曲线积分与曲面积分习题课.pdf

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第十章曲线积分和曲面积分习题课第十章曲线积分和曲面积分习题课机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束曲线积分曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定义定义=niiiiLsfdsyxf10）,（lim）,（+LdyyxQdxyxP）,（）,（）,（）,（lim10iiiniiiiyQxP+=+=联系联系dsQPQdyPdxLL）coscos（+=+=+计算计算+=+=dtfdsyxfL22,）,（与方向无关与方向无关）（a。

解1:

解1:

二、典型例题二、典型例题机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束xyoa如右图，如右图，L参数方程为参数方程为=+=+=sin2cos22ayaax2022）（）（yx+22）cos2（）sin2（aa+=+=2a=+Ldsyx22则则=Ldsax+=+=202）cos22（daaaa+=+=2022cos12da=202|2cos|2da=02|cos|duua）2（=u令令coscos2202=uduudua22a=机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例1例1计算计算dsyxL+22，其中，其中L为曲线：

为曲线：

axyx=+22，0a。

解2:

解2:

机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束如右图，如右图，L参数方程为=参数方程为=cossincos2ayax2222）（）（yx+22）2cos（）sincos2（aa+=+=a=xyoa+Ldsyx22=Ldsax=222cosadaa=222cosda22a=第二类曲线积分（平面曲线）的解题思路:

第二类曲线积分（平面曲线）的解题思路:

+=+=LQdyPdxIxQyPxQyP=0=+=+=LQdyPdxI+=+=）,（）,（00yxyxQdyPdxI闭合非闭闭合非闭闭合闭合=DdxdyyPxQI）（非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解1解1xyo11A+=+=LdyyxdxxyxI）（）2（422机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束10,2sin:

=xxyLQ+=+=104222cos2）2sin（）2sin2（dxxxxxxxLL=.1523=例2例2计算计算+=+=LdyyxdxxyxI）（）2（422，其中，其中L为由点为由点）0,0（O到点到点）1,1（A的曲线的曲线xy2sin=.解2解2xxyxyyP2）2（2=+=+=知知xyxxxQ2）（42=+=+=,xQyP=即=即+=+=104102）1（dyydxx故原式故原式.1523=xyo11A+=+=LdyyxdxxyxI）（）2（422由由机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例2例2计算计算+=+=LdyyxdxxyxI）（）2（422，其中，其中L为由点为由点）0,0（O到点到点）1,1（A的曲线的曲线xy2sin=.例3例3计算计算+=+=LxxdymyedxmyyeI）cos（）sin（，其中，其中L为由点为由点）0,（a到点到点）0,0（的上半圆周的上半圆周0,22=+yaxyx.解解myemyyeyyPxx=cos）sin（QyemyexxQxxcos）cos（=xQyP即即机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束xyo）0,（aAM=+AMOAAOAOAOLI则则0）（00+=+=medxxaAO,0=添加辅助线添加辅助线xyo）0,（aAMdxdyyPxQDAMOA=）（=Ddxdym,82am=0）（00+=+=medxxaAO,0=082=am.82am=+AMOAAOAOAOLI=AMOAAOI机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例4：

例4：

计算计算dryxFL）,（，其中

（1），其中

（1）xjyiyxF+=）,（，L是由是由0,1,=yxyx围成的三角形闭路，其方向为逆时针方向；

（2）围成的三角形闭路，其方向为逆时针方向；

（2）22）,（yxxjyiyxF+=，L：

）0（,222=+aayx，其其方向为逆时针方向。

方向为逆时针方向。

解解xyoAB1dryxFL）,（+=+=Lxdyydx+=+=BOABOA+=+=0110）（dxxxdy1=

（1）直接用公式

（1）直接用公式机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束xyoAB1dryxFL）,（+=+=Lxdyydx1=用格林公式用格林公式=Ddxdy）1（1

（2）直接用公式

（2）直接用公式机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束oaxydryxFL）,（+=+=Ldyyxxdxyxy2222daaaaaa=coscos）sin（sin22022=用格林公式用格林公式dryxFL）,（+=+=Ldyyxxdxyxy2222此步不能用格林公式此步不能用格林公式=Lxdyydxa21此步可以用格林公式此步可以用格林公式+=+=Ddxdya）1（1122=机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束oaxy例5：

例5：

计算计算+=+=CxdxxxyxeI8cos）sin（2222dyyexyyeyx+cosln）cos（222sin2其中其中L是沿是沿x正向增加的方向的曲线：

正向增加的方向的曲线：

=21）1（10）1（1122xxxxy显然，直接计算很繁，用格林公式显然，直接计算很繁，用格林公式机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束xyo）0,1（D机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解解1：

xyo）0,1（DABC添加辅助线添加辅助线+=+=ACBADBCAI用格林公式用格林公式1=yPxQ又又+=+=2028cossin22dxxxxedxdyIxD+=+=2022128cos）1（14dxxxdxx=20228cos21dxx2022138sin821）1（3114xx+=+=4432+=+=0=机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解解2：

xyo）0,1（DABC于是于是,1=yPxQQ432+=+=xQQ=1设设,01=yPxQ则则与路径无关与路径无关,11+=+=LdyQPdxI+=+=LLxdydyQPdxI121II+=0）8cos0（202+=+=dxxx4=+=+=ACBdyQPdxI11=LxdyI2=LLydxxyd）（与路径无关与路径无关=212102）1,2（）1,0（）1（）1（11）（dxxdxxxy4432+=+=I例6：

例6：

计算计算drFL，其中，其中yxxzzyF=,，L为圆周：

为圆周：

=+=+tan2222xyazyx，20记时2,0Ly记时记时的参数方程为的参数方程为1L=cossinsincossinazayax0:

机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束的参数方程为的参数方程为2L=+=+=+=cossinsin）sin（sincossin）cos（sinazaayaax0:

则则drFIL=11+=+=1）（）（）（Ldzyxdyxzdxzy）sin（cos2=a同理同理drFIL=22）sin（cos2=a则则21III+=）sin（cos22=a机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解2解2先做坐标旋转先做坐标旋转oxyzxyaaa=+=+=zzyxyyxxcossinsincosLL变成则变成则=+02222yazyx的参数方程为的参数方程为L=sin0cosazyax20机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束同理同理=+=+=+=cossinsincossincoscossinyxyxyxyxzxzzyxzy=+=+=zddzydxddyydxddxcossinsincos则则drFIL=rdFL=202）sin（cosda）sin（cos22=a+=+=Lydxzxdzy）cos（sin）cos（sinzdyx+）cos（sin）sin（cos机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束曲面面积的计算法曲面面积的计算法SDxy）,（yxfz=xyoz=dSS+=+=xyDyxdxdyzz221dsyxfSBAL=）,（）,（侧侧dxyyxfba+=+=21）,（zxoy）,（yxfz=sLABab机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积+=+=LDyxdsyxfdffS）,（）11（22xzyo）,（yxfz=LD如图曲顶柱体，如图曲顶柱体，机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束绕绕x轴旋转一周所得旋转曲面的侧面积为轴旋转一周所得旋转曲面的侧面积为=LxdsyS|2轴侧面积绕轴侧面积绕=LydsxS|2轴侧面积绕轴侧面积绕同理，同理，）（yx=绕绕y轴旋转一周所得旋转曲面的侧面积轴旋转一周所得旋转曲面的侧面积）（xfy=例7例7求柱面求柱面13232=+=+yx在球面在球面1222=+zyx内的侧面积.内的侧面积.解解由对称性由对称性=LzdsS8）20（,sin,cos33=ttytxL的参数方程为的参数方程为机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束=Ldsyx2218,cossin3）（）（22tdttdtyxdstt=+=+=tdttttScossin3sincos182066=tdttttcossincossin3242022=2022cossin324tdtt.233=例8：

例8：

求半圆锥面求半圆锥面22yxz+=上自+=上自0=z到到）0（=hhz的质量，假设其上各点的密度与该点到原点的距离成正比。

的质量，假设其上各点的密度与该点到原点的距离成正比。

机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解解由题设由题设222zyxk+=+=SdSm+=+=xyDyxdxdyzz221+=+=xyDdxdyyxyyxxyxyxk22222222221）（oxyzhh+=+=xyDdxdyyxk222=hddk0202334kh=例9：

例9：

计算：

计算：

dSzyxI+=+=）4121（222，其中，其中是是球面：

球面：

2222Rzyx=+。

机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解:

解:

由轮换对称性由轮换对称性dSzdSydSx=222dSxI+=+=2）41211（dSzyx+=+=）（31）41211（222dSR=23147437R=例10.例10.计算曲面积分计算曲面积分,d2）（22SzyzyxI+=+=其中是球面其中是球面.22222zxzyx+=+解:

解:

+=+=Szxd）22（32=SzyxId）（222+=+=zyyx22+Syzxd）（2+=+=Szxd）（20+利用对称性用重心公式利用对称性用重心公式机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束在第四卦限部分的上侧为平面为连续函数其中计算在第四卦限部分的上侧为平面为连续函数其中计算1,）,（,）,（）,

（2）,（=+=+=zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例11xyoz111解1解1yxz+=1:

机动目录上页下页返回结束机动