中考数学图形的相似解答题30题.docx
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中考数学图形的相似解答题30题
2013中考数学图形的相似解答题30题
1．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转
（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，
点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：
∠CBP=∠ABP；
（2）求证：
AE=CP；
2．（2013•株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：
△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
3．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，
AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，
已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：
BN=DN；
（2）求△ABC的周长．
4．（2013•益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
CE⊥AB于E．求证：
△ABD∽△CBE．
5．（2013•扬州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，
AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD
绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．
（1）求证：
AB⊥AE；
（2）若BC2=AD•AB，求证：
四边形ADCE为正方形．
6．（2013•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF
（点E、F分别在边AC、BC上）
（1）若△CEF与△ABC相似．
①当AC=BC=2时，AD的长为
；
②当AC=3，BC=4时，AD的长为
；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？
请说明理由．
7．（2013•厦门）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线
AC，BD相交于点E．若AE=4，CE=8，DE=3，
8．（2013•泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，
∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：
AC2=AB•AD；
（2）求证：
CE∥AD；
9．（2013•苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC
上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP
并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：
△APB≌△APD；
（2）已知DF：
FA=1：
2，设线段DP的长为x，
线段PF的长为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x=6时，求线段FG的长．
10．（2013•深圳）如图，在等腰梯形ABCD中，
已知AD∥BC，AB=DC，AC与BD交于点O，
廷长BC到E，使得CE=AD，连接DE．
（1）求证：
BD=DE．
（2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的长．
11．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC：
AB=1：
2，EF⊥CB，求证：
EF=CD．
12．（2013•陕西）一天晚上，黎明和张龙利用灯光下的影子
长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，
张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着
李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时
身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知
李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．
（结果精确到0.1m）．
13．（2013•衢州）【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：
∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，
（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？
请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
14．（2013•莆田）定义：
如图1，点C在线段AB上，
若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC
交AC于点D．
（1）求证：
点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
16．（2013•宁夏）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC
三个顶点的坐标分别为A（-1，2），B（-3，4）C（-2，6）
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为
原来的2倍后的△A2B2C2．
17．（2013•南通）在平面直角坐标系xOy中，已知A（-1，5），B（4，2），C（-1，0）三点．
（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为，点B关于x轴的对称点B′的坐标为
，点C关于y轴的对称点C的坐标为．
（2）求
（1）中的△A′B′C′的面积．
18．（2013•南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，
BC=7，∠B=60°，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P
作∠APE=∠B，PE交CD于E．
（1）求证：
△APB∽△PEC；
（2）若CE=3，求BP的长．
（1）如图2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC在
（1）的条件下，如图3，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图4，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论．
20．（2013•怀化）如图，已知在△ABC与△DEF中，
∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，
求证：
△ABC∽△DEF．
21．（2013•怀化）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，
正方形DEFG的顶点D地边AC上，点E、F在边AB上，
点G在边BC上．
（1）求证：
△ADE≌△BGF；
（2）若正方形DEFG的面积为16cm2，求AC的长．
22．（2013•广东）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为
一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．
（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，
Rt△DCE的面积为S3，则S1S2+S3
（用“＞”、“=”、“＜”填空）；
（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
23．（2013•佛山）网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．
24．（2013•德宏州）如图，是一个照相机成像的示意图．
（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物
高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？
（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物
有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
25．（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D，
E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．
（1）求证：
AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，
连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；
（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）
26．（2013•常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：
MB∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：
BM=ME．
27．（2013•滨州）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的
正面视图如图所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行
于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm．为使板凳两
腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？
（材质及其厚度等暂忽略不计）．
28．（2013•百色）如图，在等腰梯形ABCD中，
DC∥AB，E是DC延长线上的点，连接AE，
交BC于点F．
（1）求证：
△ABF∽△ECF；
（2）如果AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，求CE的长．
29．（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，
过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段
DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：
△ADF∽△DEC；
30．（2013•安顺）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．
（1）求证：
四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
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