第十六章 微型专题 动量守恒定律的应用.docx

第十六章 微型专题 动量守恒定律的应用.docx

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第十六章微型专题动量守恒定律的应用

微型专题　动量守恒定律的应用

[学习目标]　1.进一步理解动量守恒定律的含义及守恒条件.2.进一步熟练掌握应用动量守恒定律解决问题的方法和步骤．

一、动量守恒条件的扩展应用

1．动量守恒定律成立的条件：

（1）系统不受外力或所受外力的合力为零；

（2）系统的内力远大于外力；

（3）系统在某一方向上不受外力或所受外力的合力为0.

2．动量守恒定律的研究对象是系统．研究多个物体组成的系统时，必须合理选择系统，再对系统进行受力分析．分清系统的内力与外力，然后判断所选系统是否符合动量守恒的条件．

例1

　（多选）质量为M和m0的滑块用轻弹簧连接，以恒定速度v沿光滑水平面运动，与位于正对面的质量为m的静止滑块发生碰撞，如图1所示，碰撞时间极短，在此过程中，下列情况可能发生的是（　　）

图1

A．M、m0、m速度均发生变化，碰后分别为v1、v2、v3，且满足（M＋m0）v＝Mv1＋m0v2＋mv3

B．m0的速度不变，M和m的速度变为v1和v2，且满足Mv＝Mv1＋mv2

C．m0的速度不变，M和m的速度都变为v′，且满足Mv＝（M＋m）v′

D．M、m0、m速度均发生变化，M和m0的速度都变为v1，m的速度变为v2，且满足（M＋m0）v＝（M＋m0）v1＋mv2

答案　BC

解析　M和m碰撞时间极短，在极短的时间内弹簧形变极小，可忽略不计，因而m0在水平方向上没有受到外力作用，动量不变（速度不变），可以认为碰撞过程中m0没有参与，只涉及M和m，由于水平面光滑，弹簧形变极小，所以M和m组成的系统水平方向动量守恒，两者碰撞后可能具有共同速度，也可能分开，所以只有B、C正确．

例2

　如图2所示，质量分布均匀、形状对称的金属块内有一个半径为R的光滑半圆形槽，金属块放在光滑的水平面上且左边挨着竖直墙壁．质量为m的小球从金属块左上端R处静止下落，小球到达最低点后向右运动从金属块的右端冲出，到达最高点时离半圆形槽最低点的高度为

R，重力加速度为g，不计空气阻力．求：

图2

（1）小球第一次到达最低点时，小球对金属块的压力为多大？

（2）金属块的质量为多少？

答案　

（1）5mg　

（2）7m

解析　

（1）小球从静止到第一次到达最低点的过程，根据动能定理有mg·2R＝

mv02

小球刚到最低点时，根据圆周运动和牛顿第二定律

有FN－mg＝m

根据牛顿第三定律可知小球对金属块的压力为FN′＝FN

联立解得FN′＝5mg.

（2）小球第一次到达最低点至小球到达最高点过程，小球和金属块组成的系统水平方向动量守恒，则

mv0＝（m＋M）v

根据能量守恒定律有

mg·

R＝

mv02－

（m＋M）v2

联立解得M＝7m.

虽然系统整体上不满足动量守恒的条件，但在某一特定方向上，系统不受外力或所受外力远小于内力，则系统沿这一方向的分动量守恒，可沿这一方向由动量守恒定律列方程解答．

二、动量守恒定律在多物体、多过程中的应用

求解这类问题时应注意：

（1）正确分析作用过程中各物体状态的变化情况；

（2）分清作用过程中的不同阶段，并按作用关系将系统内的物体分成几个小系统，既要符合守恒条件，又方便解题．

（3）对不同阶段、不同的小系统准确选取初、末状态，分别列动量守恒方程．

例3

　如图3所示，光滑水平轨道上放置长木板A（上表面粗糙）和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为mA＝2kg、mB＝1kg、mC＝2kg.开始时C静止，A、B一起以v0＝5m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞．求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小．

图3

答案　2m/s

解析　长木板A与滑块C处于光滑水平轨道上，两者碰撞时间极短，碰撞过程中滑块B与长木板A间的摩擦力可以忽略不计，长木板A与滑块C组成的系统，在碰撞过程中动量守恒，取水平向右为正方向

则mAv0＝mAvA＋mCvC①

A、C碰撞后，长木板A与滑块B组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，mAvA＋mBv0＝（mA＋mB）v②

长木板A和滑块B达到共同速度后，恰好不再与滑块C碰撞，

则最后三者速度相等，vC＝v③

联立①②③式，代入数据解得：

vA＝2m/s

处理多物体、多过程动量守恒应注意的问题：

（1）正方向的选取．

（2）研究对象的选取，明确取哪几个物体为系统作为研究对象．

（3）研究过程的选取，明确哪个过程中动量守恒．

三、动量守恒定律应用中的临界问题分析

分析临界问题的关键是寻找临界状态，在动量守恒定律的应用中，常常出现相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向等临界状态，其临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键．

例4

　如图4所示，一质量为

的人站在质量为m的小船甲上，以速率v0在水平面上向右运动．另一个完全相同的小船乙以速率v0从右方向左方驶来，两船在一条直线上运动．为避免两船相撞，人从甲船以一定的速率水平向右跃到乙船上，问：

为能避免两船相撞，人水平跳出时相对于地面的速率至少多大？

图4

答案　

v0

解析　设向右为正方向，两船恰好不相撞，最后具有共同速度v1，由动量守恒定律，有

（

＋m）·v0－mv0＝（2m＋

）v1

解得v1＝

v0.

设人跃出甲船的速率为v2，人从甲船跃出的过程满足动量守恒定律，有（

＋m）v0＝mv1＋

v2

解得v2＝

v0.

1．（某一方向上的动量守恒）（多选）如图5所示，在光滑的水平面上放着一个上部为半圆形光滑槽的木块，开始时木块是静止的，把一个小球放到槽边从静止开始释放，关于两个物体的运动情况，下列说法正确的是（　　）

图5

A．当小球到达最低点时，木块有最大速率

B．当小球的速率最大时，木块有最大速率

C．当小球再次上升到最高点时，木块的速率为最大

D．当小球再次上升到最高点时，木块的速率为零

答案　ABD

解析　小球和木块组成的系统在水平方向上动量守恒，初状态系统动量为零，当小球到达最低点时，小球有最大速率，所以木块也有最大速率；小球上升到最高点时，小球速率为零，木块的速率也为零．

2．（多过程中的动量守恒）如图6所示，质量为M的盒子放在光滑的水平面上，盒子内表面不光滑，盒内放有一个质量为m的物块．从某一时刻起给m一个水平向右的初速度v0，那么在物块与盒子前后壁多次往复碰撞后（　　）

图6

A．两者的速度均为零

B．两者的速度总不会相等

C．物块的最终速度为

，方向水平向右

D．物块的最终速度为

，方向水平向右

答案　D

解析　物块与盒子组成的系统所受合外力为零，物块与盒子前后壁多次往复碰撞后，以速度v共同运动，由动量守恒定律得：

mv0＝（M＋m）v，故v＝

，方向水平向右，D项正确．

3．（多过程中的动量守恒）如图7所示，小明站在静止在光滑水平面上的小车上用力向右推静止的木箱，木箱最终以速度v向右匀速运动．已知木箱的质量为m，人与车的总质量为2m，木箱运动一段时间后与竖直墙壁发生无机械能损失的碰撞，反弹回来后被小明接住．求：

图7

（1）推出木箱后小明和小车一起运动的速度v1的大小；

（2）小明接住木箱后三者一起运动的速度v2的大小．

答案　

（1）

v　

（2）

v

解析　

（1）由动量守恒定律得2mv1－mv＝0

解得v1＝

v

（2）小明接木箱的过程中动量守恒，有

2mv1＋mv＝（2m＋m）v2

解得v2＝

v.

4．（动量守恒的临界问题）如图8所示，甲车质量m1＝20kg，车上有质量M＝50kg的人，甲车（连同车上的人）以v＝3m/s的速度向右滑行，此时质量m2＝50kg的乙车正以v0＝1.8m/s的速度迎面滑来，为了避免两车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度（相对地面）应当在什么范围以内才能避免两车相撞？

不计地面和小车之间的摩擦，且乙车足够长．

图8

答案　大于等于3.8m/s

解析　人跳到乙车上后，当两车同向且甲车的速度等于乙车的速度时，两车恰好不相撞．

以人、甲车、乙车组成的系统为研究对象，

由水平方向动量守恒得：

（m1＋M）v－m2v0＝（m1＋m2＋M）v′，解得v′＝1m/s.

以人与甲车为一系统，人跳离甲车过程水平方向动量守恒，得：

（m1＋M）v＝m1v′＋Mv1

解得v1＝3.8m/s.

因此，只要人跳离甲车的速度u≥3.8m/s，就可避免两车相撞．

一、选择题

考点一　动量守恒条件及系统和过程的选取

1．（多选）如图1所示，在光滑的水平面上有一静止的斜面，斜面光滑，现有一个小球从斜面顶端由静止释放，在小球下滑的过程中，以下说法正确的是（　　）

图1

A．斜面和小球组成的系统动量守恒

B．斜面和小球组成的系统仅在水平方向上动量守恒

C．斜面向右运动

D．斜面静止不动

答案　BC

解析　斜面和小球组成的系统受到斜面的重力、地面的支持力以及小球的重力，这三个力的合力不为零（球有竖直向下的加速度），故斜面和小球组成的系统动量不守恒，A选项错误；但在水平方向上斜面和小球组成的系统不受外力，故水平方向上动量守恒，B选项正确；由水平方向上动量守恒知斜面向右运动，C选项正确，D选项错误．

2．质量为M的砂车，沿光滑水平面以速度v0做匀速直线运动，此时从砂车上方竖直向下落入一个质量为m的大铁球，如图2所示，则铁球落入砂车后，砂车将（　　）

图2

A．立即停止运动

B．仍匀速运动，速度仍为v0

C．仍匀速运动，速度小于v0

D．做变速运动，速度不能确定

答案　C

解析　铁球和砂车组成的系统水平方向动量守恒，设砂车初速度方向为正，根据动量守恒定律得：

Mv0＝（m＋M）v

解得：

v＝

即砂车仍匀速运动，速度小于v0，故C正确，A、B、D错误．

3．如图3所示，质量为m2的小车上有一半圆形的光滑槽，一质量为m1的小球置于槽内，共同以速度v0沿水平面运动，并与一个原来静止的小车m3对接，则对接后瞬间，小车的速度大小为（　　）

图3

A.

B.

C.

D．以上答案均不对

答案　C

解析　对接过程，两小车组成的系统动量守恒，以小车m2的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：

m2v0＝（m2＋m3）v，解得：

v＝

.

4．（多选）如图4所示，将一光滑的半圆槽置于光滑水平面上，槽的左侧有一固定在水平面上的物块．今让一小球自左侧槽口A的正上方从静止开始落下，与圆弧槽相切自A点进入槽内，则以下结论中正确的是（　　）

图4

A．小球在半圆槽内由A向B做圆周运动，由B向C也做圆周运动

B．小球在半圆槽内运动的全过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒

C．小球自半圆槽的最低点B向C点运动的过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒

D．小球离开C点以后，将做斜抛运动

答案　CD

解析　小球在半圆槽内由A向B运动时，由于槽的左侧有一固定在水平面上的物块，槽不会向左运动，则小球机械能守恒，从A到B做圆周运动，系统在水平方向上动量不守恒；从B到C运动的过程中，槽向右运动，系统在水平方向上动量守恒，则B到C小球的运动不是圆周运动，故A、B错误，C正确；小球离开C点以后，既有竖直向上的分速度，又有水平分速度，小球做斜抛运动，故D正确．

考点二　多物体、多过程中的动量守恒

5．两辆质量相同的小车，置于光滑的水平面上，有一人静止在小车A上，两车静止，如图5所示．当这个人从A车跳到B车上，接着又从B车跳回A车并与A车保持相对静止，则A车的速率（　　）

图5

A．等于零B．小于B车的速率

C．大于B车的速率D．等于B