七年级数学下册9不等式与不等式组教案新人教版.docx

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七年级数学下册9不等式与不等式组教案新人教版

第九章　不等式与不等式组

1.了解不等式的概念,会从实际问题中建立不等式的数学模型.

2.经历探究的过程,掌握不等式的性质,会运用它进行简单的不等式变形.

3.经历问题的建模过程,感受不等式是刻画现实世界的有效模型.

4.理解不等式（组）的解及解集的含义,会解简单的一元一次不等式（组）,能在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集,并能求一元一次不等式（组）的特殊解,初步体会数形结合思想.

5.能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式（组）,解决简单的实际问题.

1.通过学生自己动手、动脑去体验、发现、归纳、概括不等式的性质.

2.通过类比一元一次方程（组）学习一元一次不等式（组）,充分利用知识的类比进行学习、探索.

3.把不等式（组）的解集在数轴上直观地表示出来,加深学生对不等式（组）解集的理解,使学生形象地认识不等式解集的几何意义和它的无限性.

通过对不等式、不等式的解与解集的探究,培养学生的实践能力、概括能力、类比推理能力,也培养学生的合作交流意识和探索精神.

单元开始从一个实际问题引入,体现了现实生活中的不等关系,从认识不等式开始入手,在一元一次方程的基础上,依次介绍了不等式及其解的意义,不等式的性质,一元一次不等式（组）的解法和一元一次不等式（组）在实际问题中的应用与探索等问题,体现了类比、化归思想在数学中的应用.

【重点】　一元一次不等式的解法、不等式的性质和不等式（组）的应用.

【难点】　

1.不等式的解和不等式组的解.

2.应用不等式（组）解决实际问题.

1.在单元学习的过程中注意贯彻类比思想,借助于等式、一元一次方程帮助、指导学生学习一元一次不等式（组）的相关知识.

2.在数轴上表示不等式的解集是数形结合的具体体现,要结合教学对学生进行数形结合思想、方法的指导.

3.在利用不等式（组）解决实际问题时,注意对一些关键词语的理解,同时要注意挖掘题目中所隐含的不等关系,利用建模思想,将不等关系与实际问题结合起来,并注意不等式（组）解的特殊性.

9.1　不等式

9.1.1　不等式及其解集（1课时）

9.1.2　不等式的性质（2课时）

3课时

9.2　一元一次不等式

2课时

9.3　一元一次不等式组

2课时

单元概括整合

1课时

9.1　不等式

1.了解不等式、不等式的解、不等式解集的概念.

2.理解不等式的性质.

3.运用不等式的性质解简单的不等式.

4.能在数轴上表示不等式的解集.

通过类比思想,借助于等式的概念和性质,学习和掌握不等式的性质及其解法.

培养学生积极寻求研究问题方法的意识,培养学生细心探索和善于合作的精神.

【重点】　利用不等式的性质解简单的不等式.

【难点】

1.利用数轴表示不等式的解集.

2.根据实际意义确定不等式的解集.

9.1.1　不等式及其解集

感受生活中不等关系的存在,了解不等式的意义,能把不等式的解集正确地表示在数轴上.

经历探究不等式的解与解集的不同意义的过程,体会数形结合思想.

培养学生的合作交流意识和探索精神.

【重点】　理解不等式、不等式的解与解集的意义,能把不等式的解集正确地表示在数轴上.

【难点】　把不等式的解集正确地表示在数轴上.

【教师准备】　课堂教学讨论问题的投影.

【学生准备】　复习方程的有关定义.

导入一:

如图所示,小明与小丽比身高,小丽身高为qcm,小明身高为pcm,小丽站在20cm高的箱子上还没有小明高,则q+20与p哪个大?

[设计意图]　通过生活情境引导学生从不等的角度思考问题,初步感受不等的数量关系.

导入二:

天平是物理课上常用的一种仪器,如图

（1）所示的天平两边托盘上的物体一样重,此时天平平衡,若天平两边托盘上的物体不一样重,就会出现如图

（2）（3）所示的情形,此时两天平不平衡.

【问题思考】　我们应如何表示物体A的质量呢?

[设计意图]　通过“天平”暗示方程与不等式的关系,暗示等式和不等式之间的联系.

导入三:

如图所示,小明和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板,爸爸的体重为72千克,坐在跷跷板的一端;体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端.这时,爸爸坐的一端仍然着地,后来小明借来一个质量为6千克的哑铃,加在他和妈妈坐的一端,结果爸爸被翘起.

在上面的例子中,如果设小明的体重为x千克,那么妈妈的体重为2x千克,当爸爸所坐的一端着地时,（x+2x）千克小于72千克;当爸爸被翘起时,（x+2x+6）千克大于72千克.怎样用数学式子表示上述不等关系呢?

[设计意图]　借助于生活情境,帮助学生体会未知数的数量关系,为引入不等式解决问题作认知的准备.

一、不等式

　　[过渡语]　生活中不仅有等量关系还有不等量关系,从本课时开始,我们学习新的数量关系:

不等量关系.

一辆匀速行驶的汽车在11:

20距离A地50km,要在12:

00之前驶过A地,车速应满足什么条件?

问题1

如果把原题变为:

要在12:

00正好到达A地,车速应该是多少?

[设计意图]　通过时间和路程的关系,学生很容易算出车速.以这个车速为依据,帮助学生进行下一步的思考.

问题2

如果设车速为xkm/h,从时间上看,h和h是什么关系?

板书总结:

<.①

问题3

如果设车速为xkm/h,从路程上看,汽车要在12:

00之前驶过A地,那么以这个速度行驶h的路程和50km是什么关系?

板书总结:

x>50.②

问题4

根据上面的式子,你能总结什么是不等式吗?

总结:

像①和②这样用符号“<”或“>”表示大小关系的式子,叫做不等式.像a+2≠a-2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.有些不等式中不含未知数,例如3<4,-1>-2.有些不等式中含有未知数,例如①和②式中字母x表示未知数.

　（补充）下列各式:

①-3<0;②4x+3y>0;③x=3;④x2+2x+y2;⑤x≠2;⑥x+2>2x+3.其中属于不等式的有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

〔解析〕　本题直接考查不等式的定义.③是等式;④是一个代数式.③④均不是不等式.只有用不等号连接,表示不等关系的式子才是不等式.故选D.

[设计意图]　在鉴别不等式的过程中,加深对不等式意义的理解.培养学生主动参与、合作交流的意识,同时体会在现实生活中,不等关系要比相等关系多得多.

[知识拓展]　1.不等式的定义也可以叙述成“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”.

2.常见的不等号有:

①“>”读作“大于”;②“<”读作“小于”;③“≠”读作“不等于”,它没有明确大小关系.

二、不等式的解

　　[过渡语]　虽然不等式①和②表示了车速应满足的条件,但是我们希望更明确地得出x可以取哪些值.上面的不等式中,有哪些数值能够满足或者不满足不等式的条件呢?

思路一

问题1

以不等式②为例,你能说出几个使不等式成立的数值吗?

例如:

当x=80时,x>50;当x=78时,x>50.这就是说,当x取某些值（如80,78）时,不等式x>50成立.

问题2

以不等式②为例,你能说出几个使不等式不成立的数值吗?

例如:

当x=72时,x<50;当x=75时,x=50.这就是说,当x取某些值（如72,75）时,不等式x>50不成立.

问题3

你能借助方程的解,总结什么是不等式的解吗?

总结:

与方程的解类似,我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

思路二

问题1

要使汽车在12:

00之前驶过A地,你认为车速应该为多少呢?

问题2

车速可以是每小时85千米吗?

每小时82千米呢?

每小时75.1千米呢?

每小时74千米呢?

问题3

以下各数中哪些能够使不等式x>50成立?

76,73,79,80,74.9,75.1,90,60.

问题4

“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”,那么什么是不等式的解呢?

讨论后得出:

当x为76,79,80,75.1,90时,也就是当x>75时,不等式x>50成立;同理可得,当x<75或x=75时,不等式x>50不成立.

总结:

我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

三、不等式的解集

　　[过渡语]　除了80和78,不等式x>50还有其他解吗?

如果有,这些解应满足什么条件?

〔解析〕　当x>75时,不等式x>50总成立;而当x<75或x=75时,不等式x>50不成立.这就是说,任何一个大于75的数都是不等式x>50的解,这样的解有无数个;任何一个小于或等于75的数都不是不等式x>50的解.因此,x>75表示能使不等式x>50成立的x的取值范围,它可以在数轴上表示,如下图所示.

　　由上可知,在前面问题中,汽车要在12:

00之前驶过A地,车速必须大于75km/h.

问题1

怎样表示不等式的所有解呢?

问题2

什么叫解方程呢?

问题3

什么叫解不等式呢?

总结:

一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.求方程解的过程叫做解方程.求不等式的解集的过程叫做解不等式.

[设计意图]　在数轴上表示不等式的解集,是让学生感受数形结合的思想.让学生充分发表意见,并通过计算、动手验证、动脑思考,初步体会不等式的解集的意义以及不等式的解集与方程的解的不同之处.有意识、有计划、有条理地设计一些引人入胜的问题,可让学生始终处在积极的思考状态,不知不觉中接受了新知识.

　（补充）如果对于不等式x<5,当x=1,2,3,4时都成立,那么就说不等式x<5的解是x=1,2,3,4,这种说法正确吗?

解:

这种说法不正确,因为不等式的解是一个范围内的数,不是在这个范围内的几个数,正确说法是“如果对于不等式x<5,当x=1,2,3,4时都成立,那么就说x=1,2,3,4都是不等式x<5的解”.

[知识拓展]　不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念:

①不等式的解是指某一范围内的数,用它代替不等式中的未知数,不等式成立;②不等式的解集是一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合,简称不等式的解集,不等式的解集是一个范围,在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解;③不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值,而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值.

不等式的解和解集的区别和联系如下表:

区别

举例:

x-1>2

概念

个数

表示方法

不等式的解

x=4,5……

是一些具体的值

无数个

用等号表示

不等式的解集

x>3

是一个范围

一个

用不等号表示

联系

在不等式解集范围内的每一个数值都是此不等式的一个解或者说不等式的每一个解都在它的解集的范围内

1.下面各式是不等式的个数为（　　）

①-2<1;②x=1;③a+b;④2a+b>0;⑤a≠3;⑥x+1>y+4.

A.1B.2C.3D.4

解析:

用不等号表示不等关系的式子叫不等式,①④⑤⑥是不等式.故选D.

2.下列说法中正确的是（　　）

A.x=3是不等式2x>1的解

B.x=3是不等式2x>1的唯一解

C.x=3不是不等式2x>1的解

D.x=3是不等式2x>1的解集

解析:

x=3能使2x>1成立,则x=3是不等式2x>1的所有解中的一个解.故选A.

3.在数轴上表示不等式x<2的解集.

解析:

在表示2的点上画空心圆圈,表示不包含这一点.

解:

如下图所示.

4.用不等式表示:

（1）a与b的和的3倍是负数;

（2）x的与3的和比5大;

（3）代数式3x+2的值大于1.

解:

（1）3（a+b）<0.　

（2）x+3>5.　（3）3x+2>1.

9.1.1　不等式及其解集

1.不等式

例1

2.不等