勾股定理经典例题含答案.docx

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勾股定理经典例题含答案

经典例题透析

类型一：

勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）已知a=6，c=10，求b，

（2）已知a=40，b=9，求c；（3）已知c=25，b=15，求a.

【变式】:

如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?

类型二：

勾股定理的构造应用

2、如图，已知：

在

中，

，

，

.求：

BC的长.

举一反三【变式1】如图，已知：

，

，

于P.求证：

.

【变式2】已知：

如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：

四边形ABCD的面积。

类型三：

勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了

到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

（二）用勾股定理求最短问题

4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

类型四：

利用勾股定理作长为

的线段

5、作长为

、

、

的线段。

举一反三【变式】在数轴上表示

的点。

类型五：

逆命题与勾股定理逆定理

6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

1．原命题：

猫有四只脚．（正确）

2．原命题：

对顶角相等（正确）

3．原命题：

线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）

4．原命题：

角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）

7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。

总结升华：

勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。

举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

【变式2】已知:

△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数,且m＞n）,判断△ABC是否为直角三角

【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=

AB。

请问FE与DE是否垂直?

请说明。

经典例题精析

类型一：

勾股定理及其逆定理的基本用法

1、若直角三角形两直角边的比是3：

4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

思路点拨：

在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。

解析：

设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：

（3x）2+（4x）2＝202

化简得x2＝16；

∴直角三角形的面积＝

×3x×4x＝6x2＝96

总结升华：

直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。

举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D

则：

BD＝

BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）

∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）

∴BD＝1

在直角三角形ABD中，AB2＝AD2+BD2，即：

AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3

∴AD＝

S△ABC＝

BC·AD＝

注：

等边三角形面积公式：

若等边三角形边长为a，则其面积为

a。

【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：

由

（1）得：

x+y＝7，

（x+y）2＝49，x2+2xy+y2＝49（3）

（3）－

（2），得：

xy＝12

∴直角三角形的面积是

xy＝

×12＝6（cm2）

【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

思路点拨：

首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。

解：

此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：

（n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2

化简得：

n2＝4

∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1<0，∴n＝2

总结升华：

注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。

【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40

解析：

此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，

对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：

b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）来判断。

例如：

对于选择D，

∵82≠（40+39）×（40－39），

∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。

同理可以判断其它选项。

【答案】：

A

【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

解：

连结AC

∵∠B=90°，AB=3，BC=4

∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）

∴AC=5

∵AC2+CD2=169，AD2=169

∴AC2+CD2=AD2

∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=

AB·BC+

AC·CD=36

类型二：

勾股定理的应用

2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。

假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？

请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

思路点拨：

（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。

（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。

因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。

解析：

作AB⊥MN，垂足为B。

在RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，

∴AB＝

AP＝80。

（在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）

∵点A到直线MN的距离小于100m,

∴这所中学会受到噪声的影响。

如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100（m），

由勾股定理得：

BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60。

同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100（m），BD＝60（m）,

∴CD＝120（m）。

拖拉机行驶的速度为:

18km/h＝5m/s

t＝120m÷5m/s＝24s。

答：

拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。

总结升华:

勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。

他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

解析：

他们原来走的路为3+4＝7（m）

设走“捷径”的路长为xm，则

故少走的路长为7－5＝2（m）

又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。

【答案】4

【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

（1）直接写出单位正三角形的高与面积。

（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？

平行四边形ABCD的面积是多少？

（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。

【答案】

（1）单位正三角形的高为

，面积是

。

（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积

。

（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，

，

，故

类型三：

数学思想方法

（一）转化的思想方法

我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．

3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

思路点拨：

现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD．

解：

连接AD．

因为∠BAC=90°，AB=AC．又因为AD为△ABC的中线，

所以AD=DC=DB．AD⊥BC．

且∠BAD=∠C=45°．

因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°．

所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）．

所以AE=FC=5．

同理：

AF=BE=12．

在Rt△AEF中，根据勾股定理得：

，所以EF=13。

总结升华：

此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。

通过此题，我们可以了解：

当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。

（二）方程的思想方法

4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，

，求

、

、

的值。

思路点拨：

由

，再找出

、

的关系即可求出

和

的值。

解：

在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，

则

，由勾股定理，得

。

因为

，所以

，

，

，

。

总结升华：

在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。

举一反三：

【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

解：

因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。

因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，

在Rt△ABF中，AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，

所以

。

所以

。

设

，则

。

在Rt△ECF中，

，即

，解得

。

即EF的长为5cm。

经典例题透析

类型一：

勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）已知a=6，c=10，求b，

（2）已知a=40，b=9，求c；（3）