北师大版八年级数学上册第一章勾股定理教案.docx

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北师大版八年级数学上册第一章勾股定理教案

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理教案

1　探索勾股定理

第1课时　勾股定理

教学目标：

1．用数格子（或割、补、拼等）的方法体验勾股定理的探索过程，理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．

2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学过程，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．

3．进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．

4．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐．通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情．

重点难点

重点

探索勾股定理．

难点

在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．

教学设计

一、情境导入

课件出示：

师：

2002年世界数学家大会在我国北京召开，课件显示的是本届世界数学家大会的会标．会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图案来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）

二、探究新知

1．探究直角三角形三边长度的平方的关系．

课件出示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形．

师：

你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？

学生通过观察，归纳发现：

以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．

2．探索勾股定理．

师：

由刚才归纳发现的结论，我们自然产生联想：

一般的直角三角形是否也具有该性质呢？

课件出示题目：

同学们可自由讨论．

（1）观察下面两幅图：

（2）填表：

A的面积

（单位面积）

B的面积

（单位面积）

C的面积

（单位面积）

左图

右图

（3）你是怎样得到左图中正方形C的面积的？

与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）

针对学生的解法，教师总结．

学生的方法可能有：

方法一：

如图1，将正方形C分割为四个完全相等的直角三角形和一个小正方形，SC＝4×

×2×3＋1＝13.

方法二：

如图2，在正方形C外补四个完全相等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，SC＝52－4×

×2×3＝13.

方法三：

如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中的阴影部分可拼成两个小正方形，SC＝2×4＋5＝13.

（4）分析填入表中的数据，你发现了什么？

学生通过分析数据，归纳发现：

以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．

3．表述勾股定理．

师：

（1）你能用直角三角形的三边长a，b，c来表示上图中正方形的面积吗？

（2）分别以5cm、12cm为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．探索发现的规律对这个三角形仍然成立吗？

勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.

数学小史：

我国是最早了解勾股定理的国家之一，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）

三、举例分析

课件出示教材第3页“随堂练习”第1题．

师：

这是勾股定理基本图式，利用它可以求面积．

指名学生上台板书解题过程．

四、练习巩固

1．课件出示教材第3页“随堂练习”第2题．（口答）

2．课件出示教材第6页习题1.2第1题．

师：

想一想，你需要求哪些线段的长度，这些长度确定吗？

独立完成，指名板演，集中讲评．

师：

通过这个题目可以看出勾股定理可以解决什么题型？

生：

在直角三角形中，已知一边和另一边，可以求出第三边．

练习第1题和第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容．

五、小结

1．知识：

勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.

2．方法：

（1）观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；

（2）“割、补、拼、接”法．

3．思想：

（1）特殊—一般—特殊；

（2）数形结合思想．

六、课外作业

教材第4页习题1.1第2～4题．

教学反思

依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点．

本节课首先创设情境激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得出勾股定理．

第2课时　勾股定理的验证和简单应用

教学目标：

1．掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法，并能应用勾股定理解决一些实际问题．

2．通过拼图验证勾股定理，使学生经历观察、猜想、验证的过程，进一步体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想．

3．在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神，通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识．

重点难点

重点

能熟练用拼图的方法验证勾股定理．

难点

用勾股定理解决实际问题．

教学设计

一、复习导入

教师提出问题：

1．勾股定理的内容是什么？

（指名学生回答）

2．上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形进行探索，发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？

这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？

师：

事实上，现在已经有数百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理．

二、探究新知

活动1：

教师导入，小组拼图．

师：

今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个完全相同的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形．（请每位学生用2分钟时间独立拼图，再4人小组讨论．）

活动2：

层层设问，完成验证．

学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：

在此基础上教师提问：

（1）你能用两种方法表示图1中大正方形的面积吗？

（学生先独立思考，再4人小组交流．）

（2）你能由此得出勾股定理吗？

为什么？

（在学生回答的基础上板书（a＋b）2＝4×

ab＋c2，并得到a2＋b2＝c2.）

从而利用图1验证了勾股定理．

活动3：

自主探究，完成验证．

师：

我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，利用整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？

（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解利用图2验证勾股定理．）

三、举例分析

1．课件出示教材第6页“议一议”．

师：

怎样判断图中三角形的三边是否满足a2＋b2＝c2?

生：

分别求出网格中正方形的面积进行判断．

教师巡视指导，对于学生出现的问题及时指导，特别是每个小正方形面积的得出．

学生通过数格子的方法可以得出：

如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a，b，c不满足a2＋b2＝c2.

2．一个直角三角形的斜边为20cm，且两直角边长度比为3∶4，求两直角边的长．

四、练习巩固

飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000m处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000m，飞机每小时飞行多少千米？

五、小结

通过这节课的学习，你有什么收获？

师生共同畅谈收获．

六、课外作业

1．教材第7页习题1.2第2～5题．

2．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其他证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行展评．

教学反思

勾股定理作为“千古第一定理”，其魅力在于其所具有的历史价值和应用价值，因此，应注意充分挖掘其内涵．特别是让学生进行调查，再进行展示，这极大地调动了学生的积极性．既加深了学生对勾股定理文化的理解，又培养了他们收集、整理资料的能力．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点．为了突破这一难点，本节课设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积（数）入手．这样学生较容易地突破了本节课的难点．

2　一定是直角三角形吗

教学目标：

1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念．

2．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力和归纳能力．

3．体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学和用数学的兴趣．

重点难点

重点

会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形．

难点

理解并掌握勾股定理的逆定理．

教学设计

一、复习导入

师：

直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？

师：

如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？

二、探究新知

1．探究．

课件出示题目：

下面有三组数，分别是一个三角形的三边长a，b，c：

①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17.回答这样两个问题：

（1）这三组数都满足a2＋b2＝c2吗？

（2）分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

（学生分为4人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数．）

从上面的分组实验很容易得出如下结论：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

2．说理．

师：

有同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发现．你认为这个发现正确吗？

你能给出一个更有说服力的理由吗？

让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠，需要进一步通过说理等方式使学生确信结论的可靠性，同时明晰结论：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．

3．提问．

（1）同学们还能找出哪些勾股数呢？

（2）今天的结论与前面学习的勾股定理有哪些异同呢？

（3）到今天为止，你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢？

（4）通过今天同学们的合作探究，你能说出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？

三、举例分析

课件出示教材第9页例题．

师：

什么叫这个零件符合要求？

什么叫不符合要求？

生：

符合要求是指∠A和∠DBC都应为直角．否则就不符合要求．

师：

∠A和∠DBC分别在△ABD和△BDC中，如何判别它们是否是直角呢？

生：

题目告诉了三边的长度，利用刚学的结论进行判断即可．

板书解题过程：

解：

在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，

所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．

在△BDC中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝CD2，

所以△BDC是直角三角形，∠DBC是直角．

因此，这个零件符合要求.

（师生共同完成，教师强调解题步骤．）

四、练习巩固

一艘在海上朝正北方向航行的轮船，航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左转90°，继续航行70海里，此时距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行吗？

解：

由题意画出相应的图形．

AB＝240海里，BC＝70海里，AC＝250海里．

在△ABC中，AC2－AB2＝2502－2402＝（250＋240）

×（250－240）＝4900＝702＝BC2，即AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形．

答：

船转弯后，是沿正西方向航行的．

五、小结

师生相互交流总结出：

1．今天所学内容：

①会利用三角形三边数量关系a2＋b2＝c2，判断一个三角形是直角三角形