212二次函数的图象和性质.docx

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212二次函数的图象和性质

21.2　二次函数y=ax2的图象和性质

（1）

教学目标：

1．会用描点法画出二次函数y=x2的图象，概括出图象的特点及函数的性质．

2．经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的

经验．

3．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．

重点难点：

重点：

根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．

难点：

能够作出二次函数y=2x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同．

教学过程：

一、新课引入

我们在学习了正比例函数、一次函数定义后，研究了它们各自的图象特征，知道正比例

函数的图象是_______，一般的一次函数的图象是_______上节课我们学习了二次函

数的一般形式为________，那么它的图象是否也为直线呢？

本节课我们将一起来研究有

关问题．

二、讲授新课

小组活动一

【问题展示】

例1：

作二次函数y=x2的图象．

你知道画函数图象的一般步骤吗？

【合作探究】

描点法画函数y=x2的图象前，想一想，列表时如何合理选值？

以什么数为中心？

当x取互为相反数的值时，y的值如何？

【问题解答】

（1）列表：

┏━━━┳━━━┳━━━┳━━━┳━━━┳━━━┳━━━┳━━━┓

┃x┃-3┃-2┃-1┃0┃1┃2┃3┃

┣━━━╋━━━╋━━━╋━━━╋━━━╋━━━╋━━━╋━━━┫

┃y┃9┃4┃1┃0┃1┃4┃9┃

┗━━━┻━━━┻━━━┻━━━┻━━━┻━━━┻━━━┻━━━┛

（2）在直角坐标系中描点（略）．

（3）用平滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象．

小组活动二

【问题展示】

例2：

观察二次函数y=x2的图象，描述性质，

【合作探究】

（1）图象的形状是什么？

交流并描述．

（2）图象是轴对称图形吗？

如果是，它的对称轴是什么？

请你找出几对对称点，并交流．

（3）当x<0时，随着．x值的增大，y的值如何变化？

当x>0时呢？

（4）图象与x轴有交点吗？

如果有，交点坐标是什么？

（5）当T取什么值时，y的值最小？

最小值是什么？

你是如何知道的？

【问题解答】

（l）y=x2的图象是一条抛物线，并且开口方向向上．

（2）它是轴对称图形，对称轴是y轴．对称点为（2，4），（-2，4）；（4，16），（-4，16）等．

（3）当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.

（4）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，交点坐标为（0，0）．

（5）因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，y最小=0．

小组活动三

【问题展示】

例3：

（1）在同一平面直角坐标系下作出y=2x2和y=x2的图象．

（2）分析y=2x2的图象的性质.

【合作探究】

1．列表：

略

2．

（1）二次函数y=2x2的图象是什么形状？

（2）它与二次函数y=x2的图象有什么相同点和不同点？

（3）它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？

【问题解答】

小组讨论，代表发言。

三、做一做

1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=1/2x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？

又有什么区别?

2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?

3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?

对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。

两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。

交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是（0，0），区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。

对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。

对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：

四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是（0，0）．

四、归纳、概括

函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想：

函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。

如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？

为什么?

让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；

当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。

图象的这些特点反映了函数的什么性质?

先让学生观察下图，回答以下问题；

（1）XA、XB大小关系如何?

是否都小于0？

（2）yA、yB大小关系如何?

（3）XC、XD大小关系如何?

是否都大于0?

（4）yC、yD大小关系如何?

（XAyB；XC0，XD>0，yC

其次，让学生填空。

当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2（a>0）取得最小值，最小值y=______

以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质。

思考以下问题：

观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a

它反映了当a

让学生讨论、交流，达成共识，当a

图象的这些特点，反映了当aO时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0。

五、课堂练习：

P10练习1、2、3、4、5

六、小结：

1．如何画出函数y=ax2的图象?

2．函数y＝ax2具有哪些性质?

六、作业布置

基础训练

七、个性化设计与课后反思：

21.2二次函数的图象和性质

第二课时

教学目标：

1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。

2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。

3、通过学生合作交流来解决问题，培养学生的合作交流能力．

重点难点：

1、会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系。

2、正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－

x2，y＝－

x2－1的图象，并回答：

（1）两条抛物线的位置关系。

（2）分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。

（3）说出它们所具有的公共性质。

2．二次函数y＝2（x－1）2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?

这两个函数的图象之间有什么关系?

二、分析问题，解决问题

问题1：

你将用什么方法来研究上面提出的问题?

（画出二次函数y＝2（x－1）2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察）

问题2：

你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2（x－1）2的图象吗?

教学要点

1．让学生完成下表填空。

x

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

y＝2x2

y＝2（x－1）2

2．让学生在直角坐标系中画出图来：

3．教师巡视、指导。

问题3：

现在你能回答前面提出的问题吗?

教学要点

1．教师引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空：

开口方向

对称轴

顶点坐标

y＝2x2

y＝2（x－1）2

2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：

函数y＝2（x－1）2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2（x-1）2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，0）。

问题4：

你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2（x－1）2的性质吗?

教学要点

1.教师引导学生回顾二次函数y＝2x2的性质，并观察二次函数y＝2（x－1）2的图象；

2．让学生完成以下填空：

当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x＝______时，函数取得最______值y＝______。

三、做一做

问题5：

你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2（x＋1）2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗?

教学要点

1．在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

2．请两位同学上台板演，教师讲评；

3．让学生发表不同的意见，归结为：

函数y＝2（x＋1）2与函数y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2（x＋1）2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。

它的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是（－1，0）。

问题6；你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2（x＋1）2的性质吗?

教学要点

让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：

当x＜－1时，函数值y随x的增大而减小；当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大；当x＝一1时，函数取得最小值，最小值y＝0。

问题7：

在同一直角坐标系中，函数y＝－

（x＋2）2图象与函数y＝－

x2的图象有何关系?

（函数y＝－

（x＋2）2的图象可以看作是将函数y＝－

x2的图象向左平移2个单位得到的。

）

问题8：

你能说出函数y＝－

（x＋2）2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

（函数y＝－

（x十2）2的图象开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是（－2，0））。

问题9：

你能得到函数y＝

（x＋2）2的性质吗?

教学要点

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：

当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大；

当x＞－2时，函数值y随工的增大而减小；当x＝－2时，函数取得最大值，最大值y＝0。

四、课堂练习：

　P12/13练习1、2、3

五、小结：

1．在同一直角坐标系中，函数y＝a（x－h）2的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别?

2．你能说出函数y＝a（x－h）2图象的性质吗?

3．谈谈本节课的收获和体会。

六、作业布置

教材P15/16练习1、2、3、4、5

基础训练

七、个性化设计与课后反思：

21.2二次函数的图象和性质

第三课时

教学目标：

1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。

2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y