∴sinC＝，
∴S△ABC＝absinC
＝×3×2×＝4.
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1 （2016·四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.
（1）证明：
sinAsinB＝sinC；
（2）若b2＋c2－a2＝bc，求tanB.
（1）证明 根据正弦定理，可设
＝＝＝k（k>0），
则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，
代入＋＝中，有
＋＝，变形可得
sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin（A＋B）．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC．所以sinAsinB＝sinC.
（2）解 由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有
cosA＝＝.
所以sinA＝＝.
由
（1）知，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，
所以sinB＝cosB＋sinB.
故tanB＝＝4.
思维升华 应用正弦、余弦定理的解题技巧
（1）求边：
利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解．
（2）求角：
先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA＝，sinB＝，sinC＝或其他相应变形公式求解．
（3）已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．
（4）灵活利用式子的特点转化：
如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．
（1）△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则等于（ ）
A．2B．2
C.D.
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin（A－C）＝2cosAsinC，则b等于（ ）
A．6B．4
C．2D．1
答案
（1）D
（2）C
解析
（1）（边化角）
由asinAsinB＋bcos2A＝a及正弦定理，得
sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝sinA，
即sinB＝sinA，所以＝＝.故选D.
（2）（角化边）
由题意，得sinAcosC－cosAsinC＝2cosAsinC，
即sinAcosC＝3cosAsinC，
由正弦、余弦定理，得
a·＝3c·，
整理得2（a2－c2）＝b2，①
又a2－c2＝b，②
联立①②得b＝2，故选C.
题型二 和三角形面积有关的问题
例2 （2016·浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.
（1）证明：
A＝2B；
（2）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
（1）证明 由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin（A＋B）＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，
于是sinB＝sin（A－B）．
又A，B∈（0，π），故0＜A－B＜π，所以B＝π－（A－B）或B＝A－B，
因此A＝π（舍去）或A＝2B，所以A＝2B.
（2）解 由S＝，得absinC＝，
故有sinBsinC＝sinA＝sin2B＝sinBcosB，
由sinB≠0，得sinC＝cosB.
又B，C∈（0，π），所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
思维升华
（1）对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝（a－b）2＋6，C＝，则△ABC的面积是（ ）
A．3B.
C.D．3
答案 C
解析 ∵c2＝（a－b）2＋6，
∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝，
∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.
题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 判断三角形的形状
例3
（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
答案
（1）A
（2）B
解析
（1）由所以sinC即sin（A＋B）所以sinAcosB<0，
因为在三角形中sinA>0，所以cosB<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
（2）由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，
∴sin（B＋C）＝sin2A，
即sin（π－A）＝sin2A，sinA＝sin2A.
∵A∈（0，π），∴sinA>0，∴sinA＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形．
引申探究
1．例3
（2）中，若将条件变为2sinAcosB＝sinC，判断△ABC的形状．
解 2sinAcosB＝sinC＝sin（A＋B），
∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosBsinA，
∴sin（A－B）＝0，
又A，B为△ABC的内角，
∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．
2．例3
（2）中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，判断△ABC的形状．
解 ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝，
又0又由2cosAsinB＝sinC得sin（B－A）＝0，∴A＝B，
故△ABC为等边三角形．
命题点2 求解几何计算问题
例4 （2015·课标全国Ⅱ）如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
（1）求；
（2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
解
（1）S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，
S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，
所以AB＝2AC.
由正弦定理可得＝＝.
（2）因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，
又由
（1）知AB＝2AC，所以解得AC＝1.
思维升华
（1）判断三角形形状的方法
①化边：
通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：
通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
（2）求解几何计算问题要注意
①根据已知的边角画出图形并在图中标示；
②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．
命题点3 解三角形的实际应用
例5
（1）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD是60m，则河流的宽度BC等于（ ）
A．240（－1）mB．180（－1）m
C．120
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