C．P1＝P2D．大小关系不能确定
7．已知△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，AD⊥BC于D，＝λ＋μ，则＝
A．6B．3C．3D．2
8．已知双曲线C：
－＝1（a>0，b>0），以点P（b，0）为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MPN＝90°，则C的离心率为
A.B.C.D.
9．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位（例如：
2019＋100＝2119，则称（m，n）为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对（m，n）的值，那么值为2019的“简单的”有序对的个数是
A．30B．60C．96D．100
10．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xlnx＝1的解，则x1x2等于
A．eB．1C.D．－1
11．已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，且f（x）在上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为－1），则ω的取值范围是
A.B.C.D.
12．已知函数f（x）＝ex－ax－1在区间内存在极值点，且f（x）<0恰好有唯一整数解，则a的取值范围是（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）
A.B.∪
C.∪D．（e－1，e）
第Ⅱ卷
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知二项式的展开式中的常数项为－160，则a＝________．
14．若实数x，y满足不等式组则目标函数z＝3x－y的最大值为________．
15．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P－ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则＝________．
16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若c＝2b，△ABC的面积为1，则a的最小值为________．
三、解答题：
共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题，共60分。
17．（本小题满分12分）
已知数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意的r、t∈N*，都有＝.
（Ⅰ）判断{an}是否为等差数列，并证明你的结论；
（Ⅱ）若数列{bn}满足＝2n－1（n∈N*），设Tn是数列{bn}的前n项和，证明：
Tn<6.
18．（本小题满分12分）
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝.已知E，F分别是BC，AC的中点．将△CEF沿EF折起，使C到C′的位置且二面角C′－EF－B的大小是60°.连接C′B，C′A，如图：
（Ⅰ）求证：
平面C′FA⊥平面ABC′；
（Ⅱ）求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的大小．
19．（本小题满分12分）
已知平面上一动点P到定点F（，0）的距离与它到直线x＝的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线C.
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：
y＝kx＋m与曲线C交于M，N两点，点M在x轴上的射影为G，O为坐标原点，若4·＝9·，求△MON面积的最大值．
20．（本小题满分12分）
随着食品安全问题逐渐引起人们的重视，有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎，同时生产－运输－销售一体化的直销供应模式，不仅减少了成本，而且减去了蔬菜的二次污染等问题．
（Ⅰ）在有机蔬菜的种植过程中，有机肥料使用是必不可少的．根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系，每个有机蔬菜大棚产量的增加量y（百斤）与使用堆沤肥料x（千克）之间对应数据如下表：
使用堆沤肥料x（千克）
2
4
5
6
8
产量增加量y（百斤）
3
4
4
4
5
依据表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；并根据所求线性回归方程，估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克，则每个有机蔬菜大棚产量增加量y是多少百斤？
（Ⅱ）某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市．“乐购”生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）．该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位：
份），制成如下表格（注：
x，y∈N*，且x＋y＝30）：
每日前8个小时
销售量（单位：
份）
15
16
17
18
19
20
21
频数
10
x
16
16
15
13
y
若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的期望值大时，求x的取值范围．
附：
回归方程系数公式＝，＝－·.
21．（本小题满分12分）
已知f（x－1）＝2ln（x－1）－＋k（x>1）．
（Ⅰ）判断当－1≤k≤0时f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x1，x2（x1≠x2）为f（x）两个极值点，求证：
x[f（x1）＋f（x2）]≥（x＋1）[f（x）＋2－2x]．
（二）选考题：
共10分。
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．（本小题满分10分）选修4—4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝.
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C上的点，PQ⊥l，垂足为Q，若的最小值为2，求m的值．
23．（本小题满分10分）选修4—5：
不等式选讲
已知函数f（x）＝|x－2a|－|x－a|，a∈R.
（Ⅰ）若f
（1）>1，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a<0，对x，y∈（－∞，a]，都有不等式f（x）≤＋|y－a|恒成立，求a的取值范围．
湖南省2019届高三六校联考试题
数学（理科）参考答案
命题学校：
师大附中、湘潭市一中
一、选择题
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
D
B
B
C
C
A
A
C
B
B
D
C
1.D 【解析】（1＋i）z＝4，z＝＝2－2i.
2．B 【解析】∵（x＋3）（x－1）≤0且x≠1，∴A＝，∴∁RA＝（－∞，－3）∪[1，＋∞）．
3．B 【解析】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选B.
4．C 【解析】该几何体为四棱锥，体积为
V＝·x＝8，
∴x＝4.
5．C 【解析】当x<0时，－x>0，∴f（－x）＝－，∴f（x）＝（x<0），
k＝f′（－1）＝2，切点为（－1，－1），∴切线方程为y＋1＝2（x＋1）．
∴切线方程为2x－y＋1＝0.
6．A 【解析】根据题意，阴影部分的面积的一半为
∫0（cosx－sinx）dx＝－1，
于是此点取自阴影部分的概率为P1＝2×＝>＝.
又P2＝1－P1<，故P1>P2.
7．A 【解析】＝－，∵⊥，
∴（λ＋μ）·（－＋）＝0，
∴－λ2＋μ2＋（λ－μ）·＝0，∴λ＝6μ，∴＝6.
8．C 【解析】不妨设双曲线C的一条渐近线bx－ay＝0与圆P交于M，N，因为∠MPN＝90°，所以圆心P到bx－ay＝0的距离为＝＝a，即2c2－2a2＝ac，解得e＝.故选C.
9．B 【解析】值为2019的“简单的”有序对的个数是3×1×2×10＝60.故选B.
10．B 【解析】考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A，B的横坐标，而A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.
11．D 【解析】由题意知，f（x）＝sin（ωx＋φ），∵f（0）＝，φ∈，∴φ＝，
∵x∈[0，2π]，∴≤ωx＋≤2πω＋，∴≤2πω＋<，
∴≤ω<.
12．C 【解析】由题意得，f′（x）＝ex－a＝0在上有解，∵f′（x）在上单调递增，∴又∵f（x）<0恰好有唯一整数解，即ex设g（x）＝ex，h（x）＝ax＋1，结合两函数的图象可知：
①若1∴e－1故e－1②若∴≤a<，
故≤a<，
由①②得a的取值范围为∪.
二、填空题
13．2 【解析】二项式的展开式的通项是Tr＋1＝C·（ax）6－r·＝C·a6－r·（－1）r·x6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二项式的展开式中的常数项是C·a6－3·（－1）3＝－160，故a＝2.
14．12 【解析】作出可行域如图，目标函数y＝3x－z，
当y＝3x－z过点（4，0）时，z有最大值，且最大值为12.
15. 【解析】易知该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，所以＝AB2＋AD2＋AP2＝42＋42＋32＝41，R＝.
因为侧棱PA⊥底面ABCD，且底面为正方形，所以内切球O1在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆，则内切球半径为1，故＝.
16. 【解析】设角A为θ，
a2＝b2＋c2－2bccosθ＝b2＋4b2－4b2cosθ＝b2（5－4cosθ）．
又S△ABC＝·2b·b·sinθ＝b2sinθ＝1，∴b2＝，
∴a2＝，设y＝，
则y′＝＝，
当4－5cosθ＝0，即cosθ＝时，y有最小值为3，故a的最小值为.
三、解答题
17．【解析】（Ⅰ）{an}是等差数列．证明如下：
因为对任意的r、t∈N*，都有＝，
所以对任意的n∈N*，有＝n2，即Sn＝n2.2分
从而n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，且n＝1时此式也成立．
所以an＋1－an＝2（n∈N*），
即{an}是以1为首项，2为公差的等差数列.5分
（Ⅱ）＝2n－1，得bn＝.6分
Tn＝1·＋3·＋…＋（2n－1）·，
Tn＝1·＋3·＋…＋（2n－3）·＋（2n－1）·.8分
两式相减得：
Tn＝1＋2·＋2·＋…＋2·－（2n－1）·
＝1＋2·－（2n－1）·＝1＋4－（2n－1）·＝3－（2n＋3），
Tn＝6－（2n＋3）.10分
∵n∈N*，∴Tn＝6－（2n＋3）<6.12分
18．【解析】（Ⅰ）解法一：
∵F是AC的中点，∴AF＝C′F.
设AC′的中点为G，连接FG.
设BC′的中点为H，连接GH，EH.
易证：
C′E⊥EF，BE⊥EF，∴∠BEC′即为二面角C′－EF－B的平面角．
∴∠BEC′＝60°，而E为BC的中点．
易知BE＝EC′，∴△BEC′为等边三角形，∴EH⊥BC′. ①
∵EF⊥C′E，EF⊥BE，C′E∩BE＝E，∴EF⊥平面BEC′.
而EF∥AB，∴AB⊥平面BEC′，∴AB⊥EH，即EH⊥AB. ②
由①②，BC′∩AB＝B，∴EH⊥平面ABC′.
∵G，H分别为AC′，BC′的中点．
∴GH綊AB綊FE，∴四边形EHGF为平行四边形．
∴FG∥EH，FG⊥平面ABC′，又FG平面AFC′.
∴平面AFC′⊥平面ABC′.6分
解法二：
如图，建立空间直角坐标系，设AB＝2.
则A（0，0，2），B（0，0，0），F（0，2，1），E（0，2，0），C′（，1，0）．
设平面ABC′的法向量为a＝（x1，y1，z1），
＝（0，0，2），＝（，1，0），
∴令x1＝1，则a＝（1，－，0），
设平面AFC′的法向量为b＝（x2，y2，z2），
＝（0，2，－1），＝（，1，－2），
∴令x2＝，则b＝（，1，2）．
∵a·b＝0，∴平面AFC′⊥平面ABC′.6分
（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，设AB＝2.
则A（0，0，2），B（0，0，0），F（0，2，1），E（0，2，0），C′（，1，0）．
显然平面BEC′的法向量m＝（0，0，1），8分
设平面AFC′的法向量为n＝（x，y，z），＝（，1，－2），＝（0，2，－1），
∴∴n＝（，1，2）.9分
cos〈m,n〉＝＝，10分
由图形观察可知，平面AFC′与平面BEC′所成的二面角的平面角为锐角．
∴平面AFC′与平面BEC′所成二面角大小为45°.12分
19．【解析】（Ⅰ）设P（x，y），则＝，化简得＋y2＝1.4分
（Ⅱ）设M，N，G（x1，0），联立
得x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
依题意，Δ＝－4>0，
化简得m2<4k2＋1， ①
x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝＝k2x1x2＋km＋m2，
若4·＝9·，则4x1x2＋4y1y2＝9x1x2，即4y1y2＝5x1x2，6分
∴4k2x1x2＋4km＋4m2＝5x1x2，
∴·＋4km＋4m2＝0，
即－8k2m2＋m2＝0，
化简得m2＋k2＝， ②8分
＝＝
＝＝，
∵原点O到直线l的距离d＝，
∴S△MON＝·d＝.10分
设4k2＋1＝t，由①②得0≤m2<，所以S△MON＝＝＝3≤1，
所以当＝时，即k＝±时△MON面积最大为1.12分
20．【解析】（Ⅰ）x＝＝5，y＝＝4.2分
＝22＋42＋52＋62＋82＝145，
＝＝0.3，＝y－·x＝4－0.3×5＝2.5，
所以y关于x的线性回归方程为：
y＝0.3x＋2.5.4分
当x＝10时，y＝0.3×10＋2.5＝5.5百斤，
所以如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克，
估计每个有机蔬菜大棚产量的增加量y是5.5百斤.5分
（Ⅱ）若该超市一天购进17份这种有机蔬菜，Y1表示当天的利润（单位：
元），那么Y1的分布列为
Y1
65
75
85
P
Y1的数学期望是EY1＝65×＋75×＋85×＝；8分
若该超市一天购进18份这种有机蔬菜，Y2表示当天的利润（单位：
元），那么Y2的分布列为
Y2
60
70
80
90
P
Y2的数学期望是EY2＝60×＋70×＋80×＋90×＝；11分
又购进17份比购进18份的利润的期望值大，故>，求得x>24，
故求得x的取值范围是，x∈N*.12分
21．【解析】（Ⅰ）因为f（x－1）＝2ln（x－1）＋（x>1），
所以f（x）＝2lnx＋（x>0）．
f′（x）＝＋＝，2分
当－1≤k≤0时，Δ＝（4＋k）2－16＝k（k＋8）≤0，2x2＋（4＋k）x＋2>0恒成立．
于是，f（x）在定义域上为单调增函数.5分
（Ⅱ）证明：
∵f′（x）＝＋＝，
由题设知，f′（x）＝0有两个不相等的正实数根x1，x2，则
k<－8，7分
而f（x1）＋f（x2）＝2lnx1＋＋2lnx2＋
＝2ln（x1x2）＋k
＝2ln（x1x2）＋k·＝k，9分
又＝k，
故欲证原不等式等价于证明不等式：
≥[f（x）－2（x－1）]，10分
也就是要证明：
对任意x>0，有lnx≤x－1.11分
令g（x）＝lnx－x＋1（x>0），由于g
（1）＝0，并且g′（x）＝－1，
当x>1时，g′（x）<0，则g（x）在（1，＋∞）上为减函数；
当00，则g（x）在（0，1）上为增函数．
则g（x）在（0，＋∞）上有最大值g
（1）＝0，即g（x）≤0，故原不等式成立.12分
22．【解析】（Ⅰ）因为曲线C的极坐标方程为ρ2＝，
即ρ2＋ρ2sin2θ＝4，
将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y代入上式并化简得＋＝1，3分
所以曲线C的直角坐标方程为＋＝1，
直线l的普通方程为x－y－m＝0.5分
（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），由点到直线的距离公式得
＝＝，7分
由题意知m≠0，
当m>0时，＝＝2，得m＝2＋2；
当m<0时，＝＝2，得m＝－2－2；
所以m＝2＋2或m＝－2－2.10分
23．【解析】（Ⅰ）f
（1）＝|1－2a|－|1－a|>1.1分
若a≤，则1－2a－1＋a>1，得a<－1；2分
若1，得a>1，即不等式无解；3分
若a≥1，则2a－1＋1－a>1，得a>1,4分
综上所述，a的取值范围是（－∞，－1）∪（1，＋∞）.5分
（Ⅱ）由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f（x）]max≤[|y＋2020|＋|y－a|]min，6分
当x∈（－∞，a]时，|x－2a|－|x－a|≤－a，[f（x）]max＝－a，7分
因为|y＋2020|＋|y－a|≥|a＋2020|，
所以当（y＋2020）（y－a）≤0时，[|y＋2020|＋|y－a|]min＝|a＋2020|，9分
即－a≤|a＋2020|，解得a≥－1010，结合a<0，
所以a的取值范围是.10分
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