离散数学课后习题.docx
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离散数学课后习题
一、选择或填空
（数理逻辑部分）
1、下列哪些公式为永真蕴含式？
（ ）
（1）
Q=>Q→P
（2）
Q=>P→Q（3）P=>P→Q（4）
P
（P
Q）=>
P
答：
（1），（4）
2、下列公式中哪些是永真式？
（）
（1）（┐P
Q）→（Q→
R）
（2）P→（Q→Q）（3）（P
Q）→P（4）P→（P
Q）
答：
（2），（3），（4）
3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?
（）
（1）P=>P
Q
（2）P
Q=>P（3）P
Q=>P
Q
（4）P
（P→Q）=>Q（5）
（P→Q）=>P（6）
P
（P
Q）=>
P
答：
（2），（3），（4），（5），（6）
4、公式x（（A（x）B（y，x））zC（y，z））D（x）中，自由变元是（），约束变元是（）。
答：
x,y,x,z
5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
（）
（1）是中华人民国的首都。
（2）师大是一座工厂。
（3）你喜欢唱歌吗？
（4）若7+8＞18，则三角形有4条边。
（5）前进！
（6）给我一杯水吧！
答：
（1）是，T
（2）是，F（3）不是
（4）是，T（5）不是（6）不是
6、命题“存在一些人是大学生”的否定是（），而命题“所有的人都是要死的”的否定是（）。
答：
所有人都不是大学生，有些人不会死
7、设P：
我生病，Q：
我去学校，则下列命题可符号化为（）。
（1） 只有在生病时，我才不去学校
（2）若我生病，则我不去学校
（3） 当且仅当我生病时，我才不去学校（4）若我不生病，则我一定去学校
答：
（1）
（2）
（3）
（4）
8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是（）。
（1）xy（x+y=0）
（2）yx（x+y=0）
答：
（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0
（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0
9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：
（1）xy（xy=y） （ ）
（2）xy（x+y=y） （ ）
（3）xy（x+y=x） （ ） （4）xy（y=2x） （ ）
答：
（1）F
（2）F（3）F（4）T
11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
答：
2不是偶数且-3不是负数。
12、永真式的否定是（）
（1）永真式
（2）永假式 （3）可满足式 （4）
（1）--（3）均有可能
答：
（2）
13、公式（
P
Q）
（
P
Q）化简为（），公式Q
（P
（P
Q））可化简为（）。
答：
P，Q
P
15、令R（x）:
x是实数，Q（x）:
x是有理数。
则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（）。
答：
x（R（x）
Q（x））
（二元关系部分）
28、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求
（1）R
（2）R-1。
答：
（1）R={<1,1>,<4,2>}
（2）R
={<1,1>,<2,4>}
29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。
（ ）
答：
A上的恒等关系
30、集合A上的等价关系的三个性质是什么？
（）
答：
自反性、对称性和传递性
31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么？
（）
答：
自反性、反对称性和传递性
32、设S={１,２,３,４}，Ａ上的关系Ｒ＝｛〈1,2〉，〈2,1〉，〈2,3〉，〈3,4〉｝
求
（1）R
R
（2）R-1。
答：
R
R={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}
R-1=｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝
33、设Ａ＝｛1，2，3，4，5，6｝，Ｒ是A上的整除关系，求R={（ ）}。
答：
R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,
<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}
34、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=2y｝，求
（1）R
（2）R-1。
答：
（1）R={<1,1>,<4,2>,<6,3>}
（2）R
={<1,1>,<2,4>,（3，6>}
35、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求R和R-1的关系矩阵。
答：
R的关系矩阵=
R
的关系矩阵=
36、集合A={1,2,…,10}上的关系R={|x+y=10,x,y
A}，则R的性质为（）。
（1）自反的
（2）对称的 （3）传递的，对称的（4）传递的
答：
（2）
（代数结构部分）
37、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：
a*b=max{a,b}，则在独异点中，单位元是（），零元是（）。
答：
2，6
38、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：
a*b=min{a,b}，则在独异点中，单位元是（），零元是（）；
答：
9，3
（半群与群部分）
39、设〈G,*〉是一个群，则
（1）若a,b,x∈G，a
x=b，则x=（）；
（2）若a,b,x∈G，a
x=a
b，则x=（）。
答：
（1）a
b
（2）b
40、设a是12阶群的生成元，则a2是（）阶元素，a3是（）阶元素。
答：
6,4
41、代数系统是一个群，则G的等幂元是（ ）。
答：
单位元
42、设a是10阶群的生成元，则a4是（）阶元素，a3是（）阶元素。
答：
5，10
43、群的等幂元是（ ），有（ ）个。
答：
单位元，1
44、素数阶群一定是（）群,它的生成元是（）。
答：
循环群，任一非单位元
45、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则
（1）若c
a=b，则c=（）；
（2）若c
a=b
a，则c=（）。
答：
（1）b
（2）b
46、>是>的子群的充分必要条件是（）。
答：
>是群或a，b
G，a
b
H，a-1
H或a,b
G，a
b-1
H
47、群＜A,*＞的等幂元有（ ）个，是（ ），零元有（ ）个。
答：
1，单位元，0
48、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是（）。
答：
k
49、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？
（）
（1）a*b=a-b
（2）a*b=max{a,b} （3）a*b=a+2b （4）a*b=|a-b|
答：
（2）
50、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
（1）不可能是群
（2）不一定是群
（3）一定是群 （4）是交换群
答：
（1）
51、6阶有限群的任何子群一定不是（）。
（1）2阶
（2）3阶（3）4阶 （4）6阶
答：
（3）
（数理逻辑部分）
二、求下列各公式的主析取式和主合取式：
1、（P→Q）
R
解：
（P→Q）
R
（
P
Q）
R
（
P
R）
（Q
R）（析取式）
（
P
（Q
Q）
R）
（（
P
P）
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）
（P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）
（P
Q
R）（主析取式）
（（P→Q）
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）（原公式否定的主析取式）
（P→Q）
R
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）（主合取式）
2、（P
R）
（Q
R）
P
解：
（P
R）
（Q
R）
P（析取式）
（P
（Q
Q）
R）
（（P
P）
Q
R）
（
P
（Q
Q）
（R
R））
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）（主析取式）
（（P
R）
（Q
R）
P）
（P
Q
R）
（P
Q
R）（原公式否定的主析取式）
（P
R）
（Q
R）
P
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）（主合取式）
3、（
P→Q）
（R
P）
解：
（
P→Q）
（R
P）
（P
Q）
（R
P）（合取式）
（P
Q
（R
R））
（P
（Q
Q））
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）（主合取式）
（（
P→Q）
（R
P））
（P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）（原公式否定的主合取式）
（
P→Q）
（R
P）
（
P
Q
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（主析取式）
4、Q→（P
R）
解：
Q→（P
R）
Q
P
R（主合取式）
（Q→（P
R））
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）（原公式否定的主合取式）
Q→（P
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
P
Q
R）（主析取式）
5、P→（P
（Q→P））
解：
P→（P
（Q→P））
P
（P
（
Q
P））
P
P
T（主合取式）
（
P
Q）
（
P
Q）
（P
Q）
（P
Q）（主析取式）
6、
（P→Q）
（R
P）
解：
（P→Q）
（R
P）
（
P
Q）
（R
P）
（P
Q）
（R
P）（析取式）
（P
Q
（R
R））
（P
（
Q
Q）
R）
（P
Q
R）
（P
Q
R）
（P
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