高等几何与解析几何的诞生.docx

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高等几何与解析几何的诞生

高等几何与解析几何的诞生 

所有科学，包括逻辑和数学在内，都是有关时代的函数。

——E.H.Moore

   中世纪的欧洲，历史上称为黑暗时代。

战乱频繁，经济落后，生产水平十分低下。

及至宗教的禁锢，圣经就是一切，几何学同其它科学一样，处于蒙昧状态。

数学工作仅限于翻译和诠释古希腊的部分数学成果，数学发展的中心逐渐转向中国、印度和一些阿拉伯国家。

   十五世纪够半夜其实的两个世纪，后世称为欧洲文艺复兴时期。

从这时开始，才渐渐打破万马齐喑的局面。

经济的复苏和繁荣推动了科学技术的进步，产生了对数学的强烈需求。

作为建筑、绘画理论基础的射影几何开始萌芽；天文和力学的迅猛发展，导致解析几何的诞生。

   §1.文艺复兴与影射几何的肇始

   文艺复兴的号角首先在意大利吹响。

意大利处于地中海北侧，欧洲南沿，海岸曲线曲折蜿蜒，地理位置十分优越。

成为当时的东西方商业贸易中心、经济中心和文化交流中心。

正如恩格斯在《自然辩证法》一书中所说：

“社会一旦有了技术上的需要，则这种需要就会比十所大学更能把科学推向前进。

”

   1492年，意大利人哥仑布（Columbus）发现了新大陆。

1542年，哥白尼（Copernicus）出版了著名的《天体运行论》，提出了违反天主教圣经教义的太阳中心说。

1590年，意大利的著名科学家伽利略（Galilei）在比萨斜塔上完成了著名的自由落体实验；同时，他把自制的望远镜对准星空，不仅验证了哥白尼的太阳中心说，而且发现太阳有黑子，土星有光环，木星有卫星，真是千姿百态，美不胜收。

“从此，自然科学便开始从神学中解放出来。

”实现了“人类从来没有经历过的最伟大、最进步的变革。

”（引自恩格斯的《自然辩证法》）。

   数学方面的进展尽管不能同文学、艺术、建筑和其它科学领域的进展相比美，但也迈出了有创造性的几步。

   天资非凡的勒奥拉多·达·芬奇（Leonardo·da·Vinci1452——1519）出生在意大利离佛罗伦萨不远的芬奇（Vinci）城。

从1495年起，应米兰大公之邀，用了两年时间，为米兰圣玛丽亚教堂格拉茨分院的墙壁上完成了一幅巨作——《最后的晚餐》。

这幅壁画描绘耶稣同他的门徒的秘密会见，当耶稣讲完“你们中间有一个人出卖了我”后的一瞬间。

耶稣的神情庄重而安详，智慧而忧伤，一副听天由命姿态，使他无论在画中还是在观众心中都是注目的焦点。

十二个门徒，十二种气质，十二张脸谱，有条不紊地安排在画中心耶稣的两旁。

不，不是脸谱，而是由于听到老师可怕的话而像人那样感到痛苦的面孔。

   《最后的晚餐》不仅是艺术史上的旷世杰作，而且严格地按照透视法原理构图，在摄影几何史中有着重要地位。

   达·芬奇不是第一个熟谙透视，甚至集合对绘画的指导作用的人。

在他前后，布鲁内希、阿尔贝蒂、弗朗瑟斯卡、丢勒等对透视法都很有研究。

然而，只有达·芬奇能够最确切、最形象地阐述透视原理的基本思想，并且通过《最后的晚餐》及其他作品天才地实践这些思想。

   由于自然界中的物体都是立体的，而画家都只能使用画布或墙壁这样的平面作画。

因此，他考虑，必须让画在平面上的物体具有凹凸不平的立体感，或者说是画幅和被画的对象对观众产生同样的印象，这就得探讨人的视觉规律。

   为此目的，达·芬奇写了《绘画专论》一书，书中称透视法是“绘画的舵轮和准绳。

”其中有句名言：

“观点是存在于观者的眼睛的。

”他建议画一只眼睛所能看到的景物。

从景物的每一个能看到的点出发的光线能进入人的眼睛，经过瞳孔的折射，最后在视网膜上形成物体的印象。

现在假定在人的眼睛与景物之间放一片透明薄膜，从能看到的点进入眼睛的每一条光线，都穿过这张薄膜上的一点。

所有这些点的集合形成了景物在薄膜上的象。

这个这一过程，几何上称为中心射影。

人眼所在的S点称为射影中心，象点称为射影。

通过中心射影所建立起来的景物同它的摄影之间的一一对应称为透视对应，简称透视。

研究同一种物体的不同射影之间的共同性质和数量关系的几何学，称为射影几何。

   回到《最后的晚餐》的画面，观众能看到的，发生所画事件的房间中的每一个点，对应着画面上的一个定点。

房间中的每一条线段（桌子边缘、窗户边缘等），对应着画面上的一条线段。

但是房间中的相等线段，画在画面上不一定再相等，某些角也一样，发生了变化。

比如房间的天花板是矩形的，画面上都成了梯形。

更为突出的是，原物中墙壁与天花板的两条交线是平行的，而画面上的对应直线的延长线却交于一点。

实际上，交于耶稣的头象处，这就使画面上的主要人物——耶稣基督，处于一个突出的、值得强调的核心位置上，产生感人心脾的艺术效果。

   不过，透视理论的发展，从萌芽到成为专门的学科——射影几何。

前后经历了三百年。

只有像达·芬奇这样兼具艺术家的气质、工程师的才干和数学家头脑的天才，才能冲破中世纪万马齐喑的局面，开除文艺复兴时代几何学的一朵艳丽之花。

   达·芬奇的知识很渊博。

艺术上他是无与伦比的天才大师；医学上，他绘制了比较详细的人体解剖图；工程上，他模仿鸟的结构，设计过各种飞行器；几何上，他巧妙地用圆柱滚动一周的方法解决了花圆为方的难题。

他研究过等腰梯形、圆内接正多边形的作图，四面体的重心等。

他认为：

“在科学上，凡使用不上任何一种数学的地方，凡是和数学没有联系的地方，都是不可靠的。

”他毕生留下了六千页以上的手稿，被誉为“艺术家中的科学家，科学家中的艺术家”，为绘画、音乐、建筑、植物、动物、生理、地质、天文、力学、光学、数学等各门科学的现代发展开了先河。

   在射影几何漫长的发展过程中，1639年，自学成才的法国建筑师笛沙格迈出了具有决定意义的一步，他照当时的惯例印发了一本有一个引人注目的长名称的小册子：

《试论圆锥和平面相截所得结果的初稿》

   这本小册子中，笛沙格首先提出一个新观点，即平行线的射影有交点，因此平行线应在无穷远处相交，他称平行线的无穷远交点为无穷远点。

图中，平面Ｍ上的无穷远点Ｔ对应于平面Ｎ上的普通点。

同时他还假定直线上的无穷远点与任何其余的点等价。

用现代的语言来说，就是笛沙格在欧氏空间中添进了新元素——无穷远点，而且所有的无穷远点都共面，称为无穷远平面。

这种扩充了的欧氏空间作为新空间的模型是笛沙格最先想到的，现在称为射影空间。

射影空间中的几何，称为射影几何。

冠上“射影”二字，着重说明这种新几何的内容源自于绘画和建筑中对射影的研究。

   笛沙格坚持，所有的圆锥曲线，无论是抛物线、椭圆或双曲线，都能从同一种曲线变化而来。

因此，能从最简单的圆锥曲线——圆出发，了解到椭圆及其他圆锥曲线的性质。

直线是半径为无穷大的圆的一部分；平行直线在无穷远处相交；焦点重合的椭圆退化为圆；焦点之一为无穷远点的椭圆是抛物线。

这是一种研究圆锥曲线的独特而又巧妙的方法，是笛沙格的创新。

   笛沙格提出了射影几何中最漂亮的定理：

如果两个三角形对应的交点共线（视为透视轴），那么这两个三角形的对应顶点连线共点（视为透视心）。

这个定理现在称为笛沙格定理，满足笛沙格定理的几何图形称为笛沙格构图。

在笛沙格构图中，共有十个点，十条直线，地位是平等的。

任何一点都可作透视心，任何一条直线都可作透视轴。

沿着任何一点（或一直线），都可以找到以该点为透视心（或该线为透视轴）的两个三角形。

   笛沙格考察射影空间时，发现一个类似于欧氏空间中的距离的量，这就是交比。

交比是射影几何的基本概念，它在射影变化下保持不变。

笛沙格从最简单的圆锥曲线（圆）开始，考察了圆的中心射影性质——点线结合性质，这类性质对任何圆锥曲线都适用。

   假定平面上有一个圆和圆外一点M，从M点（可以是无穷远点）向圆作两条切线（可以是平行线），两个切点确定一条直线m是点M的极线，而点M称为直线m极点。

过极点和圆心作直线，交圆周于A、B两点：

交极线于N点，这样，直线上出现两对点：

一对在圆周上，另一对是极点和对应极线上的点。

从而得出，线段AN和NB的长度比等于线段AM和MB的长度比。

写成等式：

   或与之等价的等式 

   通常称为点对N、M调合分割线段AB，或直线上四点N、M与A、B称调合共轭。

   进一步地，只保留上图中的直线本身及线上四点，取直线外任一点为射影中心，过中心和成调合共轭的四点分别引射线，我们称之为成调合共轭的四条射线。

值得注意的是，任做一条直线同这些射线相交，得到的四个新点也是调合的。

   因为图上没有圆周和极线，从表面上看，很难确定四点是不是成调合共轭。

不过，可以通过度量，先求两个比和再求这两个比之比。

如果是1，那么四点是调合的。

若是别的什么数，称为四点的交比。

而且在中心射影变换下，四点的交比保持不变。

证明很简单，只要求出从点S出发的线段长度以及它的夹角的正弦，并利用三角形的面积公式即得。

   笛沙格的想法是独特的，理论是新颖的，只是其中用了一些古怪的术语。

他的同时代人热衷于笛卡儿的解析几何，没法接受笛沙格的思想,称他为“怪人”。

他的只印了五十本的小册子：

《试论……》，也和笛沙格本人一样，不被他的同时代人所理解，没有为社会带来任何进步，也没有为作者赢得应有的声望，而且很快就全部流失了。

过了二百多年，法国几何史专家沙尔才找到一个抄本，到了这个时候，才奠定了笛沙格作为射影几何的创始人和奠基者的地位。

   差不多与笛沙格同时，对射影几何做出重要贡献的另一位重要人物是巴斯加。

1640年，年仅16岁的神童巴斯加发表了《论圆锥曲线》的八页论文，文中包含了三条定义，三个引理和一些定理，但证明没有一一列出。

他出生于法国克勒芒，自幼多病，他的父亲埃·巴斯加是发现一种特殊螺线（巴斯加螺线）的有才能数学家，为了不让小巴斯加过早接触数学，以免过度紧张的思考损害他的健康，老巴斯加将一切数学书籍都收藏起来。

严格的禁令反而激发小巴斯加的好奇心。

12岁时他就问父亲：

“几何究竟是什么？

”父亲回答：

“几何学是一门提供正确作图，并找出各种图形之间存在的关系的学科。

”说完之后，禁止巴斯加再谈这类问题。

然而，巴斯加听了父亲的谈话后，激动的心情不能自已。

他自立定义，把欧氏几何中的线段叫做棒棒，圆叫做圈圈，迷恋着棒棒和圈圈组成的图形。

她自行证明，独立地发现了三角形内角和定理，并把结果告诉了父亲。

父亲惊喜交加，不仅解除了禁令，而且给了他一本欧几里德的《几何原本》，鼓励他认真学习。

   16岁时，巴斯加发现射影几何上有着重要地位的六边形定理，他称为“神秘的六边形。

”并传说由此推出了近400条结论。

19岁时发明了历史上第一架机械传动的计算机。

他在概率论和微积分方面也做过一些开创性的工作。

更可贵的是他作为笛卡儿的学生，在解析法风靡一时，几何学家都用笛卡儿的方法的潮流下能独树一帜，用纯几何方法取得了自古希腊阿波罗尼以来，研究圆锥曲线的最佳成果。

   巴斯加才华横溢，思维敏捷。

在几何学、概率论、组合论、物理学诸方面成果甚丰。

然而自幼体弱多病，短暂的一生几乎都为疾病所折磨。

成年后笃信宗教，企图把神学与科学加以调合，后来在失望和痛苦中只活到三十九岁就过早地去世了。

他死后，综合几何衰落了两个世纪。

§2.解析几何的诞生和发展 

   十七和十八两个世纪中研究几何学的通用方法是笛卡儿发现的解析法。

大概这就是导致笛沙格和巴斯加的著作失传及射影几何冷落达二百年的根本原因吧。

   早在古希腊时代，前面提到过的著名几何学家阿波罗尼就写过《论平面轨迹》一书，不过已经失传。

在流传下来的阿波罗尼的著作中坐标的思想已经见端倪。

他把圆锥体的底面直径及过顶点的垂线作为类似于横轴和纵轴的结构。

比阿波罗尼略晚一些，另一位希腊数学家希帕恰斯，已经知道星球的位置可以由经纬度来确定。

文艺复兴时期，韦达和他的学生用代数方法解决几何问题，几乎走到发现解析几何的大门前。

但是解析几何的诞生和发展只有等到数学特别是代数符号系统得到充分发展以后才成为可能。

   现代公认的解析几何的创始人是法国第一流的哲学家、物理学家、生物学家、数学家的笛卡儿（R.Descartes1596——1650）。

笛卡儿出生于法国著名军港土伦附近的拉哈耶（LaH