北航有限元分析与应用期末复习题答案.pdf

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飞行器结构有限元练习题答案飞行器结构有限元练习题答案1、证明3结点三角形单元的插值函数满足Ni（xj,yj）=ij，及Ni+Nj+Nm=1。

证明：

3结点三角形单元的插值函数Ni、Nj、Nm形式如下：

1（）2iiiNabxc=+iy（,）ijm其中1211iijjmmxyxyxy=jimmjxyaxy=11jimyy=b11jimxcx=（,）ijm根据行列式的性质：

行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）的元素的代数余子式乘积之和等于零。

所以1111（,）（）211122jjjjiiiiimmmmxyyxNxyxyxyyx=+=1111（,）（）001122jjjjijjjjmmmmxyyxNxyxyxyyx=+=1111（,）（）01122jjjjimmmmmmmmxyyxNxyxyxyyx=+=0=j即（,）ijjiNxy=另外1（）21（）（）（）21（200）12ijmiiijjjmmmijmijmijmNNNabxcyabxcyabxcyaaabbbxcccyxy+=+=+=+=1a123a题2图2、图示3结点三角形单元，厚度为t，弹性模量为E，泊松比=0，试求：

插值函数矩阵N，应变矩阵B，应力矩阵S，单元刚度矩阵Ke。

解：

3结点三角形单元的插值函数Ni、Nj、Nm形式如下：

12Na,）m（）iiiibxcy=+（,ij其中11iijjmm21xyxyxy=jimmjxyaxy=11jimyy=b11jimxcx=（,）ijm三角形三点坐标为：

1，（,0）a2（0,）a3（0,0）11Na=x21Na=y3111Nxaa=yeeijmuNNNv=IIIN0001000xyaxyxyaa=xyN00010002xijmeeyijmxyiijjmmbbbccccbcbcb=B1000101000101011011a=BeeDD=BS又101010010100

（1）/2001/2EDE=010001000010101/21/201/21/2EDa=SB2000200110110110110002024211031011213TEtDt=eKBB23、以平面问题常应变三角形单元为例，证明单元刚度矩阵的任何一行（或列）元素的总和为零。

证明：

平面三结点三角形单元的单元刚度方程形式如下：

1111215161121222526135152555633616265663xyxyfkkkkufkkkkvfkkkkufkkkkv=?

令11u=，230uu=1230vvv=则有11x1fk=，2x31fk=，35x1fk=1y21fk=，24y1fk=，36y1fk=单元所受合外力平衡，故x方向：

1230xxxfff+=y方向：

1230yyyfff+=所以1121314151610kkkkkk+=同理，其它各列刚度阵元素之和也为0。

由于刚度阵的对称性，K=KT所以，刚度矩阵每一行元素之和为0。

34、试证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系：

iijjmmxxLxLxL=+iijjmmyyLyLyL=+证明：

三角形的面积坐标如下：

1（）2iiiiLabx=+icy1（）2jjjjLabx=+jcy1（）2mmmmLabx=+mcy其中ai、bi、ci、aj、bj、cj、am、bm、cm、分别是行列式2的代数余子式。

1211iijjmmxyxyxy=根据行列式的性质：

行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）的元素的代数余子式乘积之和等于零。

所以1（）（）（）21（）（）（）210202iijjmmiiiijjjjmmmmiijjmmiijjmmiiiiiixLxLxLabxcyxabxcyxabxcyxaxaxaxbxbxbxxcxcxcxyxyx+=+=+=+=同理可得iijjmmyLyLyLy+=4j（6,3）i（2,2）m（5,6）q1q2xy题5图5、写出题5图所示三角形单元的插值函数Ni、Nj、Nm以及应变矩阵B。

解：

平面三结点三角形单元的插值函数为：

12iiNa=+（）iibxcy+（,）ijm其中1211iijmmjxyxyxy=jjimmxyaxy=11jimyby=11jimxcx=（,）ijm三角形三点坐标为：

，（2,2）i（6,3）j（5,6）m12221631156=33421312461iiijjjmmmabcabcabc=1（213）13i=Nxy1（243）13jNx=+y1（64）13mNx=+y0003040111000010304213133441ijmijmiijjmmbbbccccbcbcb0=B57、证明常应变三角形单元发生刚体位移时，单元中将不产生应力。

证明：

iijjmmuNuNuNu=+iijjmmvNvNvNv=+发生刚体位移时0ijmuuuu=（常数）0ijmvvvv=（常数）（常数）00（）1iijjmmijmuNuNuNuNNNuuu=+=+=0000（）1iijjmmijmvNvNvNvNNNvvv=+=+=（常数）000uxvyuxyx=+000D=单元中不产生应力。

6（x3,y3）654321（x2,y2）（x1,y1）qxy题8图8、求图示二次三角形单元在142边作用有均布侧压q时的等效结点载荷，假设结点坐标已知，单元厚度为t。

解：

设三角形面积坐标为L1、L2、L3，则形函数：

1112333）（21）NLL=、22（21）NLL=、（21NLL=414NL=2L、3L、1L524NL=634NL=在三角形的边上L3=0以142，所3560NNN=，3300xyff=5500xyff=，6600xyff=在三角形142边上建立局部坐标系，如图1420-11局部坐标系下1、4、2结点的局部坐标分别为-1、0、11、4、2点在局部坐标系下的形函数为：

124）11

（1）2=+1

（1）=，

（1）（1=+，1111126lfqtdqlt=，1441223lfqtdqlt=，1221126lfqtdqlt=其中，l为三角形142边的边长。

112cos11sinsin66yyylqtqtffxxl=11cosxff211442442coscos22sinsin33xyf11fyylqtqtffxxl=222222coscos11sinsin66xyf11fyylqtqtffxxl=其中，为q与水平方向夹角。

7、验证用面积坐标给出的二次（三角形）单元的插值函数N1N6满足Ni=1形面积坐标为L1、L2、L3，则各结点的形函数为：

9（i=16）。

证明：

设三角111222333（21）NLL=（21）NLL=（21）NLL=414NL=524NL=634NL=）（221）4LLL+2L3L1L11223312233（211）（44iNLLLLLLLLL=+13）22212312233112222444（LLLLLLLLLLLL=+21233211232（）（22）（）LLLLLLLLL=+1231LLL+=22

（1）（2NLLL=+33312）（）iLL+3L2111=得证80、二维单元在xy坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗？

在平面例，其形函数为：

1内旋转时怎样？

单元旋转180后单元刚度矩阵与原来的相同吗？

单元作上述变化时，应力矩阵S如何变化？

解：

以平面三结点三角形单元为2iiii其中,）jm1（）Nabxcy=+（,i1211iijjmmxyxyxy=jjijmmmxyaxyxy=mjxy11jijmybyy=my11jimmxcxxjx=进而可得（,）ijm0010002ijmijiijjmmbbbccccbcbcb0m=BTDt=eKBBD=SB坐标平移时，bi、mci、bj、cj、b、cm均不发生改变坐标平移时Ke、S矩阵不会变坐标平移时B矩阵不会发生变化在平面内转动时，bi、ci、bj、cj、在平面内转动时Ke、S矩阵会改变bm、cm一般均要发生改变单元旋转180度后，bi、ci、bj、cj、bm单元旋转180度后Ke不会变，而S要变号、cm均正负号发生改变（中心对称）91、图中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元按局部编码i,j,m的单元1刚度阵K和应力矩阵S为：

8066216160120413.54.57.54.513.51.51.59.51.55.5K=1003030000301201.51.50.51.5S=按图中单元的局部编码写出K，S。

解：

首先将单元旋转180度，得到单元mjmiimj单元旋转180度，刚度矩阵不变，应力矩阵变号于是得到单元的刚度矩阵与应力矩阵18066261601204（）13.51.51.55.5K0030300301201.51.50.51.513.54.57.54.5=1（）00S=9.51.5然后，将单元的结点进行调换，得到单元jimmjiij，jm，mi得29.51.5267.54.55.5041.51.58066160124.513.5K=23000300100030.51.5201.51.5S=13.5mjjii1012、图示为二次四边形单元，试计算N1/x和N2/y在自然坐标为（1/2,1/2）的点Q的数值（因为单元的边是直线，可用4个结点定义单元的几何形状）。

解：

对于八结点矩形单元1

（1）

（1）

（1）/4N=+82

（1）

（1）

（1）/4N=+

（1）

（1）

（1）/4N=34

（1）

（1）

（1）/4N=+226

（1）

（1）/N=3.1255

（1）

（1）/2N=+2227

（1）

（1）/2N=2

（1）

（1）/N=+81iiixNx=，y代入点Q坐标（1/2,1/2）81iiiyN=18,115.625iiixNx=8,15iiiyNy=38,1iiixNx=8,115iiiyNy=,15.62553.1255xyJxy=11,1,11,1,15.62550.56250.0257.125150.56250.0321xyNNJNN=12,2,12,2,15.62550.18750.01143.125150.06250.0018xyNNJNN=（10,10）05678题12图xyQ1234（30,20）（5,40）（40,50）1113、图示为二次三角形单元，试计算N4/x和N4/y在点P（1.5,2.0）的数值。

：

设三角形单元面积坐标L1、L2、L3则二次三角形单元各结点形函数为：

解解111（21）L=222（21）NLL=333（21）NLL=NL414NL=2L3L1L524NL=634NL=1444142122144NNLNLbbLL+1211224（22）

（2）bb=+1222xLxLx=+=4414224NNLNLL1212121244（2222

（2）ccLcyLyLy+=+12）c=+=1002142114=111.52.0214211=2100211.52.04114=45112214b=210414b=114311c=21011c=421122244（22）4

（2）540.245

（2）14Nbbx=+=+=421122244（22）4（3）5

（1）0.347

（2）14Nccy=+=+=6542（4,2）1（0,0）xy3（1,4）P（1.5,2.0）ijm题13图1215、垂直悬挂的等载面直杆受自重作用，载面积为A，长度为l，质量度为。

如用一维杆单元求解杆内的应力分布