高中数学人教A版必修四三角恒等变换章末综合测评含答案解析.docx

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高中数学人教A版必修四三角恒等变换章末综合测评含答案解析

人教A版必修四三角恒等变换章末综合测评

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知cos（α＋β）＋cos（α－β）＝

，则cosαcosβ的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

2．已知tan（π＋α）＝2，则

等于（　　）

A．

B．

C．－

D．－

3．若tanα＝2tan

，则

＝（　　）

A．1B．2

C．3D．4

4．

的值为（　　）

A．

B．

C．1D．

5．cos4

－sin4

等于（　　）

A．0B．

C．1D．－

6．已知函数y＝tan（2x＋φ）的图象过点

，则φ的值可以是（　　）

A．－

B．

C．－

D．

7．若θ∈

，sinθ－cosθ＝

，则cos2θ等于（　　）

A．

B．－

C．±

D．±

8．已知sin

＝

，则sin2x的值为（　　）

A．

B．

C．

D．－

9．已知cos

＝

，x∈（0，π），则sinx的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

10．函数y＝sinx＋cosx＋2

的最小值是（　　）

A．2－

B．2＋

C．3D．1

11．已知函数f（x）＝

sinwx＋coswx（w＞0），x∈R.在曲线y＝f（x）与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为

，则f（x）的最小正周期为（　　）

A．

B．

C．πD．2π

12．已知a＝（sinα，1－4cos2α），b＝（1，3sinα－2），α∈

，若a∥b，则tan

＝（　　）

A．

B．－

C．

D．－

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上）

13．函数f（x）＝sinx－

cosx（x∈R）的最小正周期为________，最大值为________．

14．tan

＋tan

＋

tan

·tan

的值是________．

15．已知tanα＝－2，tan（α＋β）＝

，则tanβ的值为________．

16．已知A，B，C皆为锐角，且tanA＝1，tanB＝2，tanC＝3，则A＋B＋C的值为________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝sinx－2

sin2

.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间

上的最小值．

【解】　

（1）因为f（x）＝sinx＋

cosx－

＝2sin

－

，

所以f（x）的最小正周期为2π.

（2）因为0≤x≤

，所以

≤x＋

≤π.

当x＋

＝π，即x＝

时，f（x）取得最小值．

所以f（x）在区间

上的最小值为f

＝－

.

18．（本小题满分12分）已知锐角α，β满足tan（α－β）＝sin2β，求证：

tanα＋tanβ＝2tan2β.

【证明】　因为tan（α－β）＝sin2β，

tan（α－β）＝

，

sin2β＝2sinβcosβ＝

＝

，

所以

＝

，

整理得：

tanα＝

.

所以tanα＋tanβ

＝

＝

＝2tan2β.

19．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝sin

sinx－

cos2x.

（1）求f（x）的最小正周期和最大值；

（2）讨论f（x）在

上的单调性．

【解】　

（1）f（x）＝sin

sinx－

cos2x

＝cosxsinx－

（1＋cos2x）

＝

sin2x－

cos2x－

＝sin

－

，

因此f（x）的最小正周期为π，最大值为

.

（2）当x∈

时，0≤2x－

≤π，从而

当0≤2x－

≤

，即

≤x≤

时，f（x）单调递增，

当

≤2x－

≤π，即

≤x≤

时，f（x）单调递减．

综上可知，f（x）在

上单调递增；在

上单调递减．

20．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝sin2x－sin2

，x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间

上的最大值和最小值．

【解】　

（1）由已知，有f（x）＝

－

＝

－

cos2x

＝

sin2x－

cos2x＝

sin

.

所以f（x）的最小正周期T＝

＝π.

（2）因为f（x）在区间

上是减函数，在区间

上是增函数，

且f

＝－

，f

＝－

，f

＝

，

所以f（x）在区间

上的最大值为

，最小值为－

.

21.（本小题满分12分）如图1所示，已知α的终边所在直线上的一点P的坐标为（－3，4），β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为

.

图1

（1）求tan（2α－β）的值；

（2）若

＜α＜π，0＜β＜

，求α＋β.

【解】　

（1）由三角函数的定义知tanα＝－

，

∴tan2α＝

＝

.又由三角函数线知sinβ＝

，∵β为第一象限角，∴tanβ＝

，

∴tan（2α－β）＝

＝

.

（2）∵cosα＝－

，∵

＜α＜π，0＜β＜

，

∴

＜α＋β＜

.

∵sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝

×

－

×

＝

.

又∵

＜α＋β＜

，∴α＋β＝

.

22．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝2cosx（sinx＋cosx）．

（1）求f

的值；

（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

【解】　法一：

（1）f

＝2cos

＝－2cos

＝2.

（2）因为f（x）＝2sinxcosx＋2cos2x

＝sin2x＋cos2x＋1＝

sin

＋1，

所以T＝

＝π，故函数f（x）的最小正周期为π.

由2kπ－

≤2x＋

≤2kπ＋

，k∈Z，

得kπ－

≤x≤kπ＋

，k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间为

，k∈Z.

法二：

f（x）＝2sinxcosx＋2cos2x

＝sin2x＋cos2x＋1＝

sin

＋1.

（1）f

＝

sin

＋1＝

sin

＋1＝2.

（2）因为T＝

＝π，所以函数f（x）的最小正周期为π.

由2kπ－

≤2x＋

≤2kπ＋

，k∈Z，

得kπ－

≤x≤kπ＋

，k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间为

，k∈Z.

人教A版必修四三角恒等变换章末综合测评

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知cos（α＋β）＋cos（α－β）＝

，则cosαcosβ的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

【解析】　由题意得：

cosαcosβ－sinαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝2cosαcosβ＝

，

所以cosαcosβ＝

.

【答案】　D

2．已知tan（π＋α）＝2，则

等于（　　）

A．

B．

C．－

D．－

【解析】　由tan（π＋α）＝2，得tanα＝2，

∴

＝

＝

＝

.

【答案】　A

3．若tanα＝2tan

，则

＝（　　）

A．1B．2

C．3D．4

【解析】　∵cos

＝cos

＝sin

，

∴原式＝

＝

＝

.

又∵tanα＝2tan

，∴原式＝

＝3.

【答案】　C

4．

的值为（　　）

A．

B．

C．1D．

【解析】　原式＝

＝

＝

＝

.

【答案】　A

5．cos4

－sin4

等于（　　）

A．0B．

C．1D．－

【解析】　原式

＝

＝cos2

－sin2

＝cos

＝

.

【答案】　B

6．已知函数y＝tan（2x＋φ）的图象过点

，则φ的值可以是（　　）

A．－

B．

C．－

D．

【解析】　由题得tan

＝0，

即tan

＝0，

＋φ＝kπ，k∈Z，

φ＝kπ－

，k∈Z，

当k＝0时，φ＝－

，故选A．

【答案】　A

7．若θ∈

，sinθ－cosθ＝

，则cos2θ等于（　　）

A．

B．－

C．±

D．±

【解析】　由sinθ－cosθ＝

两边平方得，sin2θ＝

，

又θ∈

，且sinθ>cosθ，

所以

<θ<

，所以

<2θ<π，

因此，cos2θ＝－

，故选B．

【答案】　B

8．已知sin

＝

，则sin2x的值为（　　）

A．

B．

C．

D．－

【解析】　sin2x＝cos

＝cos2

＝1－2sin2

＝1－2×

＝－

.

【答案】　D

9．已知cos

＝

，x∈（0，π），则sinx的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

【解析】　由cos

＝

，且0＜x＜π，

得

＜x＋

＜

，

所以sin

＝

，

所以sinx＝sin

＝sin

cos

－cos

sin

＝

×

－

×

＝

.

【答案】　B

10．函数y＝sinx＋cosx＋2

的最小值是（　　）

A．2－

B．2＋

C．3D．1

【解析】　由y＝

sin

＋2，且0≤x≤

，

所以

≤x＋

≤

π，

所以

≤sin

≤1，

所以3≤y≤

＋2.

【答案】　C

11．已知函数f（x）＝

sinwx＋coswx（w＞0），x∈R.在曲线y＝f（x）与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为

，则f（x）的最小正周期为（　　）

A．

B．

C．πD．2π

【解析】　由曲线f（x）＝2sin

与y＝1交点中相邻交点最小值为

正好等于f（x）的周期的

倍，设f（x）的最小正周期为T，则

T＝

，故有T＝π.

【答案】　C

12．已知a＝（sinα，1－4cos2α），b＝（1，3sinα－2），α∈

，若a∥b，则tan

＝（　　）

A．

B．－

C．

D．－

【解析】　因为a∥b，

所以有sinα（3sinα－2）－（1－4cos2α）＝0，

即3sin2α－2sinα－1＋4cos2α＝0

⇒5sin2α＋2sinα－3＝0，

解得sinα＝

或－1，又α∈

，

所以sinα＝

，cosα＝

，tanα＝

，

所以tan

＝

＝

＝－

.

【答案】　B

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上）

13．函数f（x）＝sinx－

cosx（x∈R）的最小正周期为________，最大值为________．

【解析】　因为f（x）＝2sin

，

所以f（x）＝2sin

的最小正周期为T＝2π，最大值为2.

【答案】　2π　2

14．tan

＋tan

＋

tan

·tan

的值是________．

【解析】　∵tan

＝tan

＝

＝

，

∴

＝tan

＋tan

＋

tan

tan

.

【答案】　

15．已知tanα＝－2，tan（α＋β）