高等数学同济下册期末考试题及答案套.pdf

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2018年年4月月24日日高等数学（下册）考试试卷

（一）高等数学（下册）考试试卷

（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、z=）0（）（log22ayxa的定义域为D=。

2、二重积分1|22）ln（yxdxdyyx的符号为。

3、由曲线xyln及直线1eyx，1y所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L的参数方程表示为）,（）（）（xtytx则弧长元素ds。

5、设曲面为922yx介于0z及3z间的部分的外侧，则dsyx）122（。

6、微分方程xyxydxdytan的通解为。

7、方程04）4（yy的通解为。

8、级数1）1（1nnn的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数）,（yxfz在）,（00yx处可微的充分条件是（）（A））,（yxf在）,（00yx处连续；（B））,（yxfx，）,（yxfy在）,（00yx的某邻域内存在；（C）yyxfxyxfzyx）,（）,（0000当0）（）（22yx时，是无穷小；（D）0）（）（）,（）,（lim22000000yxyyxfxyxfzyxyx。

2、设）,（）（xyxfyxyfu其中f具有二阶连续导数，则2222yuyxux等于（）（A）yx；（B）x；（C）y；（D）0。

2/133、设：

0,1222zzyx则三重积分zdVI等于（）（A）42020103cossindrrdd；（B）200102sindrrdd；（C）2020103cossindrrdd；（D）200103cossindrrdd。

4、球面22224azyx与柱面axyx222所围成的立体体积V=（）（A）20cos202244adrrad；（B）20cos202244adrrard；（C）20cos202248adrrard；（D）22cos20224adrrard。

5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数）,（）,（yxQyxP在D上具有一阶连续偏导数，则LQdyPdx）（（A）DdxdyxQyP）（；（B）DdxdyxPyQ）（；（C）DdxdyyQxP）（；（D）DdxdyyPxQ）（。

6、下列说法中错误的是（）（A）方程022yxyyx是三阶微分方程；（B）方程xydxdyxdxdyysin是一阶微分方程；（C）方程0）3（）2（22232dyyxydxxyx是全微分方程；（D）方程xyxdxdy221是伯努利方程。

7、已知曲线）（xyy经过原点，且在原点处的切线与直线062yx平行，而）（xy满足微分方程052yyy，则曲线的方程为y（）（A）xex2sin；（B））2cos2（sinxxex；（C））2sin2（cosxxex；（D）xex2sin。

3/138、设0limnnnu,则1nnu（）（A）收敛；（B）发散；（C）不一定；（D）绝对收敛。

三、求解下列问题（共计15分）1、（7分）设gf,均为连续可微函数。

）（）,（xyxgvxyxfu，求yuxu,。

2、（8分）设txtxdzzftxu）（）,（，求tuxu,。

四、求解下列问题（共计15分）。

1、计算I2022xydyedx。

（7分）2、计算dVyxI）（22，其中是由x21,222zzzy及所围成的空间闭区域（8分）五、（13分）计算LyxydxxdyI22，其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点）0,0（O的封闭曲线的逆时针方向。

六、（9分）设对任意）（,xfyx满足方程）（）

（1）（）（）（yfxfyfxfyxf，且）0（f存在，求）（xf。

七、（8分）求级数11212）2（）1（nnnnx的收敛区间。

高等数学（下册）考试试卷

（二）高等数学（下册）考试试卷

（二）1、设zyxzyx32）32sin（2，则yzxz。

2、xyxyyx93lim00。

3、设202）,（xxdyyxfdxI，交换积分次序后，I。

4、设）（uf为可微函数，且,0）0（f则222）（1lim2230tyxtdyxft。

5、设L为取正向的圆周422yx，则曲线积分4/13Lxxdyxyedxyey）2（）1（。

6、设kxyzjxzyiyzxA）（）（）（222，则Adiv。

7、通解为xxececy221的微分方程是。

8、设xxxf0,10,1）（，则它的Fourier展开式中的na。

二、选择题（每小题2分，共计16分）。

1、设函数0,00,）,（2222422yxyxyxxyyxf,则在点（0，0）处（）（A）连续且偏导数存在；（B）连续但偏导数不存在；（C）不连续但偏导数存在；（D）不连续且偏导数不存在。

2、设）,（yxu在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足02yxu及22xu022yu，则（）（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部；（B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上；（D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。

3、设平面区域D：

1）1（）2（22yx，若DdyxI21）（，DdyxI32）（则有（）（A）21II；（B）21II；（C）21II；（D）不能比较。

4、设是由曲面1,xxyxyz及0z所围成的空间区域，则dxdydzzxy32=（）（A）3611；（B）3621；（C）3631；（D）3641。

5、设）,（yxf在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为）（）（tytx）（t，其中）（）,（tt在,上具有一阶连续导数，且0）（）（22tt，则曲线积分Ldsyxf）,（（）（A）dtttf）（）,（；（B）dtttttf）（）（）（）,（22；（C）dtttttf）（）（）（）,（22；（D）dtttf）（）,（。

5/136、设是取外侧的单位球面1222zyx，则曲面积分zdxdyydzdxxdydz=（）（A）0；（B）2；（C）；（D）4。

7、下列方程中，设21,yy是它的解，可以推知21yy也是它的解的方程是（）（A）0）（）（xqyxpy；（B）0）（）（yxqyxpy；（C）（）（）（xfyxqyxpy；（D）0）（）（xqyxpy。

8、设级数1nna为一交错级数，则（）（A）该级数必收敛；（B）该级数必发散；（C）该级数可能收敛也可能发散；（D）若）0（0nan，则必收敛。

三、求解下列问题（共计15分）1、（8分）求函数）ln（22zyxu在点A（0，1，0）沿A指向点B（3，-2，2）的方向的方向导数。

2、（7分）求函数）4（）,（2yxyxyxf在由直线0,0,6xyyx所围成的闭区域D上的最大值和最小值。

四、求解下列问题（共计15分）1、（7分）计算3）1（zyxdvI，其中是由0,0,0zyx及1zyx所围成的立体域。

2、（8分）设）（xf为连续函数，定义dvyxfztF）（）（222，其中222,0|）,（tyxhzzyx，求dtdF。

五、求解下列问题（15分）1、（8分）求LxxdymyedxmyyeI）cos（）sin（，其中L是从A（a，0）经2xaxy到O（0，0）的弧。

2、（7分）计算dxdyzdzdxydydzxI222，其中是）0（222azzyx的外侧。

六、（15分）设函数）（x具有连续的二阶导数，并使曲线积分Lxdyxydxxexx）（）

（2）（32与路径无关，求函数）（x。

6/13高等数学（下册）考试试卷（三）高等数学（下册）考试试卷（三）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、设yzxztdteu2，则zu。

2、函数）2sin（）,（yxxyyxf在点（0，0）处沿）2,1（l的方向导数）0,0（lf=。

3、设为曲面0,122zyxz所围成的立体，如果将三重积分dvzyxfI）,（化为先对z再对y最后对x三次积分，则I=。

4、设）,（yxf为连续函数，则IDtdyxft）,（1lim20，其中222:

tyxD。

5、Ldsyx）（22，其中222:

ayxL。

6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数）,（zyxP，）,（zyxQ，）,（zyxR在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式：

，该关系式称为公式。

7、微分方程96962xxyyy的特解可设为*y。

8、若级数11）1（npnn发散，则p。

二、选择题（每小题2分，共计16分）1、设）,（bafx存在，则xbxafbaxfx）,（）,（lim0=（）（A））,（bafx；（B）0；（C）2）,（bafx；（D）21）,（bafx。

2、设2yxz，结论正确的是（）（A）022xyzyxz；（B）022xyzyxz；（C）022xyzyxz；（D）022xyzyxz。

3、若）,（yxf为关于x的奇函数，积分域D关于y轴对称，对称部分记为21,DD，）,（yxf在D上连续，则7/13Ddyxf）,（（）（A）0；（B）21）,（Ddyxf；（C）41）,（Ddyxf；（D）22）,（Ddyxf。

4、设：

2222Rzyx，则dxdydzyx）（22=（）（A）538R；（B）534R；（C）5158R；（D）51516R。

5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线L，在点）,（yx处的线密度为）,（yx，则曲线弧的重心的x坐标x为（）（）x=LdsyxxM）,（1；（B）x=LdxyxxM）,（1；（C）x=Ldsyxx）,（；（D）x=LxdsM1,其中M为曲线弧的质量。

、设为柱面122yx和1,0,0zyx在第一卦限所围成部分的外侧，则曲面积分ydxdzxxzdydzzdxdyy22（）（A）0；（B）4；（C）245；（D）4。

、方程）（2xfyy的特解可设为（）（A）A，若1）（xf；（B）xAe，若xexf）（；（C）EDxCxBxAx234，若xxxf2）（2；（D））5cos5sin（xBxAx，若xxf5sin）（。

、设xxxf010,1）（，则它的Fourier展开式中的na等于（）（A））1（12nn；（B）0；（C）n1；（D）n4。

三、（分）设ttxfy）,（为由方程0）,（tyxF确定的yx,的函数，其中Ff,具有一阶连续偏导数，求dxdy。

四、（分）在椭圆4422yx上求一点，使其到直线0632yx的距离最短。

五、（分）求圆柱面yyx222被锥面22yxz和平面0z割下部分的面积。

六、（分）计算xyzdxdyI，其中为球面1222zyx的0,0yx部分8/13的外侧。

七、（10分）设xxdxdf2sin1）（cos）（cos，求）（xf。

八、（10分）将函数）1ln（）（32xxxxf展开成x的幂级数。

高等数学（下册）考试试卷

（一）参考答案高等数学（下册）考试试卷

（一）参考答案一、1、当10a时，1022yx；当1a时，122yx；2、负号；3、23;110Dyeeydxdyd；4、dttt）（）（22；5、180；6、Cxxysin；7、xxeCeCxCxCy2423212sin2cos；8、1；二、1、D；2、D；3、C；4、B；5、D；6、B；7、A；8、C；三、1、21fyfxu；）（xyxgxyu；2、）（）（txftxfxu；）（）（txftxftu；四、1、）1（21420200220222edyyedxedydyedxyyyxy；2、2020212022132233142rdzrdrddzrdrdI柱面坐标；五、令2222,yxxQyxyP则xQyxxyyP22222）（，）0,0（）,（yx；于是当L所围成的区域D中不含O（0，0）时，xQyP,在D内连续。

所以由Green公式得：

I=0；当L所围成的区域D中含O（0，0）时，xQyP,在D内除O（0，0）外都