高中数学人教B版必修三第二单元212 系统抽样213 分层抽样214 数据的收集.docx

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高中数学人教B版必修三第二单元212系统抽样213分层抽样214数据的收集

2．1.2　系统抽样

2．1.3　分层抽样

2．1.4　数据的收集

学习目标

　1.理解并掌握系统抽样、分层抽样.2.会用系统抽样、分层抽样从总体中抽取样本.3.理解三种抽样的区别与联系．

知识点一　系统抽样

思考1　当总体中的个体数较多时，为什么不宜用简单随机抽样？

思考2　用系统抽样抽取样本时，每段各取一个号码，其中第1段的个体编号怎样抽取？

以后各段的个体编号怎样抽取？

梳理　系统抽样

（1）定义：

要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法．

（2）步骤：

①先将总体的N个个体________．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；

②确定分段间隔k，对编号进行________．当

（n是样本容量）是整数时，取k＝

；当

不是整数时，先从总体中________剔除几个个体，再__________，然后分段；

③在第1段用____________确定第一个个体编号l（l≤k）；

④按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号________，再加k得到第3个个体编号________，依次进行下去，直到获取整个样本．

知识点二　分层抽样

思考1　当所研究的总体由差异明显的几部分组成时，还可用系统抽样吗？

思考2　分层抽样的总体具有什么特性？

思考3　系统抽样时，将总体分成均等的几部分，每部分抽取一个，符合分层抽样，故系统抽样就是一种特殊的分层抽样，这种说法对吗？

梳理　分层抽样

（1）定义

一般地，当总体是由____________的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．

将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．

分层抽样尽量利用了调查者对调查对象（总体）事先所掌握的各种信息，并充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性是非常重要的．

（2）分层抽样的实施步骤

第一步，按某种特征将总体分成若干部分（层）．

第二步，计算抽样比．抽样比＝

.

第三步，各层抽取的个体数＝____________________________.

第四步，依各层抽取的个体数，按______________从各层抽取样本．

第五步，综合每层抽样，组成样本．

知识点三　三种抽样方法的比较

方法类别

共同特点

抽样特征

相互联系

适用范围

简单随机抽样

系统抽样

分层抽样

知识点四　数据收集的几种常见方式

1．做试验

根据调查项目的要求来设计一些合适的试验，能够直接地获得样本数据．试验时要注意准备好试验的用具（或组织好观测的对象）、指定专门的记录人员等．

做试验的优点是：

通常能得到可靠的数据资料；缺点是：

花费人力、物力、时间较多．

2．查阅资料

有些数据资料不容易直接调查得到，这时可以通过查阅统计年鉴、图书馆文献等办法获得所需或相关的数据．

3．设计调查问卷

做实际调查时往往要设计调查问卷．调查问卷一般由一组有目的、有系统、有顺序的题目组成．问题由调查人员根据调查的目的、项目进行设计．

类型一　系统抽样及应用

例1　为了了解参加某种知识竞赛的1000名学生的成绩，从中抽取一个容量为50的样本，那么采用什么抽样方法比较恰当？

简述抽样过程．

引申探究

在本例中，如果总体是1002，其余条件不变，又该怎么抽样？

反思与感悟　当总体中的个体数不能被样本容量整除时，需要在总体中剔除一些个体．由于剔除方法采用简单随机抽样，所以即使是被剔除的个体，在整个抽样过程中被抽到的机会和其他个体是一样的．

跟踪训练1　某工厂有1003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施．

类型二　分层抽样及应用

命题角度1　分层抽样适用情形判定

例2　某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人．当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？

反思与感悟　分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似．在实际操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用．

跟踪训练2　某单位有员工500人，其中35岁以下的有125人，35岁～49岁的有280人，50岁以上的有95人．为了调查员工的身体状况，要从中抽取一个容量为100的样本，如何进行抽取？

命题角度2　分层抽样具体实施步骤

例3　某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程．

反思与感悟　在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比．

跟踪训练3　某单位最近组织了一次健身活动，活动小组分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的

，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取200人进行抽查，试确定：

（1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；

（2）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．

1．检测员每10分钟从匀速传递的新产品生产流水线上抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样方法是（　　）

A．系统抽样法B．抽签法

C．随机数法D．其他抽样方法

2．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（　　）

A．101B．808C．1212D．2012

3．为了调查某省各城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为________．

4．某班级有50名学生，现要采用系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1～50号，并均匀分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生.

5．一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别用系统抽样法和分层抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本．

1．系统抽样有以下特点：

（1）适用于总体容量较大的情况；

（2）剔除多余个体及第一段抽样都要用简单随机抽样，因而与简单随机抽样有密切联系；

（3）是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是

，其中N为总体容量，n为样本容量；

（4）是不放回抽样．

在抽样时，只要第一段抽取的个体确定了，后面各段中要抽取的个体依照事先确定好的规律就自动地被抽出，因此简单易行．

2．总体容量小时，用简单随机抽样；总体容量大时，用系统抽样；总体差异明显时，用分层抽样．在实际抽样中，为了使样本具有代表性，通常要同时使用几种抽样方法．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　因为个体较多，采用简单随机抽样如制作号签等工作会耗费大量的人力、物力和时间，而且不容易做到“搅拌均匀”，从而使样本的代表性不强．

思考2　用简单随机抽样抽取第1段的个体编号．在抽取第1段的号码之前，自定义规则确定以后各段的个体编号，通常是将第1段抽取的号码依次累加间隔k.

梳理　

（2）①编号　②分段　随机　重新编号　③简单随机抽样

④（l＋k）　（l＋2k）．

知识点二　

思考1　不可以．

思考2　分层抽样的总体由差异明显的几部分构成，也就是说当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样．

思考3　不对，因为分层抽样是从各层独立地抽取个体，而系统抽样各段上抽取是按事先确定好的规则进行的，各层编号有联系，不是独立的，故系统抽样不同于分层抽样．

梳理

（1）差异明显　

（2）各层总的个体数×抽样比　简单随机抽样．

知识点三　

抽样过程中每个个体被抽取的概率相等　从总体中逐个不放回抽取　简单随机抽样是基础　样本容量较小　将总体分成均衡的几部分，按规则关联抽取　用简单随机抽样抽取起始号码　总体中的个体数较多，样本容量较大　将总体分成几层，按比例分层抽取　用简单随机抽样或系统抽样对各层抽样　总体由差异明显的几部分组成

题型探究

类型一　

例1　解　适宜选用系统抽样，抽样过程如下：

（1）随机地将这1000名学生编号为1,2,3，…，1000.

（2）将总体按编号顺序均分成50个部分，每部分包括20个个体．

（3）在第一部分的个体编号1,2,3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码l.

（4）以l为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：

l，l＋20，l＋40，…，l＋980.

引申探究

解　

（1）将每个学生编一个号，由1至1002.

（2）利用随机数法剔除2个号．

（3）将剩余的1000名学生重新编号1至1000.

（4）按编号顺序均分成50个部分，每部分包括20个个体．

（5）在第一部分的个体编号1,2,3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码l.

（6）以l为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：

l，l＋20，l＋40，…，l＋980.

跟踪训练1　解　

（1）将每个工人编一个号，由0001至1003.

（2）利用随机数法找到3个号将这3名工人剔除．

（3）将剩余的1000名工人重新编号0001至1000.

（4）分段，取间隔k＝

＝100，将总体均分为10组，每组100个工人．

（5）从第一段即0001号到0100号中随机抽取一个号l.

（6）按编号将l,100＋l,200＋l，…，900＋l，共10个号选出．

这10个号所对应的工人组成样本．

类型二　

例2　解　

（1）从总体来看，因为不同年龄阶段的学生的近视情况可能存在明显差异，为了使样本具有较好的代表性，应该分高中、初中、小学三个层次分别抽样．

（2）从三类学生的数量来看，人数较多，所以在各层抽样时可以采用系统抽样．

（3）采用系统抽样分好组之后，确定第一组人选时，可以采用简单随机抽样．

跟踪训练2　解　因为员工按年龄分为三个层，各层的身体状况有明显的差异，所以为了使样本具有代表性，需要采用分层抽样．抽样比为1∶5，即每5人中抽取一人．

35岁以下：

125×

＝25（人），35岁～49岁：

280×

＝

56（人），50岁以上：

95×

＝19（人）．

例3　解　抽样过程如下：

第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为

＝

.

第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×

＝2（人）；从教师中抽取112×

＝14（人）；从后勤人员中抽取32×

＝4（人）．

第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人．

第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．

跟踪训练3　解　

（1）设登山组人数为x，则游泳组人数为3x，再设游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有

＝47.5%，

＝10%，

解得b＝50%，c＝10%，故a＝1－50%－10%＝40%.

所以游泳组中，青年人、中年人、老年人各占的比例分别为40%、50%、10%.

（2）游泳组中，抽取的青年人人数为200×

×40%＝60，抽取的中年人人数为200×

×50%＝75，抽取的老年人人数为200×

×10%＝15.

当堂训练

1．A　[根据系统抽样的定义和性质进行判断即可．]

2．B　[根据分层抽样，得N×

＝96，解得N＝808，故选B.]

3．4

解析　乙组城市数占总城市数的比例为

＝

，样本容量为12，故乙组中应抽取的城市数为12×

＝4.

4．37

解析　因为12＝5×2＋2，所以第n组中抽得号码为5（n－1）＋2的学生．所以第八组中抽得号码为5×7＋2＝37的学生.

5．解　系统抽样法：

将200个产品编号为1～200，然后将编号分成20个部分，在第1部分中用简单随机抽样法抽取1个编号．如抽到5号，那么得到编号为5,15,25，…，195的个体，即可得到所需样本．

分层抽样法：

因为100＋60＋40＝200，所以

＝

，

所以100×

＝10,60×

＝6,40×

＝4.

因此在一级品、二级品和三级品中分别抽取10个、6个和4个，

即可得到所需样本．