数学的起源与早期发展101109.pdf

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数学的起源和早期发展数学的起源和早期发展数学的起源和早期发展数学的起源和早期发展公元前6世纪前在这一时期，自然数及记数系统、算术、代数、几何初步形成。

分数、四则运算、开方运算、解方程（一次，二次，三次）及计算表（平方、立方、指数、对数），几何图形（直线形（三角形、矩形、梯形）、圆、方锥、截头方锥、棱柱）及其度量（面积、体积）计算公式、勾股定理、相似都已出现，但有的和现在还有区别。

马克思马克思：

“人类最美妙的文明之一。

人类最美妙的文明之一。

”美国数学史家丹齐克美国数学史家丹齐克：

位值制不但是方法上的根本变革，而且现在我们知道，若是没有它，算术上的任何进步都是不可能的。

：

位值制不但是方法上的根本变革，而且现在我们知道，若是没有它，算术上的任何进步都是不可能的。

”卡尔卡尔马克思马克思（18181883）法国数学家拉普拉斯法国数学家拉普拉斯：

“用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。

用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。

这是一个深远而又重要的思想这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。

，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。

但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位。

”拉普拉斯拉普拉斯（17491827）学习内容学习内容一、自然数及其记数法的产生和发展二、算术和代数的起源和早期发展三、几何的起源和早期发展一、自然数及其记数法的产生和发展二、算术和代数的起源和早期发展三、几何的起源和早期发展河谷文明与早期数学河谷文明与早期数学古代埃及古代埃及古巴比伦古巴比伦古代中国古代中国古代印度古代印度古代埃及的数学古代埃及的数学莱茵德纸草书莫斯科纸草书公元前莱茵德纸草书莫斯科纸草书公元前1850前前1650年年84个问题个问题25个问题个问题苏美尔计数泥版（文达,1982）古代巴比伦的数学古代巴比伦的数学其年代当在公元前1600年以前楔形文字楔形文字在发掘出来的在发掘出来的50万块泥板中，约有万块泥板中，约有300多块是数学泥板，其中记载有数字表和数学问题。

多块是数学泥板，其中记载有数字表和数学问题。

殷墟甲骨上数学殷墟甲骨上数学（商代商代,公元前公元前1400-前前1100年年,1983-84年间河南安阳出土年间河南安阳出土）西汉以前的中国数学西汉以前的中国数学秦简秦简秦简秦简（2002（2002年湖南龙山里耶出土年湖南龙山里耶出土年湖南龙山里耶出土年湖南龙山里耶出土）西汉以前的中国数学西汉以前的中国数学乘法口诀表乘法口诀表（2002年湖南龙山里耶出土年湖南龙山里耶出土）西汉以前的中国数学西汉以前的中国数学一、自然数及其记数法的产生和发展一、自然数及其记数法的产生和发展阿拉伯数字记数系统三要素：

阿拉伯数字记数系统三要素：

自然数、十进制、位值制记数法自然数和进位制的产生自然数和进位制的产生记数法的产生和发展记数法的产生和发展自然数的产生自然数的产生故事一故事一一个原始部落的族长如何分配一天所捕获的野兔？

（他遇到了确定事物多少的数量问题，他不会数数，那应怎样解决呢？

）故事二故事二古希腊荷马史诗：

波吕裴摩斯被俄底修斯刺瞎后，以放羊为生，他怎样知道放的羊全回了山洞呢？

数的产生数的产生如何确定事物的“多少”？

方法：

匹配方法：

匹配思想：

一一对应思想：

一一对应匹配对应的对象：

手指、石子、贝壳、果核、绳结、划痕匹配对应的对象：

手指、石子、贝壳、果核、绳结、划痕伊拉克发现蛋形泥罐，表面刻有某种牲畜，里面放着48颗泥粒。

伊拉克发现蛋形泥罐，表面刻有某种牲畜，里面放着48颗泥粒。

手指计数（伊朗，1966）结绳计数（秘鲁，1972）幼狼胫骨（捷克）基普（印加）进位制的产生进位制的产生匹配的原对象数量较多，匹配对象数量有限时怎么办？

匹配的原对象数量较多，匹配对象数量有限时怎么办？

进位制类别进位制类别：

2、5、10（中国、埃及）、12、20（玛雅）、60（巴比伦）进制周易.系辞下周易.系辞下：

“上古结绳而治，后世易之以书契。

”“书契”就是刻画符号，体现进位制想法。

亚里士多德：

采用十进制十进制是因为多数人生来具有十个手指。

60进制：

进制：

最初起源于巴比伦。

（最初于1854年在巴比伦的泥板上发现，这些泥板大约是公元前2300年到公元前1600年的遗物。

）巴比伦人最初认为一年为360天，太阳每天走一（步）（即一度），当时巴比伦人已熟知六等分圆，结合起来得到60进位。

（年、月、日、度、分、秒、星期）认为60是许多简单数字如2,3,4,5,6,10,12,的公倍数，它可以使一些较大单位的1/2,1/3,2/3,1/10的小单位，在转化为较大单位时成为整数。

认为60=125，12是一年包含的月数，5是一只手的手指数。

长度单位长度单位:

丈、尺、寸、分以下，载有厘、毫、丝、忽等十进制单位丈、尺、寸、分以下，载有厘、毫、丝、忽等十进制单位容积单位容积单位:

斛、斗、升、合以下，载有勺、抄、撮、圭等十进制单位斛、斗、升、合以下，载有勺、抄、撮、圭等十进制单位有有-无无多多-少少对对应应原原则则实物计数实物计数结绳书契掐指语语言言产产生生人人类类生生活活与与生生产产实实践践的的需需要要口头计数口头计数抽抽象象数的概念的形成大约是在30万年以前记数法的起源和发展记数法的起源和发展算具计数阶段算具计数阶段为不丢失零散的匹配工具（小石子、果核、贝壳），人们把它们串在细绳或小树枝上或放在罐里，或绳结、书契，这样计算工具得到升级。

拉丁文calculi（计算）原意是石子，汉字“算”指细木枝。

数码计数阶段数码计数阶段时间：

公元前5000年左右时间：

公元前5000年左右原因：

书契推广，记帐需要原因：

书契推广，记帐需要意义：

记数系统的出现使数与数之间的计算成为可能意义：

记数系统的出现使数与数之间的计算成为可能几种古老文明的早期记数系统几种古老文明的早期记数系统让你创造符号表示数，你会怎样表示？

简单的累数制简单的累数制埃及象形文字：

1216MDCCCLXXXVIII,1888罗马数字巴比伦契形文字：

60以内数字59分级符号制分级符号制埃及僧侣文希腊字母记数法记数系统乘法累数制乘法累数制中国甲骨文方法：

银行存单数字数位数字数位0个十个十0百百0千千0万万01十万百万千万亿十亿百亿千亿十万百万千万亿十亿百亿千亿200，300，500，2656位值制位值制同一数字符号在不同位置表示不同的数值。

同一数字符号在不同位置表示不同的数值。

这一做法充分体现了固定（位置固定）与变化（符号变化）；有限（数码符号个数有限）与无限（表示的数值无限）的辩证关系。

古巴比伦契形文字（60进位：

60以上）73227202古巴比伦契形文字（60进位：

60以上）73227202中国算筹计数（10进位）6728中国算筹计数（10进位）6728孙子算经：

孙子算经：

“凡算之法，先识其位。

一纵十横，百立千僵，千十相望，百万相当凡算之法，先识其位。

一纵十横，百立千僵，千十相望，百万相当，六不积，五不只。

，六不积，五不只。

十进位位值制记数产生于中国十进位位值制记数产生于中国十进位位值制记数产生于中国十进位位值制记数产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。

，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。

记数系统232451101;24,51,1011.414213606060算筹算筹（1971年陕西千阳县西汉墓出土年陕西千阳县西汉墓出土）西汉以前的中国数学西汉以前的中国数学算筹用竹、木、骨、金属、象牙制成，长算筹用竹、木、骨、金属、象牙制成，长13.5cm,直径直径0.89cm.算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。

算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。

算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。

算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。

中国出土的古代算筹考考你考考你67286708公元六世纪，在古代印度产生了整数的十进位位值制记数法，规定出公元六世纪，在古代印度产生了整数的十进位位值制记数法，规定出00、1、2、3、4、5、6、7、8、9，这十个数字的符号。

公元七世纪中叶，印度的记数法开始向西方传播，公元八世纪末传入阿拉伯国家。

印度的数字经阿拉伯人改进后传入欧洲，后传遍全世界，被称为、1、2、3、4、5、6、7、8、9，这十个数字的符号。

公元七世纪中叶，印度的记数法开始向西方传播，公元八世纪末传入阿拉伯国家。

印度的数字经阿拉伯人改进后传入欧洲，后传遍全世界，被称为“阿拉伯数字阿拉伯数字”。

十进位值制记数法的特点和意义十进位值制记数法的特点和意义意义：

意义：

与世界其他古老民族的记数法比较：

古埃及的数字系统没有位值制，但如要记稍大一点的数目就相当繁难。

古美洲玛雅人虽然懂得位值制，但用的是20进位；古巴比伦人也知道位值制，但用的是60进位。

20进位至少需要19个数码，60进位则需要59个数码，这就使记数和运算变得十分繁复，远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位值制来得简捷方便。

数学是自然科学的基础，十进位值制在数学发展过程中有着至关重要的作用。

这种记数法的奇妙在于用有限的符号可以表示无穷无尽的数，简捷、明快，方便运算。

没有它，算术上的任何进步都是不可能的。

与世界其他古老民族的记数法比较：

古埃及的数字系统没有位值制，但如要记稍大一点的数目就相当繁难。

古美洲玛雅人虽然懂得位值制，但用的是20进位；古巴比伦人也知道位值制，但用的是60进位。

20进位至少需要19个数码，60进位则需要59个数码，这就使记数和运算变得十分繁复，远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位值制来得简捷方便。

数学是自然科学的基础，十进位值制在数学发展过程中有着至关重要的作用。

这种记数法的奇妙在于用有限的符号可以表示无穷无尽的数，简捷、明快，方便运算。

没有它，算术上的任何进步都是不可能的。

特点：

特点：

一是逢十进一；二是每个数码既有其自身的绝对值，又有其所在位数的十进制值。

一是逢十进一；二是每个数码既有其自身的绝对值，又有其所在位数的十进制值。

天文学天文学时间与方向时间与方向商品交易商品交易政治管理政治管理劳动分配劳动分配产品分配产品分配资料分配资料分配信仰与祭祀信仰与祭祀二、算术和代数的起源和发展二、算术和代数的起源和发展四则运算四则运算开方运算开方运算解方程解方程级数级数加法加法加法：

加法：

加法运算是伴随着数的产生而产生，匹配的过程实质上就是加法运算的过程。

经验得到：

加法的结合律。

加法运算是伴随着数的产生而产生，匹配的过程实质上就是加法运算的过程。

经验得到：

加法的结合律。

2+2=4？

2+2=4？

皮亚诺提出1，后继和自然数3个概念和五条公理：

皮亚诺提出1，后继和自然数3个概念和五条公理：

1是自然数；每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a，a也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；如果b、c都是自然数a的后继数，那么b=c；1不是任何自然数的后继数；任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n1是自然数；每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a，a也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；如果b、c都是自然数a的后继数，那么b=c；1不是任何自然数的后继数；任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证