八年级上册《第15章整式的乘除与因式分解》教材分析与教学建议.docx

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八年级上册《第15章整式的乘除与因式分解》教材分析与教学建议

2019-2020年八年级上册《第15章整式的乘除与因式分解》教材分析与教学建议

一、教学目标

1.使学生掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式的法则，并运用它们进行运算.

2.使学生会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式）,了解公式的几何意义,能利用公式进行乘法运算.

3.使学生掌握整式的加、减、乘、除、乘方的教简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.

4.使学生理解因式分解的意义,并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形,掌握提公因式法和运用公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法,了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.

二、教材特点

1.重视运算性质和公式的发生和归纳过程

本章整式乘法运算性质、除法运算性质、乘法公式的得出过程，一般都是从数的运算，归纳得到的运算性质，是一个由特殊到一般，从具体到抽象的归纳过程.

2.渗透转化的思想方法以及数学知识间的内在联系

教材安排从易到难,逐步深入,符合学生的认知过程.在整式乘法和乘法公式部分内容中,采用给出几何图形的方式来直观地表示运算法则及公式,体现了代数与几何的内在联系和统一.

3.充分发挥学生的主观能动性

教材安排了九个“探究”栏目让学生体验研究、解决问题和归纳得出一般结论的过程，加深学生对所学知识的理解.“思考”栏目为学生提供了一个共同探索、共同发现和共同发展的空间.“观察与猜想”栏目拓展了学生们的知识面.

4.重视学生基本运算能力训练

教材提供大量的基础运算练习,让学生能及时得到充分训练.

三、课时安排

本章教学时间约需14课时，具体安排如下：

§15.1整式的乘法———————————————————4课时

§15.2乘法公式————————————————————2课时

§15.3整式的除法———————————————————2课时

§15.4因式分解————————————————————4课时

数学活动

小结—————————————————————————2课时

四、教学建议

§15.1整式的乘法（4课时）

总体说明:

1.掌握同底数幂的乘法公式：

am·an=am+n　（m,n都是正整数数）

注意:

同底数幂相乘,底数不变,指数相加.底数可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式,如：

（3a+2b）2·（3a+2b）3=（3a+2b）5,底数就是3a+2b.并且理解同底数幂相乘法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即

（n1，n2，…,nn都是正整数）和同底数幂的乘法法则的双向应用.

2．掌握幂的乘方公式：

（am）n=amn（m,n都是正整数数）

推广:

（m,n都是正整数数）

注意:

幂的乘方，底数不变,指数相乘.同上幂的底数a可以是具体的数也可以是多项式,如[（x+y）3]2二次幂的底数为（x+y），底数可以是一个多项式，[（x+y）3]2=（x+y）6，运算过程不要和同底数幂的乘法法则相混淆,学会双向应用幂的乘方运算公式.

3．掌握幂的积的乘方运算公式：

（ab）n=anbn

注意:

积的乘方等于各因数乘方的积.理解积的乘方法则可以推广到三个或三个以上的因数乘方的积，即（a1·a2·a3·…·am）n=a1n·a2n·a3n·…·amn（m,n都是正整数）和积的乘方运算公式的双向应用.

§15.1.1同底数幂的乘法（1课时）

教学目标:

理解同底数幂的乘法法则,运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，使学生初步理解特殊到般再到特殊的认知规律.

教学重点:

正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围

解决过程:

环节1:

回顾幂的相关知识

an的意义：

an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，n是指数．

环节2:

创设情境

1．问题：

课本第141页．（让学生直观感觉）

环节3:

引入新课

2.计算下列各式：

（1）25×22

（2）a3·a2（3）5m·5n（m、n都是正整数）

3.引导学生得出运算特点并归纳得到结论：

（1）特点：

这三个式子都是底数相同的幂相乘．相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．

（2）结论:

am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：

am·an=

·

=

=am+n

am·an=am+n（m、n都是正整数），即为：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加

（3）分析：

底数不变，指数要降一级运算，变为相加．

注意:

底数不相同时，不能用此法则（两种情况除外）

环节4:

巩固训练

例1：

计算：

（1）x2·x5

（2）a·a6（3）xm·x3m+1

例2：

（1）2×24×23

（2）am·an·ap

练习：

课本P142练习

环节5:

拓展训练

1.我们刚才讲到，只有底数相同时，才可以用此法则进行运算，但有两特例，这节课我们先涉及其中的一个：

底数互为相反数。

例：

计算：

（-a）2×a6

练习：

（-a）2×a4（-

）3×（

）6

2．当底数为一个多项式的时候，我们可以把这个多项式看成一个整体

例：

计算（a+b）2×（a+b）4×[-（a+b）]7

练习：

（m-n）3×（m-n）4×（n-m）7a2×a×a5+a3×a2×a2

环节6:

小结：

同底数幂的乘法：

am·an=am+n　（m,n是自然数）

同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一.学习这个法则时应注意以下几个问题：

（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义.

（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如：

（2x+y）2·（2x+y）3=（2x+y）5，底数就是一个二项式（2x+y）.

（3）指数都是正整数

（4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即am·an·ap....=am+n+p+...（m,n,p都是自然数）.

（5）不要与整式加法相混淆。

乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如：

x5·x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加，如-2x5+x5=（-2+1）x5=-x5，而x5+x4就不能合并。

§15.1.2幂的乘方（1课时）

教学目标:

经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。

了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.

教学重点:

会进行幂的乘方的运算，幂的乘方法则的总结及运用。

教学过程:

环节1:

回顾同底数幂的乘法

am·an=am+n（m、n都是正整数）

环节2:

自主探索，感知新知

64表示_________个___________相乘.（62）4表示_________个___________相乘.

a3表示_________个___________相乘.（a2）3表示_________个___________相乘.

环节3:

推广形式，得到结论

1．（am）n表示_______个________相乘

=________×________×…×_______×_______

=__________

即（am）n=______________（其中m、n都是正整数）

2．通过上面的探索活动,发现了什么?

归纳:

幂的乘方，底数不变，指数相乘.

环节4:

巩固练习

例：

计算：

（1）（103）5

（2）[（

）3]4（3）[（－6）3]4

（4）（x5）2（5）－（x4）3（6）（am）3

练习：

P143练习

例：

判断题，错误的予以改正。

（1）a5+a5=2a10（）

（2）（x3）3=x6（）

（3）（－3）2·（－3）4=（－3）6=－36（）

（4）x3+y3=（x+y）3（）

（5）[（m－n）3]4－[（m－n）2]6=0（）

环节5:

综合运用

例：

计算23×42×83

例：

计算（x3）4·x22（x2）n－（xn）2[（x2）3]7

例:

计算5（P3）4·（P2）3－2（P2）4·（P5）2

训练:

1若（x2）m=x8，则m=______.2.若[（x3）m]2=x12，则m=_______.

3.若xm·x2m=2，求x9m的值.4.若a2n=3，求（a3n）4的值.5.已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.

（七）附加练习

[（x+y）3]4（an+1）2×（a2n+1）3（32）3a3×a4×a+（a2）4-3（a4）2

环节6:

小结：

幂的乘方，（am）n=amn，（m,n都为正整数）运用法则时注意以下以几点：

　　①幂的底数a可以是具体的数也可以是多项式。

如[（x+y）2]3三次幂的底数为（x+y），是一个多项式，

[（x+y）2]3=（x+y）6

　　②要和同底数幂的乘法法则相区别，不要出现下面的错误。

如：

　　（a3）4=a7；　[（-a）3]4=（-a）7；　a3·a4=a12

§15.1.3积的乘方（1课时）

教学目标:

经历探索积的乘方的运发展推理能力和有条理的表达能力．学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力．进一步体会幂的意义．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．

教学重点:

积的乘方运算法则及其应用．幂的运算法则的灵活运用．

环节1:

回顾旧知识

1.同底数幂的乘法2.幂的乘方

环节2:

创设情境，引入新课

问题：

已知一个正方体的棱长为2×104cm，你能计算出它的体积是多少吗？

环节3:

自主探究，引出结论

1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？

（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a（）b（）

（2）（ab）3=______=_______=a（）b（）

（3）（ab）n=______=______=a（）b（）（n是正整数）

2．自主分析：

（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a2b2，

（2）（ab）3=（ab）·（ab）·（ab）=（a·a·a）·（b·b·b）=a3b3；

（3）（ab）n=

=

·

=anbn

3．得到结论：

积的乘方：

（ab）n=an·bn（n是正整数）

把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．

4．积的乘方法则可以进行逆运算．即：

an·bn=（ab）n（n为正整数）

an·bn=

·

──幂的意义

=

──乘法交换律、结合律

＝（a·b）n──乘方的意义

同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．

环节4:

巩固成果，加强练习

例：

（1）（2a）3

（2）（-5b）3（3）（xy2）2（4）（-2x3）4

练习：

P144的练习

环节5:

综合练习

①2（x3）2·x3-（3x3）3+（5x）2·x7②（3xy2）2+（-4xy3）·（-xy）③（-2x3）3·（

x2）2

④（-x2y）3+7（x2）2·（-x）2·（-y）3⑤[（m-n）3]p·[（m-n）（m-n）p]5

⑥（0.125）7×88⑦（0.25）8×410⑧2m×4m×（

）m

⑨已知10m=5,10n=6,求102m+3n的值

环节6:

小结：

1.总结积的乘方法则，理解它的真正含义.2．幂的三条运算法则的综合运用.

3.积的乘方（ab）n=anbn，（n为正整数）运用法则时注意以下几点：

①注意与前二个法则的区别：

积的乘方等于将积的每个因式分别乘方（即转化成若干个幂的乘方），再把所得的幂相乘。

②积的乘方可推广到3个以上因式的积的乘方，如：

（-3a2b）3如（a1·a2·……an）m=a1m·a2m·……anm

§15.1.4整式的乘法（3课时）

教学目标:

探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力.

教学重点:

单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则

教学过程:

第一课时：

环节一:

知识回顾：

回忆幂的运算性质：

am·an=am+n（am）n=amn（ab）n=anbn（m，n都是正整数）

环节二:

创设情境，引入新课

应用实际问题引入书本第144页思考：

问题1:

光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?

问题2：

如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，如何计算？

环节三:

实践探索

1．计算：

（1）2c5·5c2；

（2）（-5a2b3）·（-3b2c）

2．归纳得出结论：

单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

环节四:

巩固结论，加强练习

课本第145页例：

计算：

（-5a2b）·（-3a）（2x）3·（-5xy2）

练习：

P145练习1，2

附加练习：

1.小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米?

2．

（-10xy3）（2xy4z）（-2xy2）（-3x2y3）（

xy）

3.3（x-y）2·[

（y-x）3][

（x-y）4]

4.判断：

单项式乘以单项式，结果一定是单项式（）

两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积（）

两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积（）

两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现（）

5.计算：

0.4x2y·（

xy）2－（－2x）3·xy36.已知am=2,an=3,求（a3m+n）2的值.

7.求证：

52·32n+1·2n-3n·6n+2能被13整除

环节五：

小结

第二课时：

环节一:

知识回顾：

单项式乘以单项式的运算法则

环节二:

创设情境，提出问题

课本145页问题：

三家连锁店以相同的价格m（单位：

元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：

瓶），分别是a,b,c.你能用不同方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？

另一种方法是先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和

即总收入为：

________________

所以：

m（a+b+c）=ma+mb+mc

提出问题：

根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗？

得出结论:

单项式与多项式相乘：

就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：

m（a+b+c）=ma+mb+mc

环节三:

实践探索

例：

2a2·（3a2－5b）（－4x2）·（3x+1）

环节四:

巩固练习

书本练习：

P146练习1，2

1．若（-5am+1b2n-1）（2anbm）=-10a4b4，则m-n的值为______.

2．计算：

（a3b）2（a2b）33.计算：

（3a2b）2+（-2ab）（-4a3b）

4.计算：

5．计算：

6．已知

求

的值

7．解不等式：

8．若

与

的和中不含

项，求

的值，并说明不论

取何值，它的值总是正数

环节五：

小结

第三课时：

环节一:

回顾旧知识

单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则

环节二:

创设情境，感知新知

书本第147页问题：

为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，求扩地以后的面积是多少？

2.提问：

用几种方法表示扩大后绿地的面积?

不同的表示方法之间有什么关系?

3．引导学生分析得出结果：

方法一：

这块花园现在长（a+b）米，宽（m+n）米，因而面积为（a+b）（m+n）米2．

方法二：

这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：

am米2、an米2、bm米2、bn米2，故这块绿地的面积为（am+an+bm+bn）米2．

（a+b）（m+n）和（am+an+bm+bn）表示同一块绿地的面积，

所以有（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn

环节三:

新课讲授

1.引导观察：

等式的左边（a+b）（m+n）是两个多项式（a+b）与（m+n）相乘，把（m+n）看成一个整体，那么两个多项式（a+b）与（m+n）相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘．

2．过程分析：

（a+b）（m+n）

=a（m+n）+b（m+n）----单×多

=am+an+bm+bn----单×多

3.得到结论：

多项式与多项式相乘：

先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

环节四:

实践探索

课本147页例：

练习：

P148练习1

例：

先化简，再求值：

（a-3b）2+（3a+b）2-（a+5b）2+（a-5b）2，其中a=-8,b=-6

练习：

1.化简求值：

，其中x=

2.一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小），问台面面积是多少?

环节五:

深入研究

1.计算：

①（x+2）（x+3）；②（x-1）（x+2）；③（x+2）（x-2）；④（x-5）（x-6）；⑤（x+5）（x+5）；⑥（x-5）（x-5）；并观察结果和原式的关系

2.结合P148练习第2题图引导学生分析，直观认识规律，并完成此题．

附加题：

1．

2.求证：

对于任意自然数

，

的值都能被6整除

3.计算：

（x+2y-1）2

4.已知x2-2x=2，将下式化简，再求值．

（x-1）2+（x+3）（x-3）+（x-3）（x-1）

5.小明找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小明想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小明应该在挂历画上裁下多大面积的长方形?

环节六:

小结

§15.2乘法公式（2课时）

总体说明:

1.通过自主探索,掌握两数和乘以它们的差公式（即平方差公式）、两数和的平方公式（即完全平方和公式）的特点,并能得出两数差的平方公式（即完全平方差公式）.

平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2

完全平方和公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2

完全平方差公式：

（a-b）2=a2-2ab+b2

2.掌握平方差公式、完全平方和公式和完全平方差公式的几何意义，明白数形结合的思想.

3.灵活运用公式进行计算或混合运算并能解决实际生活问题和科学计算问题.

4.初步掌握公式的互逆运算.

§15.2.1平方差公式（1课时）

教学目标：

经历探索平方差公式的过程．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算，培养学生观察、归纳、概括的能力．

教学重点：

平方差公式的推导和应用．理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．

教学过程：

环节一：

发现规律，得到公式

课本151页探究：

1.计算：

（1）（x+1）（x-1）

（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）（补充）（4）（x+3y）（x-3y）

2.提出问题：

观察上述算式，你发现什么规律？

运算出结果后，你又发现什么规律？

3.引导学生总结特点,得到结论

（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．即（a+b）（a-b）=a2-b2

环节二:

熟悉公式

下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？

环节三:

运用公式

1.直接运用

第152页例1：

（1）（3x+2）（3x-2）

（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）

2.简便计算

第152页例2：

（1）102×98

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

环节四:

巩固练习：

第153页练习1，2补充练习1:

①

　②

　③

④

补充练习2:

简便计算:

①　100.5×99.5②　99×101×10001

环节五:

平方差公式的直观几何意义:

第152页思考

附加题：

1.证明：

两个连续奇数的积加上1一定是一个偶数的平方

2.求证：

一定是24的倍数

环节六:

小结

§15.2.2完全平方公式（2课时）

教学目标：

完全平方公式的推导及其应用．完全平方公式的几何解释．视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．

教学重点：

完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用

教学过程：

第一课时

环节一:

实践探究

1．课本第153页探究：

计算下列各式，你能发现什么规律？

（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______；

（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______；

2．分析结果,得到公式

（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2即：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．

环节二:

完全平方公式的直观几何意义:

第154页思考

环节三:

运用公式

1.直接运用

例：

应用完全平方公式计算：

（1）（4m+n）2

（2）（y-

）2（3）（-2a-b）2（4）（b-2a）2

练习：

P155练习1，2

2.简便计算

例：

运用完全平方公式计算：

（1）1022

（2）992

练习：

计算：

50.01249.92

附加练习：

计算：

）2=

在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？

环节四:

小结

完全平方公式的结构特征．

§15.3整式的除法（2课时）

总体说明:

1.同底数幂相除,底数不变,指数相减.即：

am÷an=am-n．（

m，n都是正整数，并且m>n）

2.两单项式相除,将系数及同底数幂分别相除,作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

3.多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

§15.3.1同底数幂的除法（1课时）

教学目标：

同底数幂的除法的运算法则及其原理和应用，发展有条理的思考及表达能力。

培养探索讨论、归纳总结的方法．

教学重点：

准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．

教学过程：

环节一:

创设情境，感知新知

课本159页问题：

一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M=210K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？

环节二:

实践探究

1．计算：

（1）（）·28=216

（2）（）·53=55（3）（）·105=107（4）（）·a3=a6

2．再计算：

（1）216÷28=（）

（2）55÷53=（）

（3）107÷105=（）（4）a6÷a3=（）

3．分析归纳：

得到公式：

同底数幂相除，底数不变，指数相减．即：

am÷an=am-n．（

）

注意:

指数

之间是否有大小关系？

（m，n都是正整数，并且m>n）

环节三:

巩固练习

例：

（1）x8÷x