函数的周期性与对称性 菁优网.docx

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函数的周期性与对称性菁优网

函数的周期性与对称性

一．选择题（共13小题）

1．（2013•湖北）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（　　）

A．

奇函数

B．

偶函数

C．

增函数

D．

周期函数

2．（2015•河南模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+

，则f（log220）=（　　）

A．

1

B．

C．

﹣1

D．

﹣

3．（2014•张掖模拟）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[0，2]时，f（x）=（x﹣1）2，如果g（x）=f（x）﹣log5|x﹣1|，则函数y=g（x）的所有零点之和为（　　）

A．

2

B．

4

C．

6

D．

8

4．（2014春•晋江市校级期末）已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x）．且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2013）+f（2014）的值为（　　）

A．

﹣2

B．

﹣1

C．

1

D．

2

5．（2014秋•洛阳期末）设函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R有f（x）=f（x+6），且f（x）在（0，3）内单调递减，f（x）的图象关于直线x=3对称，则下列正确的结论是（　　）

A．

f（1.5）＜f（3.5）＜f（6.5）

B．

f（6.5）＜f（3.5）＜f（1.5）

C．

f（3.5）＜f（1.5）＜f（6.5）

D．

f（3.5）＜f（6.5）＜f（1.5）

6．（2014秋•永登县校级期末）已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x+4），且函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增．如果x1＜2＜x2，且x1+x2＜4，则f（x1）+f（x2）的值（　　）

A．

可正可负

B．

恒大于0

C．

可能为0

D．

恒小于0

7．（2013秋•深圳期末）已知f（x）是R上的奇函数，对于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f

（2）成立，若f

（1）=2，则f（2013）等于（　　）

A．

0

B．

2

C．

2014

D．

﹣2

8．（2014春•三元区校级期中）已知定义在R上的函数f（x）满足条件f（x+

）=﹣f（x），且函数y=f（x﹣

）为奇函数，给出以下四个命题：

①函数f（x）的最小正周期是

；

②函数f（x）的图象关于点（﹣

，0）对称；

③函数f（x）为R上的偶函数；

④函数f（x）为R上的单调函数．

其中真命题的个数是（　　）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

9．（2013•湖南模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）+f（﹣x）=0，当x＞2，f（x）单调递增，如果x1+x2＜4且x1x2﹣2x1﹣2x2+4＜0，则f（x1）+f（x2）的值（　　）

A．

恒小于0

B．

恒大于0

C．

可能为0

D．

可正可负

10．（2013春•乐清市期末）定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，下面是关于f（x）的判断：

（1）f（x）的周期为2；

（2）f（x）关于点P（

）对称

（3）f（x）的图象关于直线x=1对称；

（4）f（x）在[0，1]上是增函数；

其中正确的判断的个数为（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

11．（2013秋•颍州区校级期中）已知定义在R上的函数f（x）为奇函数，且有f（x+

）=﹣f（x），则f（﹣1）+f（﹣2）+f（﹣3）的值为（　　）

A．

2

B．

1

C．

0

D．

﹣1

12．（2013秋•二七区校级月考）已知定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上只有l和3两个零点，且y=f（2﹣x）与y=f（7+x）都是偶函数，则函数y=f（x）在[0，2013]上的零点个数为（　　）

A．

402

B．

403

C．

404

D．

405

13．（2012•成都一模）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），则下列说法正确的是（　　）

A．

f（3）=1

B．

函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是增函数

C．

函数f（x）关于直线x=4对称

D．

若关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上所有根之和为﹣8，则一定有m∈（0，1）

2015年07月18日nxyxy的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共13小题）

1．（2013•湖北）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（　　）

A．

奇函数

B．

偶函数

C．

增函数

D．

周期函数

考点：

函数的周期性；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．菁优网版权所有

专题：

计算题；新定义．

分析：

依题意，可求得f（x+1）=f（x），由函数的周期性可得答案．

解答：

解：

∵f（x）=x﹣[x]，

∴f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x+1﹣[x]﹣1=x﹣[x]=f（x），

∴f（x）=x﹣[x]在R上为周期是1的函数．

故选：

D．

点评：

本题考查函数的周期性，理解题意，得到f（x+1）=f（x）是关键，属于基础题．

2．（2015•河南模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+

，则f（log220）=（　　）

A．

1

B．

C．

﹣1

D．

﹣

考点：

函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．菁优网版权所有

专题：

计算题．

分析：

根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log220）的值．

解答：

解：

∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），

∴函数f（x）为奇函数

又∵f（x﹣2）=f（x+2）

∴函数f（x）为周期为4是周期函数

又∵log232＞log220＞log216

∴4＜log220＜5

∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2

）=﹣f（﹣log2

）=﹣f（log2

）

又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+

，

∴f（log2

）=1

故f（log220）=﹣1

故选C

点评：

本题考查的知识点是函数的周期性和奇偶函数图象的对称性，其中根据已知中f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）判断函数的奇偶性，并求出函数的周期是解答的关键．

3．（2014•张掖模拟）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[0，2]时，f（x）=（x﹣1）2，如果g（x）=f（x）﹣log5|x﹣1|，则函数y=g（x）的所有零点之和为（　　）

A．

2

B．

4

C．

6

D．

8

考点：

函数的周期性．菁优网版权所有

专题：

压轴题；函数的性质及应用．

分析：

先根据函数的周期性画出函数y=f（x）的图象，以及y=log5|x﹣1|的图象，结合图象可得当x＞6时，y=log5|x﹣1|＞1，此时与函数y=f（x）无交点，再根据y=log5|x﹣1|的图象关于直线x=1对称，可判定函数g（x）=f（x）﹣log5|x﹣1|的零点个数及零点之和．

解答：

解：

由题意可得g（x）=f（x）﹣log5|x﹣1|，根据周期性画出函数f（x）=（x﹣1）2的图象

以及y=log5|x﹣1|的图象，

根据y=log5|x﹣1|在（1，+∞）上单调递增函数，当x=6时，log5|x﹣1|=1，

∴当x＞6时，y=log5|x﹣1|＞1，此时与函数y=f（x）无交点．

再根据y=log5|x﹣1|的图象和f（x）的图象都关于直线x=1对称，结合图象可知有8个交点，

且函数g（x）=f（x）﹣log5|x﹣1|的零点之和为8，

故选D．

点评：

本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将函数g（x）=f（x）﹣|log5x|的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易，属于中档题．

4．（2014春•晋江市校级期末）已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x）．且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2013）+f（2014）的值为（　　）

A．

﹣2

B．

﹣1

C．

1

D．

2

考点：

函数的周期性；抽象函数及其应用；函数的值．菁优网版权所有

专题：

计算题．

分析：

首先根据f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，可得f（﹣x）=f（x），知f（﹣2012）=f（2012），求出函数的周期T=2，利用当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1）的解析式，进行求解．

解答：

解：

∵函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，

∴f（﹣x）=f（x），

又∵对于x≥0都有f（x+2）=f（x），

∴T=2，∵当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），

∴f（﹣2013）+f（2014）=f（2013）+f（2014）=f（2×1006+1）+f（2×1007）

=f

（1）+f（0）=log22+log21=1，

故选：

C．

点评：

此题主要考查偶函数的性质及其周期性，还考查了周期函数的解析式，是一道基础题，计算的时候要仔细．

5．（2014秋•洛阳期末）设函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R有f（x）=f（x+6），且f（x）在（0，3）内单调递减，f（x）的图象关于直线x=3对称，则下列正确的结论是（　　）

A．

f（1.5）＜f（3.5）＜f（6.5）

B．

f（6.5）＜f（3.5）＜f（1.5）

C．

f（3.5）＜f（1.5）＜f（6.5）

D．

f（3.5）＜f（6.5）＜f（1.5）

考点：

函数的周期性．菁优网版权所有

专题：

函数的性质及应用．

分析：

由条件可知函数f（x）的周期为6，利用函数周期性，对称性和单调性之间的关系即可得到结论．

解答：

解：

∵f（x）=f（x+6），

∴f（x）在R上以6为周期，

∵函数的对称轴为x=3，

∴f（3.5）=f（2.5），f（6.5）=f（0.5）

∵f（x）在（0，3）内单调递减，0.5＜1.5＜2.5

∴f（2.5）＜f（1.5）＜f（0.5）

即f（3.5）＜f（1.5）＜f（6.5）

故选：

C

点评：

本题主要考查了函数的周期性与单调性的综合运用，利用周期性把所要比较的变量转化到同一单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，是解决此类问题的常用方法．

6．（2014秋•永登县校级期末）已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x+4），且函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增．如果x1＜2＜x2，且x1+x2＜4，则f（x1）+f（x2）的值（　　）

A．

可正可负

B．

恒大于0

C．

可能为0

D．

恒小于0

考点：

函数的周期性．菁优网版权所有

专题：

函数的性质及应用．

分析：

得出2＜x2＜4﹣x1，结合函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，得出f（x2）＜f（4﹣x1）=﹣f（x1），即可判断答案．

解答：

解：

∵定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x+4），

∴f（x）=﹣f（4﹣x），

∵x1＜2＜x2，且x1+x2＜4，

∴2＜x2＜4﹣x1，

∵函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，

∴f（x2）＜f（4﹣x1）=﹣f（x1），

∴f（x1）+f（x2）＜0，

故选：

D．

点评：

本题考查了函数的性质，运用函数式子，结合单调性判断求解，属于中档题，难度不大，关键是转化变量为给定的区间，判断即可．

7．（2013秋•深圳期末）已知f（x）是R上的奇函数，对于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f

（2）成立，若f

（1）=2，则f（2013）等于（　　）

A．

0

B．

2

C．

2014

D．

﹣2

考点：

函数的周期性；函数奇偶性的性质．菁优网版权所有

专题：

综合题；函数的性质及应用．

分析：

在等式中令x=﹣2及奇函数性质可求得f

（2）=0，进而可推得函数的周期，运用周期性可求得f（2013）．

解答：

解：

令x=﹣2，则f（﹣2+4）=f（﹣2）+f

（2），即f

（2）=f（﹣2）+f

（2），

又f（x）为奇函数，

∴f（﹣2）=﹣f

（2），则f

（2）=0，

∴f（x+4）=f（x），

故4为f（x）的周期，又f

（1）=2，

∴f（2013）=f（4×503+1）=f

（1）=2，

故选B．

点评：

本题考查函数的奇偶性、周期性及其应用，考查学生综合运用函数性质分析解决问题的能力．

8．（2014春•三元区校级期中）已知定义在R上的函数f（x）满足条件f（x+

）=﹣f（x），且函数y=f（x﹣

）为奇函数，给出以下四个命题：

①函数f（x）的最小正周期是

；

②函数f（x）的图象关于点（﹣

，0）对称；

③函数f（x）为R上的偶函数；

④函数f（x）为R上的单调函数．

其中真命题的个数是（　　）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

考点：

函数的周期性；抽象函数及其应用．菁优网版权所有

专题：

函数的性质及应用．

分析：

由“f（x+

）=﹣f（x）”可得周期为3，由“且函数y=f（x﹣

）为奇函数”可得y=f（x）的对称性，然后两者结合以及利用代数变换或图象变换对四个选项做出判断．

解答：

解：

∵对任意的x∈R，函数f（x）满足条件f（x+

）=﹣f（x），∴f（x+3）=f（x+

）=﹣f（x+

）=f（x），∴f（x）的最小正周期是3，故①④是假命题；

∵函数y=f（x﹣

）为奇函数，∴y=f（x﹣

）的图象关于原点对称，将y=f（x﹣

）的图象向左平移

个单位得y=f（x）的图象，∴函数f（x）的图象关于（﹣

，0）对称，故②是真命题；

∵y=f（x﹣

）为奇函数，∴

，令

，代入上式得f（﹣t﹣

）=﹣f（t），即f（﹣x﹣

）=﹣f（x），结合f（x+

）=﹣f（x），∴f（﹣x﹣

）=﹣f（x+

），再令y=x

，则由上式得f（﹣y）=f（y）恒成立，所以y=f（x）是偶函数，故③是真命题．所以，真命题共两个．

故选B

点评：

本题综合考查了抽象函数的奇偶性、周期性，因为没有具体的解析式，所以准确理解每个关系式的意义是解题关键，能结合图象理解的尽量结合图象，使问题直观化，具体化．

9．（2013•湖南模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）+f（﹣x）=0，当x＞2，f（x）单调递增，如果x1+x2＜4且x1x2﹣2x1﹣2x2+4＜0，则f（x1）+f（x2）的值（　　）

A．

恒小于0

B．

恒大于0

C．

可能为0

D．

可正可负

考点：

函数的周期性；函数单调性的性质；函数的值．菁优网版权所有

专题：

函数的性质及应用．

分析：

题设中条件众多，欲判断f（x1）+f（x2）的符号，有两种可能一是﹣f（x1）＞f（x2），一是﹣f（x1）＜f（x2），又f（﹣x）=﹣f（x+4），令x=﹣x1，即得f（x1）=﹣f（4﹣x1），由此问题转化为比较f（4﹣x1）与f（x2）的大小比较，由题设条件易证．

解答：

解：

设x1＜x2，由（x1﹣2）（x2﹣2）＜0，得x1＜2，x2＞2．

再由x1+x2＜4得，4﹣x1＞x2＞2，因为x＞2时，f（x）单调递增，所以f（4﹣x1）＞f（x2）．

又f（﹣x）=﹣f（x+4），取x=﹣x1，可得f（x1）=﹣f（4﹣x1），所以﹣f（x1）＞f（x2），

即f（x1）+f（x2）＜0，

故选A．

点评：

本题考点是抽象函数及其应用，考查根据抽象函数的性质进行灵活变形，转化证明的能力，本题对灵活转化的能力要求较高，依据条件灵活转化是一种数学素养较高的表现，属于中档题．

10．（2013春•乐清市期末）定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，下面是关于f（x）的判断：

（1）f（x）的周期为2；

（2）f（x）关于点P（

）对称

（3）f（x）的图象关于直线x=1对称；

（4）f（x）在[0，1]上是增函数；

其中正确的判断的个数为（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

考点：

函数的周期性；函数奇偶性的性质．菁优网版权所有

专题：

函数的性质及应用．

分析：

由条件求得f（x+2）=f（x），函数的周期为2，函数的图象每隔半个周期出现一条对称轴，f（x）的图象关于直线x=1对称，函数在[0，1]上是减函数，f（

）=0，f（x）的图象关于点P（

）对称，综上可得结论．

解答：

解：

定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），故有f（x+2）=f（x），

故函数的周期为2，故函数的图象的对称轴有无数个，每隔半个周期出现一条对称轴，

故f（x）的图象关于直线x=1对称，故

（1）、（3）正确．

再由函数f（x）在[﹣1，0]上是增函数，可得函数在[0，1]上是减函数，故（4）不正确．

再由f（x）=﹣f（x+1），可得f（

）=﹣f（

）=﹣f（

﹣2）=﹣f（﹣

）=﹣f（

），

故有f（

）=0，故f（x）的图象关于点P（

）对称，故

（2）正确．

综上可得，

（1）、

（2）、（3）正确，（4）不正确，

故选C．

点评：

本题主要考查函数的奇偶性、单调性和周期性的应用，函数的图象和性质，属于基础题．

11．（2013秋•颍州区校级期中）已知定义在R上的函数f（x）为奇函数，且有f（x+

）=﹣f（x），则f（﹣1）+f（﹣2）+f（﹣3）的值为（　　）

A．

2

B．

1

C．

0

D．

﹣1

考点：

函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．菁优网版权所有

专题：

函数的性质及应用．

分析：

可得f（0）=0，且f（x+3）=f（x），故函数是周期等于3的函数．可得f（3）=f（0）=0，f（﹣2）=f

（1），

故有f（﹣1）+f（﹣2）=0，从而得到f（﹣1）+f（﹣2）+f（﹣3）的值．

解答：

解：

由于定义在R上的函数f（x）为奇函数满足f（x+

）=﹣f（x），

可得f（0）=0，且f（x+3）=f（x），故函数是周期等于3的函数．

∴f（3）=f（0）=0，f（﹣2）=f（﹣2+3）=f

（1），

∴f（﹣1）+f（﹣2）=f（﹣1）+f

（1）=0，

∴f（﹣1）+f（﹣2）+f（﹣3）=0，

故选C．

点评：

本题主要考查函数的奇偶性、周期性的应用，属于基础题．

12．（2013秋•二七区校级月考）已知定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上只有l和3两个零点，且y=f（2﹣x）与y=f（7+x）都是偶函数，则函数y=f（x）在[0，2013]上的零点个数为（　　）

A．

402

B．

403

C．

404

D．

405

考点：

函数的周期性；函数奇偶性的性质．菁优网版权所有

专题：

函数的性质及应用．

分析：

根据y=f（2﹣x）与y=f（7+x）都是偶函数，得到函数f（x）=f（10+x）即函数是周期函数，利用函数的周期性即可得到函数零点的个数．

解答：

解：

∵y=f（2﹣x）与y=f（7+x）都是偶函数，

∴f（2﹣x）=f（2﹣x），f（7+x）=f（7﹣x），

即f（x）关于x=2和x=7对称．

∵f（2﹣x）=f（2+x），

∴f（4﹣x）=f（x），

∵f（7﹣x）=f（7+x），

∴f（4﹣x）=f（10+x）

∴f（x）=f（10+x），

即10是函数f（x）的一个周期

∵f（7﹣x）=f（7+x），

函数f（x）在[4，7]上无根．

∴函数f（x）在[7，10]上无根．

∴f（x）=0在[0，10]上恰有两根为1和3，

f（x）=0的根为10n+1或10n+3的形式

∴0≤10n+1≤2013，解得0≤n≤201.2，共202个

∴0≤10n+3≤2013，解得0≤n≤201，共202个

∴方程f（x）=0在闭区间[0，2013]上根的个数为404个．

故选：

C．

点评：

本题主要考查函数零点的个数的判断，利用函数的奇偶性得到函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．

13．（2012•成都一模）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），则下列说法正确的是（　　）

A．

f（3）=1

B．

函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是增函数

C．

函数f（x）关于直线x=4对称

D．

若关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上所有根之和为﹣8，则一定有m∈（0，1）

考点：

函数的周期性；函数奇偶性的性质．菁优网版权所有

专题：

压轴题；函数的性质及应用．

分析：

取x=1，得f（3）=﹣f（﹣3）=1；f（x﹣4）=f（﹣x），则f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），利用函数f（x）关于直线x=﹣2对称，可得函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数；若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0中两根的和为﹣6×2=﹣12，另两根的和为2×2=4，反之不一定成立．故可得结论．

解答：

解：

取x=1，