新东方考研数学(免费).pdf

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20102010考研强化班高等数学讲义考研强化班高等数学讲义主讲：

主讲：

汪诚义汪诚义欢迎使用新东方在线电子教材欢迎使用新东方在线电子教材考研强化班高等数学讲义考研强化班高等数学讲义（一至三章一至三章）第一章第一章函数、极限、连续函数、极限、连续1.1函数（甲甲甲甲）内容要点内容要点内容要点内容要点一、函数的概念1函数的定义2分段函数3反函数4隐函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1用极限表示的函数

（1）（limxfynn=,例221（）lim1nnnxfxxx=+

（2）,（limxtfyxt=，例sinsinsin（）limsinxtxtxtfxx=2用变上、下限积分表示的函数

（1）=xadttfy）（其中）（tf连续，则）（xfdxdy=

（2）=）（）（21）（xxdttfy其中）（）,（21xx可导，）（tf连续，则2211（）（）（）（）dyfxxfxxdx=五、函数的几种性质1有界性：

设函数）（xfy=在X内有定义，若存在正数M，使Xx都有Mxf）（，则称）（xf在X上是有界的。

2奇偶性：

设区间X关于原点对称，若对Xx，都有）（）（xfxf=，则称）（xf在X上是奇函数。

若对Xx，都有（）（）fxfx=，则称）（xf在X上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图像关于y轴对称。

重要公式0,（）2（）,0fafxdxaafxdxf=当为奇函数当为偶函数3单调性：

设）（xf在X上有定义，若对任意XxXx21,，21xx都有）（）（21xfxf则称）（xf在X上是单调增加的单调减少的；若对任意1xX，2,xX12xx常数周期=（乙）典型例题一、定义域与值域例1设）（xf的定义域为,aa（0a）求）1（2xf的定义域解：

要求axa12，则axa+112，当1a时，10a，21xa+，则ax+1当10a，axa+11也即axa+11或axa+11例2求=,xxxxxxxfy的值域2,）2（122,52,3）（23并求它的反函数。

解：

2y，33yx=，22x，357yx=，yx=5，2x，1）2（12=xy，yx+=12，所以）（xfy=的值域为）,11（7,3）1,（+反函数321,15,373,11yyxyyyy+二、求复合函数有关表达式例1设21）（xxxf+=，求（）（）nfffxfxn=重复合解：

2222222111/1）

（1）（）（）（xxxxxxxfxfxffxf+=+=+=，若21）（kxxxfk+=，则222221）1（111/1）

（1）（）（xkxkxxkxxxfxfxfkkk+=+=+=+根据数学归纳法可知，对正整数n，21）（nxxxfn+=例2已知（）xxfexe=，且0）1（=f，求）（xf解：

令tex=，txln=，因此ln（）（）xtfeftt=，221ln11（）

（1）lnln122xxtfxfdttxt=

（1）0f=，xxf2ln21）（=三、有关四种性质例1设（）（）Fxfx=，则下列结论正确的是（A）若）（xf为奇函数，则）（xF为偶函数（B）若）（xf为偶函数，则）（xF为奇函数（C）若）（xf为周期函数，则）（xF为周期函数（D）若）（xf为单调函数，则）（xF为单调函数例2求dxxxeexxIxx+=1125）1ln（）（解xxeexf=）（1是奇函数，）（）（11xfeexfxx=）1ln（）（22+=xxxf是奇函数，1）1（ln）1ln（）（22222+=+=xxxxxxxf）（）1ln（1ln22xfxx=+=因此）1ln（）（2+xxeexxx是奇函数于是=+=1061167220dxxdxxI例3设）（）,（xgxf是恒大于零的可导函数，且（）（）（）（）0fxgxfxgx，则当bxa（B））（）（）（）（xgafagxf（C））（）（）（）（bgbfxgxf（D））（）（）（）（agafxgxf思考题：

两个周期函数之和是否为周期函数例1（）sincos23xxfx=+例2（）sinsin2fxxx=+四、函数方程例1设）（xf在）,0+上可导，0）0（=f，反函数为）（xg，且=）（02）（xfxexdttg，求）（xf。

解：

两边对x求导得2（）（）2xxgfxfxxexe=+，于是（）

（2）xxfxxxe=+，故（）

（2）xfxxe=+，Cexxfx+=）1（）（，由0）0（=f，得1=C，则1）1（）（+=xexxf。

例2设）（xf满足xxfxf=）31（sin31）（sin，求）（xf解：

令）（sin）（xfxg=，则xxgxg=）31（31）（，xxgxg22231）31（31）31（31=，2233411111（）（）33333gxgxx=，xxgxgnnnnn）1（21131）31（31）31（31=，各式相加，得91911）31（31）（1+=nnnxxgxg1）（xg，0）31（31lim=xgnnn89911191911lim1=+nn因此xxg89）（=，于是kxarcxf289sin）（+=或9（21）sin8karcx+（k为整数）思考题思考题设ab均为常数，求方程22sin（）ln（）（）1sin（）ln（）（）10xbxbxbxaxaxa+=的一个解。

1.2极限（甲甲甲甲）内容要点内容要点内容要点内容要点一、极限的概念与基本性质1极限的概念

（1）数列的极限Axnn=lim

（2）函数的极限lim（）xfxA+=；lim（）xfxA=；lim（）xfxA=Axfxx=）（lim0；Axfxx=+）（lim0；Axfxx=）（lim02极限的基本性质定理1（极限的唯一性）设Axf=）（lim，Bxf=）（lim，则A=B定理2（极限的不等式性质）设Axf=）（lim，Bxg=）（lim若x变化一定以后，总有）（）（xgxf，则BA反之，BA，则x变化一定以后，有）（）（xgxf（注：

当0）（xg，0=B情形也称为极限的保号性）定理3（极限的局部有界性）设Axf=）（lim则当x变化一定以后，）（xf是有界的。

定理4设Axf=）（lim，Bxg=）（lim则

（1）BAxgxf+=+）（）（lim

（2）BAxgxf=）（）（lim（3）BAxgxf=）（）（lim（4））0（）（）（lim=BBAxgxf（5）BxgAxf=）（）（lim）0（A二、无穷小量1无穷小量定义：

若0）（lim=xf，则称）（xf为无穷小（注：

无穷小与x的变化过程有关，01lim=xx，当x时x1为无穷小，而0xx或其它时，x1不是无穷小）2无穷大量定义：

任给M0，当x变化一定以后，总有Mxf）（，则称）（xf为无穷大，记以=）（limxf。

3无穷小量与无穷大量的关系：

在x的同一个变化过程中，若）（xf为无穷大量，则）（1xf为无穷小量，若）（xf为无穷小量，且0）（xf，则）（1xf为无穷大量。

4无穷小量与极限的关系：

lim（）（）（）fxAfxAx=+，其中lim（）0x=5两个无穷小量的比较设0）（lim=xf，0）（lim=xg，且lxgxf=）（）（lim

（1）0=l，称）（xf是比）（xg高阶的无穷小量，记以（）（）fxogx=称）（xg是比）（xf低阶的无穷小量

（2）0l，称）（xf与）（xg是同阶无穷小量。

（3）1=l，称）（xf与）（xg是等阶无穷小量，记以）（）（xgxf6常见的等价无穷小量，当0x时xxsin，xxtan，xxarcsin，xxarctan，221cos1xx，xex1，xx）1ln（+，

（1）1xx+。

7无穷小量的重要性质有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。

三、求极限的方法1利用极限的四则运算和幂指数运算法则2两个准则准则1：

单调有界数列极限一定存在

（1）若nnxx+1（n为正整数）又mxn（n为正整数），则Axnn=lim存在，且mA

（2）若nnxx+1（n为正整数）又nxM（n为正整数），则Axnn=lim存在，且AM准则2：

夹逼定理设）（）（）（xhxfxg。

若Axg=）（lim，Axh=）（lim，则Axf=）（lim3两个重要公式公式1：

1sinlim0=xxx公式2：

ennn=+）11（lim；euuu=+）11（lim；evvv=+10）1（lim4用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换5用泰勒公式（比用等价无穷小量更深刻）当0x时，21（）2!

nxnxxexoxn=+例：

23333001（）112!

3!

limlim3!

6xxxxxeoxxx+=352121sin

（1）（）3!

5!

（21）!

nnnxxxxxoxn+=+2422cos1

（1）（）2!

4!

（2）!

nnnxxxxoxn=+231ln

（1）

（1）（）23nnnxxxxxoxn+=+352121tan

（1）（）3521nnnxxxarcxxoxn+=+2

（1）

（1）

（1）

（1）1（）2!

nnnxxxxoxn+=+6洛必达法则第一层次，直接用洛必达法则法则1：

（00型）设

（1）0）（lim,0）（lim=xgxf

（2）x变化过程中，（）fx，（）gx皆存在（3）（）lim（）fxAgx=（或）则Axgxf=）（）（lim（或）（注：

如果（）lim（）fxgx不存在且不是无穷大量情形，则不能得出（）lim（）fxgx不存在且不是无穷大量情形）法则2：

（型）设

（1）lim（）,lim（）fxgx=

（2）x变化过程中，（）fx，（）gx皆存在（3）（）lim（）fxAgx=（或）则Axgxf=）（）（lim（或）第二层次，间接用洛必达法则0型和型例0011limlnlim（）1xxxxxxe+和第三层次：

间接再间接用洛必达法则1型、00型、0型*lim（）（）ln（）（）ln（）*lim（）limxgxgxfxgxfxxxfxee=7利用导数定义求极限基本公式：

0000（）（）lim（）xfxxfxfxx+=如果存在8利用定积分定义求极限基本公式=101）（）（1limdxxfnkfnnkn如果存在9其它综合方法10求极限的反问题有关方法例：

已知221lim3,sin

（1）xxaxbabx+=求和（乙）典型例题一、有关无穷小量例13231lim（sincos）2xxxxxxx+=+例2设当0x时，2（1cos）ln

（1）xx+是比sinnxx高阶的无穷小量，而sinnxx又是比2

（1）xe高阶的无穷小量，则n等于（）（A）1（B）2（C）3（D）4二、通过各种基本技巧化简后直接求出极限例1设0ma，0nb，求01110111limbxbxbxbaxaxaxannnnmmmmx+解：

01110111limbxbxbxbaxaxaxannnnmmmmx+nnnnmmmmnmxxbxbxbbxaxaxaax+=0111101111lim=时当时当时当，nmnmbanmnm,0例2设0a，1r，求）（lim1+nnarara解：

rarraararannnn=+111lim）（lim1特例

（1）求+nnn）32（）1（）32（）32（32lim132解：

例2中取32=a，32=r，可知原式52）32（132=

（2）34232）31（311）21（211lim=+nnn例3求nnnnn3223lim11+解：

分子、分母用n3除之，原式=31）32

（2）32（3lim=+nnn（注：

主要用当1r时，0lim=nnr）例4设l是正整数，求=+nknlkk1）（1lim解：

）11

（1）（1lkkllkk+=+=+=+nklnnlllkk111112111）（1因此原式）1211（1ll+=特例：

（1）=+nknkk11）1（1lim（1=l）

（2）=+=+nknkk143）211（21）2（1lim（2=l）三、用两个重要公式例1求nnxxx2cos4cos2coslim解