复数与几何教案.docx

复数与几何教案.docx

《复数与几何教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复数与几何教案.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

复数与几何教案

复数与几何·教案

教学目标

1．掌握复平面、向量等有关概念；弄清复数集C与复平面内所有的点组成的集合之间一一对应关系，以及复数与从原点出发的向量之间的一一对应关系；弄清复数模的几何意义．

2．通过数形结合研究复数，提高学生的数形结合能力，突出比较与类比的研究方法．

3．感受到为真理执着追求的精神．进行辩证唯物主义教育．

教学重点与难点

重点：

复数与点与向量的对应关系以及复数的模．

难点：

自由向量与位置向量的区别，以及它们与复数的对应关系．

教学过程设计

师：

我们已经学习了复数的概念．什么是复数？

生：

形如a＋bi的数叫复数．

（学生有不同意见，小声议论）

师：

谁有补充？

生：

形如a＋bi（a，b∈R）的数叫复数．

（教师给予肯定）

师：

a，b∈R的条件很重要，实际上我们是用实数来定义的复数，虽然我们知道了复数的定义，但是复数对于我们来说，总感到摸不着抓不住，不像实数，任何一个实数，都可以在数轴上找到一个点与它对应，那么复数到底在哪里呢？

我们能不能像实数那样来表示复数呢？

生：

数轴上的点不能表示虚数，只能表示实数．

师：

那么用什么可以表示复数呢？

注意复数是由a，b两个实数决定的，可以大胆设想一下，我们可以利用什么来表示复数？

生：

可以用直角坐标系里的点来表示吗？

师：

××提出了一个想法，用直角坐标系内的点来表示复数．这种想法行不行呢？

（在黑板上画出直角坐标系，任取一点（a，b））

师：

能不能用点来表示复数呢？

生：

可以．因为有一个复数a＋bi（a，b∈R），就有一个点（a，b），而有一个点（a，b），就有一个复数a＋bi．

师：

他刚才所说的实际想说明一点复数集与坐标系中的点构成的集合是一一对应的．的确，由复数相等的概念，我们知道一个复数a＋bi由一个有序实数对（a，b）唯一确定，而有序实数对与直角坐标系中的点是一一对应的．因此我们完全可以建立复数集与点集之间的一一对应．看来，用点来表示复数是完全可以的．为了区别表示复数的点与其它的点，我们把这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．那么在这个坐标系中x轴上的点与y轴上的点所表示的复数分别具有什么特点呢？

生：

x轴上的点的纵坐标为0，即复数的虚部为0，因此x轴上的点代表实数．

师：

既然x轴上的点代表了所有实数，我们就把复平面中的x轴叫实轴．那么y轴上的点代表什么样的复数呢？

生：

由于y轴上的点的横坐标都是零，因此y轴上的点表示的是纯虚数．

师：

同学们认为他说得对吗？

（大多数同学认为他说得对，少数人有疑惑）

生：

原点也在y轴上，但0不是纯虚数，而是实数．所以y轴上的点除原点外表示的都是纯虚数．

师：

他说得很对．y轴上只有这个原点捣乱，不然就可以表示所有的纯虚数．因此，我们把去掉原点后的y轴叫虚轴．这样虚轴上所有的点都表示纯虚数．那么，直角坐标平面与复平面有什么区别？

生：

直角坐标平面中的x轴与y轴交于原点，而复平面中的实轴与虚轴没有交点．

师：

我们通过建立复平面，将复数集与复平面上的点建立了一一对应的关系，这样复数对我们来说，也就不显得那样遥远了．但对于复数的认可，在19世纪可没那么简单．第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”，几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位．后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他也感到它的作用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数a＋bi，使复数有了立足之地，人们才最终承认了它．看来复数从发现到最终被人们承认，的确经过了一个漫长坎坷的过程，可最终使人们接受他的还是它的几何表示，用点表示复数后，人们才觉得复数的存在．

（学生对数学史方面的知识很感兴趣，因为他们感到数学的发展是那样神秘，可以凭空造出数来，学生听得聚精会神，当最后得知是用点来表示复数这一理论使复数得以被人承认后，甚至还有些成就感）

师：

用点表示复数后，我们还要介绍一种表示复数的方法，连接坐标原点O与点Z，得到一个具有长度且有方向的线段，这种既有大小又有方向的线段叫有向线段，而有向线段表示的量就叫向量．那么什么叫向量呢？

生：

既有大小又有方向的量叫向量．

师：

能不能举出一些向量的例子？

生：

物理中的力、速度、加速度等都是又有大小又有方向的量，它们都是向量．

师：

现在的问题是我们能不能用向量来表示复数？

我们一般将起点为O，终点为Z的向量记作

．

生：

当然可以．因为有一个向量就对应一个点，而有一个点就对应一个向量，而点与复数有一一对应的关系，因此可用向量表示复数．

（学生议论纷纷，看起来有不同意见）

生：

那我在复平面内任意画一个有向线段

，这个向量表示哪个复数呢？

（大家在思考）

师：

这个问题提得很好．实际上，大家可以想一想，刚才××同学说一个向量对应一个点，一个点对应一个向量，对不对？

怎么样改一下就对了？

生：

应改为起点为原点的向量对应一个点，也就是起点为原点的向量与点构成一一对应．

师：

既然这样，我们就知道，起点为原点的向量与复数是一一对应的．那其它向量怎么办？

它们对应什么复数？

能不能将他们移到原点来？

生：

只要它们的长度和方向与

相同，就可以平移到起点为原点，与

重合的位置上．

师：

实际上，我们把长度相等方向相同的向量叫做相等的向量，其实，我们只要规定相等的向量对应同一个复数，我们就可以用向量来表示复数了．对那些起点不在原点的向量，我们只要怎么做就可以知道它所对应的复数了呢？

生：

只要将它们平移到起点与原点重合，这时向量终点所确定的复数就是那些起点不在原点的向量所表示的复数．

（教师给予肯定）

师：

在这个正六边形中有多少对向量相等，它们分别对应着哪些复数？

师：

这样我们完成了今天我们要讨论的第二个问题：

复数与向量．我们弄清楚了向量可以来表示复数，相等的向量对应着同一个复数．一个复数所对应的向量唯一吗？

生：

一个复数实际上可以对应无数个长度相等、方向相同的向量，只是这些向量的位置不同．

师：

现在我们知道复数可以用点和向量来表示，它们之间的对应关系可以用下图来表示．

有了这种一一对应关系后，我们常把复数z=a＋bi说成点Z（a，b），或说成向量

．

师：

在用有向线段表示向量时，有向线段的长度我们定义为向量的模，即线段OZ的长度为向量

的模．那么

可以表示复数z=a＋bi，那么

的模可以表示复数的哪个量呢？

在实数集中，一个数的绝对值的几何意义就是数轴上的点到原点的距离．在复数集中呢？

生：

向量

的模就是复数的绝对值．

师：

他的意思说出来了，但在复数中，我们一般不叫绝对值，叫复数的模．因此

的模就叫复数的模，只有复数为实数时，我们叫绝对值．那么复数的模具有什么样的几何意义？

生：

复数的模的几何意义是表示复数的点到原点的距离．

（教师给予肯定，并指出复数模的几何意义与实数的绝对值的几何意义是统一的．）

师：

复数的模用什么表示呢？

生：

用实数集中绝对值的符号表示，z的模，记作|z|．

师：

复数z=a+bi，（a，b∈R），那么|z|=？

（学生板演）

师：

我们知道复数一般不能比较大小，而复数的模是实数，可以比较大小．

（将z1，z2所表示的点画在复平面上，再将它们所表示的向量画出来，强调这三者的转化）

例2 设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

（1）|z|=4； 

（2）2≤|z|＜4．

生：

（1）表示到原点距离为4的点．

师：

这样的点构成一个什么图形？

生：

是原点为圆心，半径为4的圆．

师：

是圆面还是只有边界的圆？

为什么？

生：

应该是表示只有边界的圆．因为与复数z对应的点Z，由|z|=4，知道|OZ|=4，即点Z到原点的距离为4．所以z表示的点Z构成一个半径为4的圆．

生：

（2）表示一个圆环．由于|z|的几何意义是点Z到原点的距离，所以2≤|z|＜4表示到原点距离大于等于2，小于4的点所构成的图形．

师：

准确地说这个图形应当是半径为2与半径为4的圆构成的圆环内容及内边界．包不包括边界，主要是由原不等式中的等与不等决定的．

例3 用复数表示下图中的阴影部分．

生甲：

|z|＜3且虚部＜-1．由于图中所示的点在半径为3的圆中，且纵坐标小于-1．

师：

这种表示是否正确？

（学生小声议论）

生：

是两条直线．

师：

夹在这两条直线中间又满足|z|＜3的点显然不仅仅是阴影部

（学生到黑板画出图）

师：

因此刚才乙同学的想法是好在不满足于用一种方法表示，肯思考，但这个题无法用实部来表示．

（下面提问第2小题）

生：

|z|≥3，且实部≤-1．

生：

不对．

师：

看来用实部还是虚部表示，一定要全盘考虑，表示出来后，还要反过来检查一下是否符合题设条件．

（教师小结）

师：

这节课我们共同探寻了复数的几何表示方法以及复数模的几何意义．要特别重视数与点与向量之间的对应关系，在研究的过程中要特别注意与实数的联系与区别．

补充作业

1．判断下列命题的真假，并说明理由：

2．已知|x+yi|=2，求表示复数x+yi的点的轨迹．

4．设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

（1）|z|=3；

（2）|z|＜3；（3）3＜|z|≤5；（4）实部＞0，虚部＞0且|z|＜4．

作业答案或提示

1．①√；②×；③√；④×；⑤√；⑥×．

2．x2+y2=4．3．略．

4．

（1）以原点为圆心，半径为3的圆；

（2）以原点为圆心，半径为3的圆面，不包括边界；

（3）以原点为圆心，半径为3和5的圆构成的圆环内部，包括外边界；

（4）以原点为圆心，半径为4的圆在第一象限的部分，不包括边界．

课堂教学设计说明

本节课是一节内容较为简单的概念课，但所涉及的知识内容，非常重要，它是学习复数的重要一环．

本设计着重突出主体性教学的原则，尽量做到让学生来发现复数的几何表示法，由实数自然地过渡到复数．本节课还将复数的点的表示与向量的表示集中在一节课处理，笔者认为这样有利于学生对复数几何意义的整体把握．

在教学中还注意通过数学史的故事，激发学生的学习兴趣，增强学生的自信心，并自然地将思想教育渗透到教学中．