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设E、F出发ts时，△EBF的面积为ycm2．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）梯形上底的长AD=　_________　cm，梯形ABCD的面积　_________　cm2；

（2）当点E在BA、DC上运动时，分别求出y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围）；

（3）当t为何值时，△EBF与梯形ABCD的面积之比为1：

2？

2．（2011•徐州）如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B﹣A﹣C运动到点C时停止运动．设点P出发xs时，△PBC的面积为ycm2．已知y与x的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：

（1）试判断△DOE的形状，并说明理由；

（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？

3．（2012•无锡）如图1，A、D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．

4．（2012•徐州）如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm，AB=dcm．动点E、F分别从点D、B出发，点E以1cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动．以EF为边作正方形EFGH，点F出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm2．已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示．请根据图中信息，解答下列问题：

（1）自变量x的取值范围是　_________　；

（2）d=　_________　，m=　_________　，n=　_________　；

（3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm2？

（2011陕西省12分）如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”

（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个　　三角形

（2）如图②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；

（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？

若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？

若不存在，为什么？