2011全国大学生数学建模竞赛A题获奖论文一篇.pdf

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1城市表层土壤重金属污染分析的数学模型摘要为研究城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式。

本文通过处理和分析已给数据，给出金属的空间分布说明污染程度和主要原因；建立数学模型确定污染源位置；最后收集其他信息讨论城市地质环境的演变模式。

问题一，利用matlab软件作出位置坐标x、y与八种总金属元素浓度的空间分布图；分析采集的重金属元素浓度所在区域的大致情形。

对采集的重金属元素浓度的数据进行分析，并计算单因子和多因子污染指数，根据土壤污染分级标准判断出不同重金属元素在各功能区的污染程度和各功能区的综合污染程度，其中工业区中铜是所有元素在不同功能区中污染程度最严重的，而工业区和交通区的综合污染程度是最严重的。

问题二，首先利用SAS软件对八种重金属元素在五个城区的含量进行主成分分析，得到八种重金属对各功能区的贡献率，可初步推断出工业生产、交通设施和生活垃圾造成重金属污染。

再利用SAS软件对各城区的重金属进行因子分析，进一步判断八种不同重金属污染的原因，如汞污染的原因为工业生产中三废的排放、交通运输业中汽油的燃烧和汽车轮胎磨损产生的粉尘等。

问题三，根据所给数据，分析重金属污染传播特征，即分别是介质的迁移运动、污染物的分散运动、污染物的累积与转化、污染物被环境介质吸收或吸附、污染物的沉淀，然后利用Matlab软件，采用多元纯二次二项式回归分析方法，分别得到每种重金属元素浓度与坐标的回归方程，并根据该方程利用多元函数求极值的方法确定出污染源的可能位置分别为：

As（1878.2634，6003.7263，4.5846），Cd（970.5835，3946.7518，6.5891），Cr（1235.1956，2658.3427，8.5402），Cu（138.4682，6223.4521，3.2461），Hg（1231.5782，2561.5483，5.2478），Ni（12234.2587，5865.1656，23.2461），Pb（2310.68914145.2674，3.2651），Zn（3015.43418642.23655.0543）；问题四，基于前三问，分析所建模型的优缺点。

优点：

1）通过作出浓度与坐标的分布图，可以很直观的看出各种重金属在不同位置的浓度不同，可以定性的分析金属聚集区；2）主成分分析、因子分析可在众多因素中找出各个变量最佳的子集合，从子集合所包含的信息描述多变量的系统结果及各个因子对系统的影响。

抓住主要矛盾，把握主要矛盾的主要方面，舍弃次要因素，以简化系统的结构，认识系统的内核。

主成分分析和因子可以进行数值分类，构造分类模式。

以便找出它们之间的联系和内在规律性。

所以第二问中我们采用主成分分析、因子分析可以准确的定量说明各种重金属在各功能区的污染程度和各功能区受不同重金属的污染；。

同时参考相关文献，提出需要增加土壤水溶液的PH、地下水重金属浓度、植物中重金属浓度等，在用指数法和层次分析法给出研究城市地质环境的演变模式。

3）第三问我们采用回归模型，简单易懂，便于实现。

缺点：

1）没有考虑到海拔考虑到这些模型中；2）第三问中回归模型不能很好的反映重金属浓度与地理位置的关系。

关键词：

土壤重金属污染主成分分析二项式回归因子分析2一、问题重述土壤是环境的重要组成部分，是人类赖以生存的自然环境和工农业生产的重要资源。

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量，尤其是对城市土壤地质环境的影响日显突出。

研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

随着工业、城市污染的加剧和农用化学物质种类、数量的增加，土壤重金属污染日益严重，污染程度不断加剧，污染面积逐年扩大。

由于重金属污染物在土壤中移动性差、滞留时间长、不能被微生物降解，并可经水、植物等介质最终影响人类健康。

因此，土壤重金属污染问题已经成为当今环境科学研究的重要内容。

城区按照功能进行划分，一般可分为生活区（1类区）、工业区（2类区）、山区（3类区）、交通区（4类区）及公园绿地区（5类区）等，人类活动对不同区域环境的影响程度一般会有所不同。

因此，分区域对影响土壤地质环境的8种主要重金属元素进行采样，本文要求解决如下几个问题：

1、分析8种主要重金属元素在该城区的空间分布，评价不同区域重金属的污染程度；2、利用所给数据，探讨城区土壤重金属污染的主要原因；3、根据重金属污染物的传播特征，建立并求解相应的数学模型，确定污染源的位置，以便为采取有效措施防治土壤重金属污染提供依据；4、分析上述模型的优点和缺点，探讨需要补充的其它信息，重新建立模型研究城市地质环境的演变模式，以便更好地解决土壤重金属污染问题。

二、模型假设a.因取样点海拔差异较小，认为海拔对重金属元素分布的影响较小，可以忽略；b.认为采样点的数据测量准确，并且能较好的反映该地区的污染物浓度；c.短期内重金属浓度不再增加；d.因为采样点在地表表层，不考虑地下水对污染物传播的影响。

三、符号说明a.iY表示第i种污染物，其中1Y表示第1种污染物砷；2Y表示第2种污染物镉；3Y表示第3种污染物铬；4Y表示第4种污染物铜；5Y表示第五种污染物汞；6Y表示第6种污染物镍；7Y表示第7种污染物铅；8Y表示第八种污染物锌b.iI为第i种污染物的污染分指数（1,28i=?

）c.iC为第i种污染物的实测浓度（1,28i=?

）d.iS为第i种污染物的评价标准（1,28i=?

）四、问题分析重金属污染指由重金属或其化合物造成的环境污染，主要由采矿、废气排放、污水灌溉和使用重金属制品等人为因素所致。

一些人类活动会导致环境中的重金属含量增加，超出正常范围，从而导致环境质量恶化。

因此，对土壤中重金属污染的研究对缓解严峻的重金属污染现状有重大意义。

3a.问题一是根据采样点的重金属位置和浓度，通过软件作图说明8种重金属元素在5个功能区的空间分布和浓度分布，再对数据进行分析和判断，以确定不同区域重金属的污染程度；b.问题二分析重金属污染的主要原因是一个相关分析的问题，首先我们应考虑这些重金属污染是在哪些或那个功能区较严重，再联系功能区的实际找其可能原因，再进一步分析各功能区中这八种重金属污染物的贡献率，两者结合推断出重金属污染的主要原因。

c.问题三是在前两问的基础上，分析重金属污染物的传播特征；再结合所给数据，建立污染物浓度和坐标直接相关的数学模型，根据此模型确定污染源的大致位置；d.在分析总结前三个问题模型的基础上，查阅相关的地质环境资料，对模型做进一步改进。

五、模型建立与求解5.1重金属的空间分布及其在各城区的浓度分布图5.1.1空间分布图1各功能区空间分布图注：

绿色代表山区，橙色代表工业区，蓝色代表生活区，红色代表交通区，青色代表公园绿地区400.511.522.53x10400.511.52x104-15-10-50510152025302砷（As）浓度与坐标x,y的曲面图从空间分布图可看出，砷含量较高的基本都集中在几个小的区域内，从砷含量的地区分布和采样点的数据来看，其最高含量基本都出现在工业区，少数出现在交通区、公园绿地区、山区和生活区。

00.511.522.53x10400.511.52x104-2000-1500-1000-50005001000150020003镉（Cd）浓度与坐标x,y的曲面图从空间分布图可看出，镉含量较高的区域比较分散，从镉含量的地区分布和采样点5的数据来看，其最高含量基本都出现在交通区和工业区，少数出现在生活区，极少数出现在山区和公园绿地区。

00.511.522.53x10400.511.52x104-1500-1000-500050010004铬（Cr）浓度与坐标x,y的曲面图从空间分布图可看出，铬含量较高的基本都集中在一个小的区域内，从铬含量的地区分布及其采样点的数据来看，其最高含量基本都出现在工业区，少数出现在交通区和生活区，极少数出现在山区和公园绿地区。

00.511.522.53x10400.511.52x104-1500-1000-5000500100015002000250030005铜（Cu）浓度与坐标x,y的曲面图6从空间分布图可看出，铜含量较高的基本都集中在两个小的区域内，从铜含量的地区分布及采样点的数据来看，其最高含量基本都出现在交通区和工业区，极少数出现在生活区、山区和公园绿地区。

00.511.522.53x10400.511.52x104-1-0.500.511.52x1046汞（Hg）浓度与坐标x,y的曲面图从空间分布图可看出，汞含量较高的基本都集中在三个小的区域内，从汞含量的地区分布及采样点的数据来看，其最高含量基本都出现在交通区和工业区，少数出现在生活区和公园绿地区，极少数出现在山区。

700.511.522.53x10400.511.52x104-150-100-500501001507镍（Nr）浓度与坐标x,y的曲面图从空间分布图可看出，镍含量较高的基本都集中在一个小的区域内，从镍含量的地区分布和采样点数据来看，其最高含量基本都出现在交通区和工业区，少数出现在公园绿地区，极少数出现在山区和生活区。

00.511.522.53x10400.511.52x104-10001002003004005006008铅（Pb）浓度与坐标x,y的曲面图8从空间分布图可看出，铅含量较高的不是很集中，但可以从铅含量的地区分布和采样点数据来看，其最高含量基本都出现在交通区和工业区，少数出现在公园绿地区，极少数出现在山区和生活区。

00.511.522.53x10400.511.52x104-2000-1000010002000300040009锌（Zn）浓度与坐标x,y的曲面图从空间分布图可看出，锌含量较高的基本都集中在几个小的区域内，从锌含量的地区分布和采样点的数据来看，其最高含量基本都出现在交通区和公园绿地区，少数出现在生活区和工业区，极少数出现在山区。

5.1.2各功能区土壤重金属污染程度的评价

（1）评价方法a、评价因子按照该地区的结合该区重金属的背景值，选取了在该区影响较大的8种重金属污染元素（As，Cd，Cr，Cu，Hg，Ni，Pb，Zn）作为该区的土壤环境质量评价因子。

b、评价标准评价方法采用指数法。

首先根据该区土壤重金属含量的实测值分别求出各污染因子的分指数，然后再根据分指数计算评价区域内土壤重金属的单因子综合污染指数和多因子综合污染指数（见、和），最后根据分指数、单因子综合污染指数和多因子综合污染指数来判断土壤重金属污染现状。

表18种主要重金属元素的背景值8种主要重金属元素的背景值元素平均值标准偏差范围As（g/g）3.60.91.85.4Cd（ng/g）1303070190Cr（g/g）31913499Cu（g/g）13.23.66.020.4Hg（ng/g）3581951Ni（g/g）12.33.84.719.9Pb（g/g）3161943Zn（g/g）69144197a）单因子污染指数：

以土壤单项污染物的实测值与评价标准相比，比值即为分指数，用以表示土壤中该污染物的污染程度。

iI为第i种污染物的污染分指数，iC为其实测浓度，iS为其评价标准。

iiiCIS=11niiIIn=b）单因子综合污染指数：

区域内单个污染元素的所有分指数的算术平均值，见式。

c）多因子综合污染指数：

由于土壤同时被多种重金属元素污染，因而土壤污染评价要运用综合指数法进行评价。

综合指数的算法有多种，本文采用内梅罗（NC.Nemerow）指数法来计算综合污染指数。

见式，其中为NP土壤污染综合指数；2max（）iI为土壤污染物中最大的污染分指数；iI为各污染分指数的算术平均值。

22max（）（）2iiNIIP+=表2土壤污染分级标准等级划分综合污染指数单项污染指数污染等级10.7P综0.7iP安全20.71.0P综0.71.0