计数方法一.docx

计数方法一.docx

《计数方法一.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计数方法一.docx（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

计数方法一

计数方法一

一、对应法（配对原理）

【例题1】2０支足球队进行淘汰赛，最后产生冠军，一共需要比赛多少场？

分析：

每赛一场，淘汰一支球队，每淘汰一支球队，赛一场

安排的场次被淘汰的球队

一一对应

练习：

（１）某市有1993名男、女乒乓球运动员，分别参加男女单打比赛，比赛采用淘汰制，最后分别产生男女单打冠军，共需安排多少场比赛？

（２）从8×8的方格棋盘中取出一个2个小方格，这两个小方格构成的图形如图所示，问有多少种不同的取法？

【例题２】从1985到4891的整数中，十位数字与个位数字相同的数有多少个？

分析与解：

1988，1999．2000，2011，2022，．．．．．．，４８８８

198　，199．200　，201，202，　．．．．．．，４８８

这些数共有４９９－１９８＋１＝２９１（个）

【例题３】一只用黑白两色皮子缝制而成的足球，黑皮子是正五边形，白皮子是正六边形，每个黑皮子周边缝有5个白皮子，已知整个足球的黑皮子共有12块，求该足球的白皮子的块数。

仔细观察一下足球，每块正五边形的黑皮的五条边都与白皮相连，而每块正六边形的白皮的六条边只有三条边与黑皮相连

设有白皮x块，那么白皮与黑皮相连的边有：

3x条，而黑皮有12×5＝60条，根据相连的黑皮的边与白皮的边相等列方程

3x＝60　　∴x＝20

练习：

新款式的足球是由正十边形、正六边形、正方形的皮缝合制成的，如右图所示。

已知一个新款式的足球上正十边形的皮有12块，这个足球上有多少块正六边形的皮，正方形的皮有多少块呢？

二、容斥原理（包含排除原理）

（一）容斥原理一：

两个集合的容斥关系公式：

记A、B是两个集合，属于集合A的东西有A个，属于集合B的东西有B个，既属于集合A又属于集合B的东西记为A∩B；属于集合A或属于集合B的东西记为A∪B，则有：

A∪B=A+B-A∩B。

【例题1】某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有（）人

A.57B.73C.130D.69

练习：

从1到500的整数中，不能被3整除，也不能被5整除的数有多少个？

１６６＋１００－３３＝２３３　　　５００－２３３＝２６７

（二）容斥原理二：

　三集合的容斥关系：

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

用符号来表示为：

A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

【例题２】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：

A．22人B．28人C．30人D．36人

【例３】2011国考第74题数学运算某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。

则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种?

　　　A.34　　B.35　　　C.36　　　D.37

方法一：

运用容斥原理公式来解题

　　题干中所要寻找的是三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种，而这道题已经给出了这三项建筑防水卷材产品总共有52种，所以，只要求得至少有一项不达标的产品的种数，就可以计算出三项全部合格（达标）的产品种数。

而不合格的产品涉及到三种情况，所以运用三个集合的容斥关系公式成了解决此题的不二选择。

　　假设B是低温柔度不合格产品的集合，A是可溶物含量不达标的产品集合，C属于接缝剪切性能不合格的产品集合，则：

　　当然，此题还有一种相对较为容易理解的算法，即用文氏图法。

方法２：

借助文氏图来计算

　　如下图所示，I是所有建筑防水卷材产品的集合，A是可溶物含量不达标的产品集合，B是低温柔度不合格产品的集合，C属于接缝剪切性能不合格的产品集合，图中的数字即是相应集合中元素的个数。

图中黑色部是同时两项不格的产品集合，灰色部是这三项都不合格的产品集合。

计算至少有一项不达标的产品的种数时候，黑色部分重复计算了一次，灰色部分复计算了两次，所以，至少有一项不达标的产品的种数有10+8+9-7×1-1×2=18（种）进而可求出三项全部合格的建筑防水卷材产品有（52-18）种，即34种。

结论：

假如满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，总量为M，满足两个条件的总和为x，满足三个条件的个数为y，三者都不满足的条件为p，则有：

A∪B∪C=A+B+C-x-2y=M-p。

即8+9+10-7-2*1=52-p,p为34

方法三：

下面要讲的公式

，

，

．５２－１８＝３４

练习：

（１）分母为1001的最简真分数有多少个？

它们的和为多少？

（２）练习：

求小于385且与385互质的正整数有多少个？

它们的和为多少？

（三）三集合整体重复型核心公式：

假如满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，总量为M，满足一个条件的个数为ｘ，满足两个条件的总和为ｙ，满足三个条件的个数为ｚ，三者都不满足的条件为p，根据文氏图可以得到公式：

【例４】某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的—个课外活动小组。

现已知参加英语小组的有17人。

参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。

如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？

（２００４年浙江公务员考试行政测试第２０题）

A.15　　B.16　　　C.17　　　D.18

方法１：

画出图形

假设只参加两个小组的人数分别为x，y，z人，由加减关系可以得到只参加一个小组的人数的表示形式，根据总人数可以列出方程：

（13-5-x-y）+（17-5-x-y）+（30-5-x-y）+x+y+z+5=35，

从而得到x+y+z=15。

或17+13+30-5-35=20，20-5=15

方法２：

套用三集合整体重复型公式：

解方程组得　x＝１５，y＝１５

练习：

（1）某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是（）

A．69人B．65人C．57人D．46人

（2）（2010年国家公务员考试真题）某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。

问接受调查的学生共有多少人?

（）

　　A.120B.144C.177D.192

105+15=120

或63+89+47-2×24-1×46=105

　　（3）（2009年国家公务员考试真题）三个图形共覆盖的面积为290，其中X、Y、Z的面积分别为64、180、160。

X与Y、Y与Z、Z与X的重叠面积分别为24、70、36，求阴影部分面积为（）?

　　A.12B.16C.18D.20

（4）（2009年浙江省公务员考试真题）某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门必修课。

有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人?

　　A1人B.2人C.3人D.4人

作业：

P87T7,8P99T11