概率论与数理统计教程魏宗舒第七章答案汇总.docx
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概率论与数理统计教程魏宗舒第七章答案汇总
.第七章假设检验
设总体
，其中参数
，
为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：
（1）
；
（2）
；
（3）
；（4）
；
（5）
.
解：
（1）是简单假设，其余位复合假设
设
取自正态总体
，其中参数
未知，
是子样均值，如对检验问题
取检验的拒绝域：
，试决定常数
，使检验的显著性水平为
解：
因为
，故
在
成立的条件下，
，所以
=。
设子样
取自正态总体
，
已知，对假设检验
，取临界域
，
（1）求此检验犯第一类错误概率为
时，犯第二类错误的概率
，并讨论它们之间的关系；
（2）设
=，
=，
=，n=9，求
=时不犯第二类错误的概率。
解：
（1）在
成立的条件下，
，此时
所以，
，由此式解出
在
成立的条件下，
，此时
由此可知，当
增加时，
减小，从而
减小；反之当
减少时，则
增加。
（2）不犯第二类错误的概率为
设一个单一观测的
子样取自分布密度函数为
的母体，对
考虑统计假设：
试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足
，并求其最小值。
解设检验函数为
（c为检验的拒绝域）
要使
，当
时，
当
时，
所以检验函数应取
，此时，
。
设某产品指标服从正态分布，它的根方差
已知为150小时。
今由一批产品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时?
解总体
，对假设，
，采用U检验法，在
为真时，检验统计量
临界值
，故接受
。
某电器零件的平均电阻一直保持在
，根方差保持在
，改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为
，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？
去显著性水平
=。
解设改变工艺后电器的电阻为随机变量
，则
未知，
，
假设为
，统计量
由于
，故拒绝原假设。
即新工艺对电阻有显著差异。
（1）假设新旧安眠药的睡眠时间都服从正态分布，旧安眠剂的睡眠时间
新安眠剂的睡眠时间
，为检验假设
从母体
取得的容量为7的子样观察值计算得
由于
的方差
未知，可用t检验。
所以不能否定新安眠药已达到新的疗效的说法。
（2）可以先检验新的安眠剂睡眠时间
的方差是否与旧的安眠剂睡眠时间
的方差一致，即检验假设
。
用
-检验，
取
所以接受
不能否认
方差相同。
如认为
的方差
取
，
，所以接受
。
有甲乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析的结果如下：
实验号
12345678
甲
8
乙
试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异？
解此问题可以归结为判断
是否服从正态分布
，其中
未知，即要检验假设
。
由t检验的统计量
取
=，又由于，
，故接受
某纺织厂在正常工作条件下，平均每台布机每小时经纱断头率为根，每台布机的平均断头率的根方差为根，该厂作轻浆试验，将轻纱上浆率减低20%，在200台布机上进行实验，结果平均每台每小时轻纱断头次数为根，根方差为，问新的上浆率能否推广？
取显著性水平。
解设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量
，有子样试验可得其均值和方差的无偏估计为及
，问新上浆率能否推广就要分析每台布机的平均断头率是否增大，即要检验
由于
未知，且n较大，用t检验，统计量为
查表知
，故拒绝原假设，不能推广。
在十块土地上试种甲乙两种作物，所得产量分别为
，
，假设作物产量服从正态分布，并计算得
，
，
，
取显著性水平，问是否可认为两个品种的产量没有显著性差别？
解甲作物产量
，乙作物产量
，即要检验
由于
，
未知，要用两子样t检验来检验假设
，由F检验，统计量为
（取显著性水平）
故接受假设
，于是对于要检验的假设
取统计量
又
时，
，所以接受原假设，即两品种的产量没有显著性差别。
有甲、乙两台机床，加工同样产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品直径为（单位：
mm）：
甲，，，，，。
，
乙，，，，，，。
试比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异？
显著性水平为
。
解：
假定甲产品直径服从
，由子样观察值计算得
，
。
乙产品直径服从
，由子样观察值计算得
，
。
要比较两台机床加工的精度，既要检验
由F-检验
时查表得：
，
由于
，所以接受
，即不能认为两台机床的加工精度有显著差异。
随机从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为（cm）
设钉长服从正态分布，分别对下面两个情况求出总体均值
的90%的置信区间
（1）
；
（2）
未知
解
（1）由子样函数
，
，可求
的置信区间
置信下限
置信上限
（2）在
未知时，由子样函数
，
可求得
置信区间为
置信下限
置信上限
包糖机某日开工包糖，抽取12包糖，称得重量为
假定重量服从正态分布，试由此数据对该机器所包糖的平均重量求置信水平为95%的区间估计。
解由于
未知，用统计量
，计算各数据值后可以得到均值的置信区间，置信上限为
，下限为
随机取9发炮弹做实验，得炮口速度的方差的无偏估计
（米/秒）2，设炮口速度服从正态分布，分别求出炮口速度的标准差
和方差
的置信水平为90%的置信区间。
解选取统计量
，可得
的置信区间为：
因为
故，标准差的置信区间取方差的根方即可。
解：
用子样函数
必须要求
，所以先应检验假设
由样子观察值计算得
所以接受原假设
，可以用两子样t统计量求
的置信水平为95%的置信区间。
置信下限
置信上限
解：
由于
服从
分布，由
所以
的置信区间为
置信下限=
置信上限=
解：
由于
未知，
的置信区间为
假设六个整数1，2，3，4，5，6被随机地选择，重复60次独立实验中出现1，2，3，4，5，6的次数分别为13，19，11，8，5，4。
问在5%的显著性水平下是否可以认为下列假设成立：
。
解：
用
拟合优度检验，如果
成立
列表计算
的观察值：
组数i
频数
1
2
3
4
5
6
13
19
11
8
5
4
10
10
10
10
10
10
3
9
1
-2
-5
-6
，
=
由于
，所以拒绝
。
即等概率的假设不成立。
对某型号电缆进行耐压测试实验，记录43根电缆的最低击穿电压，数据列表如下：
测试电压
击穿频数11127884641
试对电缆耐压数据作分析检验（用概率图纸法和
拟合优度检验）。
解：
用正态概率纸检验出数据基本上服从正态分布，下面
拟合优度检验假设
其中
为
和
的极大似然估计，其观察值
所以要检验的假设
分组列表计算
统计量的观察值。
组距
频数
标准化区间
4.1
4.2
4.3
5
7
8
12
6
5
用
查表
由于
，所以不能否定正态分布的假设。
用手枪对100个靶各打10发，只记录命中或不命中，射击结果列表如下
命中数
：
012345678910
频数
：
0241022261812420
在显著水平
下用
拟合优度检验法检验射击结果所服从的分布。
解对每一靶打一发，只记录命中或不命中可用二点分布描述，而对一个靶打十发，其射击结果可用二项分布
来描述，其中
未知，可求其极大似然估计为
设
是十发射击中射中靶的个数，建立假设
用
拟合优度检验法列表如下：
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
2
4
10
22
26
18
12
4
2
0
取
，
=
由于
，所以接受
。
解：
离散型随机变量的均匀分布是指等概率地取各个值，即要检验
由于母体
是离散型随机变量，所以不能用柯尔莫哥洛夫检验
，应用
-拟合优度检验法。
列表计算
值。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
74
92
83
79
80
73
77
75
76
91
80
80
80
80
80
80
80
80
80
80
0
解：
设25个数据来自母体
，检验假设
柯尔莫哥洛夫检验法检验
的统计量为
列表计算
的观察值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0,1568
取
，查柯尔莫哥洛夫检验的临界值
表，
由于
，所以接受
。
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