线段的垂直平分线有答案.docx
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线段的垂直平分线有答案
线段的垂直平分线
一、选择题（共5小题）
1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．
AC、BC两边高线的交点处
B．
AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．
AC、BC两边中线的交点处
D．
∠A、∠B两内角平分线的交点处
2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ）
A．
18
B．
22
C．
24
D．
26
3．如图：
△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（ ）
A．
∠ADC=45°
B．
∠DAC=45°
C．
DB=DA
D．
BD=DC
4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD的周长等于12，则△ABC的周长为（ ）
A．
20
B．
18
C．
16
D．
14
5．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ）
A．
三边垂直平分线的交点
B．
三条角平分线的交点
C．
三条高的交点
D．
三边中线的交点
二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）
6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为 _________ cm．
7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是 _________ cm．
8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于 _________ ．
9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为 _________ ．
10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB= _________ ．
三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）
11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．
（1）若AC=BC，求BC的长；
（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．
12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．
（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗？
为什么？
（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．
13．已知：
如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．
14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求证：
BF=AC+AF．
15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18即BE+CE+BC=18，求BC的长？
16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，
求证：
E点在线段AC的垂直平分线上．
17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．
（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？
请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．
（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．
18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD的延长线于F，
求证：
DE=DF．
19．已知：
如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，
求证：
∠B=∠E．
20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．
求证：
（1）∠ABC=∠ADC；
（2）AC⊥BD．
21．如图，已知：
E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：
OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？
并证明你的结论．
22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．
求证：
∠FAC=∠B．
23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？
24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：
CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？
请写出你的结论，并说明理由．
25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：
（1）△ABC≌△DCB；
（2）点M在BC的垂直平分线上．
26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．
27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：
H1，H2，H3，求作△ABC．
线段的垂直平分线
参考答案与试题解析
一、选择题（共5小题）
1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．
AC、BC两边高线的交点处
B．
AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．
AC、BC两边中线的交点处
D．
∠A、∠B两内角平分线的交点处
考点：
线段垂直平分线的性质．4513433
分析：
根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．
解答：
解：
根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上，
故选B．
点评：
本题考查了线段垂直平分线性质，注意：
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ）
A．
18
B．
22
C．
24
D．
26
考点：
线段垂直平分线的性质．4513433
分析：
根据线段垂直平分线性质得出AB=2AE=8，AD=BD，求出△ABC的周长为：
AB+AD+DC+AC，求出AD+DC+AC=18，即可求出答案．
解答：
解：
∵DE是AB的垂直平分线，AE=4，
∴AB=2AE=8，AD=BD，
∵△ACD的周长为18，
∴AD+DC+AC=18，
∴△ABC的周长为：
AB+BC+AC
=8+BD+DC+AC
=8+AD+DC+AC
=8+18
=26，
故选D．
点评：
本题考查了线段垂直平分线性质，注意：
线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
3．如图：
△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（ ）
A．
∠ADC=45°
B．
∠DAC=45°
C．
DB=DA
D．
BD=DC
考点：
线段垂直平分线的性质．4513433
专题：
数形结合．
分析：
由∠ACB=90°，∠B=22.5°，根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，然后根据线段的垂直平分线的性质得到DB与DA相等，利用等边对等角得到∠BAD与∠B相等，求出∠BAD的度数，由∠BAC的度数减去∠BAD的度数，求出∠DAC的度数，又因为∠ADC是三角形ADB的外角，由三角形的外角性质得到∠ADC等于2∠B，求出∠ADC的度数，从而得到选项A，B，C的结论正确，在直角三角形ACD中，根据斜边总大于直角边，判定得到AD大于CD，而AD与BD相等，等量代换得到BD大于CD，选项D的结论错误．
解答：
解：
∵∠ACB=90°，∠B=22.5，
∴∠BAC=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°，
又AB的垂直平分线交BC于D，
∴DB=DA，故选项C正确；
∴∠BAD=∠B=22.5°，
∴∠DAC=67.5°﹣22.5°=45°，选项A正确，
∠ADC=22.5°+22.5°=45°，选项B正确，
在直角三角形ACD中，
∵AD＞CD，又AD=BD，
∴BD＞CD，选项D错误，
则不正确的选项为D．
故选D．
点评：
此题考查了线段垂直平分线的性质，外角性质及直角三角形的边角关系．遇到线段垂直平分线，往往根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，构造出等腰三角形，从而利用等腰三角形的有关知识解决问题．
4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD的周长等于12，则△ABC的周长为（ ）
A．
20
B．
18
C．
16
D．
14
考点：
线段垂直平分线的性质．4513433
专题：
计算题．
分析：
先根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD，即BD+CD+BC=12，再根据CE=4得到AC=8即可进行解答．
解答：
解：
∵ED是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∵△BCD的周长等于12，
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=AB+BC=12，
∵CE=4，
∴AC=8．
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=12+8=20．
故选A．
点评：
本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
5．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ）
A．
三边垂直平分线的交点
B．
三条角平分线的交点
C．
三条高的交点
D．
三边中线的交点
考点：
线段垂直平分线的性质．4513433
分析：
根据线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）可得到△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．
解答：
解：
△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．
故选A．
点评：
本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）．
二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）
6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为 18 cm．
考点：
线段垂直平分线的性质．4513433
分析：
根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE=5cm，代入AB+AE+BE求出即可．
解答：
解：
∵DE是线段AB的垂直平分线，BE=5cm，
∴AE=BE=5cm，
∵AB=8cm，
∴△ABE的周长是AB+AE+BE=8cm+5cm+5cm=18cm，
故答案为：
18．
点评：
本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是 14 cm．
考点：
线段垂直平分线的性质．4513433
专题：
计算题．
分析：
根据线段垂直平分线得出CE=AE=2，AD=DC，根据已知得出AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=10，即可求出答案．
解答：
解：
∵DE是AC的中垂线，
∴AE=CE=2，AD=DC，
∵△ABD的周长是10cm，
∴AB+BD+AD=10，
∴AB+BD+DC=AB+BC=10，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=10+2+2=14，
故答案为14．
点评：
本题考查了线段的垂直平分线性质的应用，关键是求出AB+BC=10，题目比较典型，难度适中．
8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于 9 ．
考点：
线段垂直平分线的性质．4513433
分析：
根据线段垂直平分线得出AD=DC，求出△BCD的周长=AB+BC，代入求出即可．
解答：
解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴△BCD的周长是BD+DC+BC=BD+AD+BC=AB+BC=5+4=9，
故答案为：
9．
点评：
本题考查了线段垂直平分线的应用，关键是求出△BCD的周长等于AB+BC．
9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为 23 ．
考点：
线段垂直平分线的性质．4513433
分析：
由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，由△BCE的周长=EC+BE+BC得到答案．
解答：
解：
AB的垂直平分线交AB于点D，所以EA=BE．
∵AC=13，BC=10，
∴△BCE的周长是EC+BE+BC=BC+CE+EA=AC+BC=13+10=23，
故答案为23．
点评：
本题考查了垂直平分线的性质；由于已知三角形的两条边长，根据垂直平分线的性质，求出另一条的长，相加即可．
10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB= 4 ．
考点：
线段垂直平分线的性质．4513433
分析：
根据线段垂直平分线得出AD=DC，根据BC长求出AD+BD=8，代入AB+AD+BD=12即可求出答案．
解答：
解：
∵MN垂直平分AC，
∴AD=DC，
∵BC=8，
∴BD+DC=8=AD+BD，
∵△ABD的周长为12，
∴AB+AD+BD=12，
∴AB=12﹣8=4，
故答案为：
4．
点评：
本题考查了线段的垂直平分线性质，注意：
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）
11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．
（1）若AC=BC，求BC的长；
（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．
考点：
线段垂直平分线的性质．4513433
专题：
计算题．
分析：
（1）根据线段的垂直平分线性质求出AC即可；
（2）根据线段的垂直平分线性质求出AD=DC，AC=2AE=6，根据△ABD的周长为13求出AB+BC的值即可求出答案．
解答：
解：
（1）∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，
∴AC=2AE=6，
∴AC=BC=6，
答：
BC的长是6．
（2）∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，
∴AD=DC，AC=2AE=6，
∵△ABD的周长为13，
∴AB+AD+BD=13，
∴AB+CD+BD=13，
即AB+BC=13，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=13+6=19．
答：
△ABC的周长是19．
点评：
本题主要考查对线段的垂直平分线性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．
12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．
（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗？
为什么？
（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．
考点：
线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．4513433
分析：
（1）根据SSS证△ABC≌△ADC，推出∠BAC=∠DAC，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可；
（2）求出四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△CBD=
BD×AC，代入求出即可．
解答：
解：
（1）∵在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴AC⊥BD，BE=DE（三线合一定理）；
（2）∵AC=a，BD=b，
∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD
=
×BD×AE+
×BD×CE
=
×BD×（AE+CE）
=
BD×AC
=
ab．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线性质，三角形的面积等知识点的应用，注意：
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等腰三角形的顶角的平分线垂直于底边，且平分底边．
13．已知：
如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．
考点：
线段垂直平分线的性质．4513433
分析：
根据线段垂直平分线性质得出AM=BM，推出∠BAM=∠B，设∠B=x，则∠BAM=x，∠C=3x，在△ABC中，由三角形内角和定理得出方程x+x+3x+50°=180°，求出即可．
解答：
解：
∵MN是边AB的中垂线，
∴AM=BM，
∴∠BAM=∠B，
设∠B=x，则∠BAM=x，
∵∠C=3∠B，∴∠C=3x，
在△ABC中，由三角形内角和定理，得x+x+3x+50°=180°，
∴x=26°，
即∠B=26°．
点评：
本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，关键是求出关于x的方程，注意：
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，等边对等角．
14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求证：
BF=AC+AF．
考点：
全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．4513433
专题：
证明题．
分析：
过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，推出DN=DF，DB=DC，根据HL证Rt△DBF≌Rt△DCN，推出BF=CN，根据HL证Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF即可．
解答：
证明：
过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，
则DN=DF（角平分线性质），DB=DC（线段垂直平分线性质），
又∵DF⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DFB=∠DNC=90°，
在Rt△DBF和Rt△DCN中
∵
，
∴Rt△DBF≌Rt△DCN（HL）
∴BF=CN，
在Rt△DFA和Rt△DNA中
∵
，
∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL）
∴AN=AF，
∴BF=AC+AN=AC+AF，
即BF=AF+AC．
点评：
本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会添加适当的辅助线，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键．
15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18即BE+CE+BC=18，求BC的长？
考点：
线段垂直平分线的性质．4513433
专题：
计算题．
分析：
根据线段垂直平分线性质求出CE长，代入BE+CE+BC=18求出BC即可．
解答：
解：
∵BC边的垂直平分线DE，
∴BE=CE=5，
∵BE+CE+BC=18，
∴BC=18﹣5﹣5=8，
答：
BC的长是8．
点评：
本题考查了线段垂直平分线的应用，关键是求出CE长，题目较好，难度不大．
16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，
求证：
E点在线段AC的垂直平分线上．
考点：
线段垂直平分线的性质．4513433
专题：
证明题．
分析：
根据线段的垂直平分线性质求出BD=DE，推出DE+EC=AE+DE，得出EC=AE，根据线段垂直平分线性质推出即可．
解答：
证明：
∵AD是高，∴AD⊥BC，
又BD=DE，
∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∴AB+BD=AE+DE，
又AB+BD=DC，
∴DC=AE+DE，
∴DE+EC=AE+DE
∴EC=AE，
∴点E在线段AC的垂直平分线上．
点评：
本题考查了线段的垂直平分线的应用，解此题的关键是熟练地运用性质进行推理，培养了学生分析问题和解决问题的能力．
17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．
（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？
请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．
（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．
考点：
一次函数综合题；线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题．4513433
专题：
综合题．
分析：
（1）连接AB，作出线段AB的垂直平分线，与x轴的交点即为所求的点；
（2）找到点A关于x轴的对称点，连接对称点与点B与x轴交点即为所求作的点．
解答：
解：
（1）存在满足条件的点C；
作出图形，如图所示．
（2）作点A关于x轴对称的点A′（2，﹣2），连接A′B，与x轴的交点即为所求的点P．设A′B所在直线的解析式为：
y=kx+b，
把（2，﹣2）和（7，3）代入得：
，
解得：
，
∴y=x﹣4，
当y=0时，x=4，
所以交点P为（4，0）．
点评：
本题是一道典型的一次函数综合题，题目中还涉及到了线段的垂直平分线的性质及轴对称的问题．
18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD的延长线于F，
求证：
DE=DF．
考点：
全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．4513433
专题：
证明题．
分析：
根据线段垂直平分线得出AC=BC，BD=AD，推出∠CBE=∠CAF，证△BCE≌△ACF，推出BE=AF，即可得出答案．
解答：
证明：
∵线段CD垂直平分AB，
∴AC=BC，AD=BD，
∴∠CAB=∠CBA，∠BAD=∠ABD，
∴∠CAB+∠BAD=∠CBA+∠ABD，
即∠CBE=∠CAF，
在△BCE和△ACF中
∵
，
∴△BCE≌△ACF（AS
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