∴
>2+
>2,也与已知条件矛盾;
∴假设不成立,∴a、b、c中至少有两个不小于1.
[评析]象上面的这些例题,要证明的结论是“至多、至少”等,还是比较容易判断需要用反证法,从证明过程可以看出难点是“引出矛盾”,需有一定的能力,因此反证法在高考中很少要求.
三、充分条件与必要条件:
1.命题“若p则q”为真,记作p
q;“若p则q”为假,记作“p
q”.
2.充分与必要条件:
①如果已知p
q,则称p是q的充分条件,而q是p的必要条件.
②如果既有p
q,又有q
q,即p
q,则称p是q的充要条件.
3.充分、必要条件与四种命题的关系:
①如果p是q的充分条件,则原命题“若p则q”以及逆否命题“若p则q”都是真命题.
②如果p是q的必要条件,则逆命题“若q则p”以及否命题“若p则q”为真命题.
③如果p是q的充要条件,则四种命题均为真命题。
(二)学习要点:
充要条件是数学学习中十分重要的内容,应用很广泛,解决充要条件问题可以从下面两个方面入手,
1.直接推埋:
由条件p出发进行推理,然后由结论q出发进行推理.
①若p
q,而q
p,则p是q的充分但不必要条件,而q是p的必要但不充分条件.
②若p
q,而q
p,则p是q的充要条件(q也是p的充要条件).
③若p
q,而q
p,则p是q的既不充分也不必要条件.
2.从集合思想考虑:
如果条件p与结论q很容易用集合来描述,则从集合思想考虑比较简单.
设P={p},Q={q},
≠
①若P
Q,则p是q的充分但不必要条件,而q是p的必要但不充分条件.
②若P=Q,则p是q的充要条件(q也是p的充要条件).
③若P
Q且Q
P,则p是q的既不充分也不必要条件.
【例1】判断下述p是q的什么条件:
(1)p:
x>5q:
x≥5;
(2)p:
(3)p:
D2=4Fq:
圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切;
(4)p:
多面体是正四棱柱,q:
多面体是长方体;
(5)p:
△ABC中,acosB=bcosA,q:
△ABC为等腰三角形.
[解析]根据命题的特点,准确选择方法.
(1)设P={x|x>5},Q={x|x≥5},∵P
Q,∴p是q的充分但不必要条件;
(2)
;
∴p是q的既不充分也不必要条件;
(3)圆
形成的值看作集合Q,而条件.
P形成的集合看作集合P,显然Q
P,
∴p是q的必要但不充分条件;
(4)∵正四棱柱是特殊的长方体,∴{正四棱住},
{长方体},
∴p是q的必要但不充分条件;
(5)∵acosB=bcosA
2RsinAcosB=2RcosAsinB
sin(A-B)=0
A=B,∴p
q;而q中没有指明哪两个角相等,显然q
p,
∴p是q的必要但不充分条件;
[评析]从上面的例子可以看出,充分与必要条件问题的正确解答主要还是取决于问题本身所涉及到的具体数学内容的掌握与理解程度.
【例2】求证:
关于x的方程x2+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b|≤4.
[解析]先证充分性,而必要性只需要通过举反例来否定.
先证明条件的充分性:
∴方程有实数根①
①、②知“a≥2且|b|≤4”
“方程有实数根,且两根均小于2”.
再验证条件不必要:
∵方程x2-x=0的两根为x1=0,x2=1,则方程的两根均小于2,而a=-
<2,
∴“方程的两根小于2”
“a≥2且|b|≤4”.
综上,a≥2且|b|≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件.
[评析]充分条件与必要条件是数学学习中的重要概念,在解答任何一个数学问题时都必须准确认识到问题所需要解决的是满足条件的充分性、必要性,还是充分且必要.对于证明题、计算题等,往往只需满足命题条件的充分性,即由条件进行推理、演绎得出结论;而对于求参数的范围,求不等式的解集,求函数的值域等许多问题,则必需保证推理的充要性.
《训练题》
一、