高二数学试题精选函数的定义域测试题含答案.docx

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高二数学试题精选函数的定义域测试题含答案

函数的定义域测试题（含答案）

5高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性苏教版

【本讲教育信息】

一教学内容

函数的定义域与值域、单调性与奇偶性

二教学目标

理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。

三教学重点函数性质的运用．

四教学难点函数性质的理解。

［学习过程］

一、知识归纳

1求函数的解析式

（1）求函数解析式的常用方法

①换元法（注意新元的取值范围）

②待定系数法（已知函数类型如一次、二次函数、反比例函数等）

③整体代换（配凑法）

④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）

（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。

（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。

2求函数的定义域

求用解析式＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况

①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；

②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；

④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

⑤若f（x）是由实际问题抽象出的函数，则函数的定义域应符合实际问题

3求函数值域（最值）的一般方法

（1）利用基本初等函数的值域；

（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；

（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）

（4）函数的单调性特别关注的图象及性质

（5）部分分式法、判别式法（分式函数）

（6）换元法（无理函数）

（7）导数法（高次函数）

（8）反函数法

（9）数形结合法

4求函数的单调性

（1）定义法

（2）导数法

（3）利用复合函数的单调性

（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论

①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；

②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；

③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；

（5）求函数单调区间的常用方法定义法、图象法、复合函数法、导数法等

（6）应用比较大小，证明不等式，解不等式。

5函数的奇偶性

奇偶性定义注意区间是否关于原点对称，比较f（x）与f（－x）的关系。

f（x）－f（－x）＝0f（x）＝f（－x）f（x）为偶函数；

f（x）+f（－x）＝0f（x）＝－f（－x）f（x）为奇函数。

判别方法定义法，图象法，复合函数法

应用把函数值进行转化求解。

6周期性定义若函数f（x）对定义域内的任意x满足f（x+T）＝f（x），则T为函数f（x）的周期。

其他若函数f（x）对定义域内的任意x满足f（x+a）＝f（x－a），则2a为函数f（x）的周期

应用求函数值和某个区间上的函数解析式。

二、典型例题分析

例1若集合A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2}求从集合A到集合B的映射的个数。

分析解决这类问题，关键是要掌握映射的概念设A、B是两个集合，对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则f，若集合B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则f叫做从集合A到集合B的映射。

这里要掌握关键的两个词”任何”、“唯一”。

对于本例，集合A＝{a1，a2，a3}中的每一个元素的象都有b1或b2这两种情形，由乘法原理可知，A到B的映射的个数共有N＝222＝8个。

例2线段|Bc|＝4，Bc的中点为，点A与B、c两点的距离之和为6，设|A|＝，|AB|＝x，求＝f（x）的函数表达式及这函数的定义域。

解1°若A、B、c三点不共线，如图所示，由余弦定理可知，

x2＝22+2－4cs∠AB①

（6－x）2＝22+2－4cs（180°－∠AB）②

①+②x2+（6－x）2＝22+8∴2＝x2－6x+14

又x2－6x+14＝（x－3）2+5恒正，∴

又三点A、B、c能构成三角形

∴1＜x＜5

2°若三点A、B、c共线，由题意可知，

x+4＝6－x，x＝1或4+6－x＝xx＝5

综上所述

说明第一，首先要分析三点A、B、c是否在同一条直线上，因为由题意，A、B、c不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形讨论。

第二，实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。

例3设f（x）为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，＝f（x）的图象是经过点（－2，0），斜率为1的射线，又在＝f（x）的图象中有一部分是顶点在（0，2），且过点（－1，1）的一段抛物线，试写出函数f（x）的表达式，并在图中作出其图象。

解

（1）当x≤－1时，设f（x）＝x+b

∵射线过点（－2，0）∴0＝－2+b即b＝2，∴f（x）＝x+2

（2）当－1x1时，设f（x）＝ax2+2

∵抛物线过点（－1，1），∴1＝a（－1）2+2，即a＝－1

∴f（x）＝－x2+2

（3）当x≥1时，f（x）＝－x+2

综上可知f（x）＝作图由读者完成。

例4求下列函数的定义域

（1）

（2）

解

（1）

∴x≥4或x≤－1且x≠－3，即函数的定义域为（－∞，－3）∪（－3，－1）∪[4，+∞]

（2），则

∴0x2－3x－10≤8，即

∴－3≤x＜－2或5＜x≤6即定义域为[－3，－2]∪（5，6）

说明求函数的定义域，我们常常可以从以下三个方面考虑若有分母则分母不为零、若有偶次根式则被开方数大于或等于零、若有对数式，则真数大于零、底数大于零且不等于1。

求函数的定义域，实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。

变、已知函数f（x）的定义域为[－1，4]，求的定义域。

解，则

又，∴或

则或即为所求函数的定义域。

说明此题实质上是求复合函数的定义域，我们把看成是由＝f（u）、两个函数复合而成的，因为－1≤u＜4，则，从而求出x的范围，另外，对不等式进行倒数运算时，应注意不等式两边必须同号，取倒数后不等号的方向改变，这里也是学习时常常容易发生错误的地方，应加以重视。

例5若对于任何实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围。

解令f（x）＝|x－1|+2|x－2|，去绝对值把f（x）表示成分段函数后为

5－3xx＜1

f（x）＝3－x1≤x≤2

3x－5x＞2

作出＝f（x）的图象如图，由此可知f（x）的最小值为1，f（x）＞a对一切实数x恒成立，则a＜1。

说明该题看上去是一个不等式的问题，若用去绝对值分类讨论的方法求解则比较繁锁，而如果注意到不等式左边是一个关于x的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题，这种解题思想应引起我们的注意。

另外，对于函数f（x）＝|x－1|+2|x－2|只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图象，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间，值域等一切问题都可以迎刃而解了。

例6求函数的值域。

解令，则13－4x＝t2

∴

该二次函数的对称轴为t＝1，又t≥0由二次函数的性质可知≤4，当且仅当t＝1即x＝3时等式成立，∴原函数的值域为（－∞，4）。

说明对于所有形如的函数，求值域时我们可以用换元法令

转化为关于t的二次函数在区间[0，+∞）上的最值处理。

这里要注意t≥0的范围不能少。

如已知f（x）的值域为，试求函数的值域。

该题我们只需要把f（x）看成是一个变量，则求值域时仍可用上述换元法，但是如果被开方数不是关于x的一次式，而含x的平方项，则就不能用上述换元法了。

如求函数的值域，若令，则x无法用t表示。

这里我们如果注意到x的取值范围－2≤x≤2，则－1≤≤1的话，我们就可以用三角换元令θ∈[0，π]，问题也就转化为三角函数求最值了。

同样我们作三角换元时，要注意θ的限制条，因为当θ取遍0到π之间的每一个值时，恰好可以取遍－1到1之间的每一个值，若不限制θ的范围，则根号无法直接去掉，就会给我们解题增添麻烦。

例7求下列函数的最值。

（1）

（2）

解

（1）先求出函数的定义域

∴－2≤x≤7，又在区间[－2，7]上函数单调递增，单调递增，所以在定义域内也单调递增。

当x＝－2时，；当x＝7时，

（2）∵≥0∴2＝x2（1－x2）由基本不等式可知

2＝x2（1－x2）≤，又≥0∴，。

说明对于一些比较复杂的函数，求值域或最值时，如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式，问题往往会很快得到解决。

在运用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”的条，特别是要注意等号能否成立。

例8设a＞0，x∈[－1，1]时函数＝－x2－ax+b有最小值－1，最大值1，求使函数取得最小值和最大值时相应的x的值。

解

∵a＞0，∴＜0，又定义域为[－1，1]

∴x＝1时，即－1－a+b＝－1∴a－b＝0

下面分a的情形讨论

1°当0＞≥－1即0＜a≤2时，

当时，即，则

∴a2+4a－4＝0，

又a∈（0，2）∴，则

2°当＜－1，即a＞2时，当x＝－1时

∴－1+a+b＝1，a+b＝2又a＝b∴a＝1与a＞2矛盾，舍去

综上所述x＝1时，，时。

例9已知函数＝f（x）＝（a，b，c∈R，a0，b0）是奇函数，当x0时，f（x）有最小值2，其中b∈N且f

（1）

（1）试求函数f（x）的解析式；

（2）问函数f（x）的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由

解

（1）∵f（x）是奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），即

∴c＝0，∵a0，b0，x0，∴f（x）＝≥2，

当且仅当x＝时等号成立，于是2＝2，∴a＝b2，

由f

（1）＜得＜即＜，∴2b2－5b+2＜0，解得＜b＜2，又b∈N，∴b＝1，∴a＝1，∴f（x）＝x+

（2）设存在一点（x0，0）在＝f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2－x0，－0）也在＝f（x）的图象上，则

消去0得x02－2x0－1＝0，x0＝1±

∴＝f（x）的图象上存在两点（1+，2），（1－，－2）关于（1，0）对称

例10已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在［0，+∞）上是增函数，是否存在实数，使f（cs2θ－3）+f（4－2csθ）f（0）对所有θ∈［0，］都成立？

若存在，求出符合条的所有实数的范围，若不存在，说明理由

解∵f（x）是R上的奇函数，且在［0，+∞）上是增函数，∴f（x）是R上的增函数于是不等式可等价地转化为f（cs2θ－3）f（2csθ－4），

即cs2θ－32csθ－4，即cs2θ－csθ+2－20

设t＝csθ，则问题等价地转化为函数

g（t）＝t2－t+2－2＝（t－）2－+2－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g（t）在［0，1］上的最小值为正

∴当0，即0时，g（0）＝2－201与0不符；

当0≤≤1时，即0≤≤2时，g（）＝－+2－20

4－24+2，∴4－2≤2

当1，即2时，g

（1）＝－101∴2

综上，符合题目要求的的值存在，其取值范围是4－2

另法（仅限当能够解出的情况）cs2θ－csθ+2－20对于θ∈［0，］恒成立，

等价于（2－cs2θ）/（2－csθ）对于θ∈［0，］恒成立

∵当θ∈［0，］时，（2－cs2θ）/（2－csθ）≤4－2，

∴4－2

例1