届高三适应性考试数学理试题 含答案.docx
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届高三适应性考试数学理试题含答案
理科数学（B卷）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知
，
，若
，则
（）
A．
B．
C．
或
D．
或
或0
2.设复数
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
3.武汉市2018年各月的平均气温（
）数据的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是（）
A．25.5B．22C．20.5D．20
4.设等比数列
的前
项和为
，则“
”是“
”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5.在平行四边形
中，
，
，将此平行四边形沿
折成直二面角，则三棱锥
外接球的表面积为（）
A．
B．
C．
D．
6.对于函数
，给出下列四个命题：
①存在
，使
；②存在
，使
恒成立；③存在
，使函数
的图象关于坐标原点成中心对称；④函数
的图象关于直线
对称；⑤函数
的图象向左平移
个单位长度就能得到
的图象.其中正确命题的序号是（）
A．①②③B．③④⑤C．②③⑤D．③④
7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数
后输出的
，则
的值为（）
A．3B．4C．5D．6
8.已知
是定义在
上的两个函数，且对
，
恒成立.命题
：
若
为偶函数，则
也为偶函数；命题
：
若
时，
在
上恒成立，则
为
上的单调函数.则下列命题正确的是（）
A．
B．
C．
D．
9.已知点
是抛物线
上的一个动点，
是圆
上的一个动点，
是一个定点，则
的最小值为（）
A．2B．3C．4D．5
10.若点
是锐角
所在的平面内的动点，且
，给出下列命题：
①
恒成立；②
的最小值为
；③点
的轨迹是一条直线；④存在点
使
.
其中正确的命题为（）
A．①③B．②④C．③④D．②③④
11.如图所示，网格上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面面积中的最大值为（）
A．16B．8C．
D．6
12.已知
，设函数
存在极大值点
，且对于
的任意可能取值，恒有极大值
，则下列结论中正确的是（）
A．存在
，使得
B．存在
，使得
C．
的最大值为
D．
的最大值为
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若
，则
.
14.给定双曲线
，若直线
过
的中心，且与
交于
两点，
为曲线
上任意一点，若直线
的斜率均存在且分别记为
，则
.
15.已知点
的坐标满足
，则
的取值范围为.
16.在数列
中，
，
是数列
的前
项和，当不等式
恒成立时，
的所有可能取值为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，
三地位于同一水平面上，这种仪器在
地进行弹射实验，观测点
两地相距100米，
，在
地听到弹射声音的时间比
地晚
秒，在
地测得该仪器至最高点
处的仰角为
.
（1）求
两地的距离；
（2）求这种仪器的垂直弹射高度
（已知声音的传播速度为340米/秒）.
18.（本小题满分12分）
如图，
平面
，
分别是
的中点，
，
.
（1）求二面角
的余弦值；
（2）点
是线段
上的动点，当直线
与
所成的角最小时，求线段
的长.
19.（本小题满分12分）
某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体验表，并得到如图的频率分布直方图.
（1）若直方图中后四组的频率成等差数列，试估计全年级视力在
以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
（3）在
（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为
，求
的分布列和数学期望.
20.（本小题满分12分）
如图，曲线
由两个椭圆
和椭圆
组成，当
成等比数列时，称曲线
为“猫眼曲线”.
（1）若猫眼曲线
过点
，且
的公比为
，求猫眼曲线
的方程；
（2）对于题
（1）中所求的猫眼曲线
，任作斜率为
且不过原点
的直线与该曲线相交，交椭圆
所得弦的中点为
，交椭圆
所得弦的中点为
，试问：
是否为与
无关的定值，若是请求出定值；若不为定值，请说明理由；
（3）若斜率为
的直线
为椭圆
的切线，且交椭圆
于点
两点，
为椭圆
上的任意一点（点
与点
不重合），求
面积的最大值（用字母
表示）.
21.（本小题满分12分）
已知函数
，
，（
为自然对数的底数）.
（1）若曲线
与
在坐标原点处的切线相同，问：
（ⅰ）求
的最小值；
（ⅱ）若
时，
恒成立，试求实数
的取值范围；
（2）若
有两个不同的零点
，对任意
，
，证明：
（
为
的导函数）.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图所示，锐角三角形
的内心为
，过点
作直线
的垂线，垂足为
，点
为圆
与边
的切点.
（1）求证：
四点共圆；
（2）若
，求
的度数.
23.（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
已知圆
（
为参数）和直线
（其中
为参数，
为直线
的倾斜角）.
（1）当
时，求圆上的点到直线
的距离的最小值；
（2）当直线
与圆
有公共点时，求
的取值范围.
24.（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知
，
.
（1）求
的最小值；
（2）若
的最小值为2，求
的最小值.
华中师大一附中
2018届高三五月适应性考试试题
（一）参考答案
理科数学
一.选择题
（A卷）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
B
C
A
C
B
A
B
C
B
D
（B卷）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
C
C
A
D
B
A
B
C
B
D
二.填空题
13.
14.
15.
16.1或2或4
三.解答题
（17）【解析】（Ⅰ）设
，由条件可知
在
中，由余弦定理，可得
故
两地的距离为420米．………………6分
（Ⅱ）在
中，
米，
由正弦定理，可得
，即
所以
（米），故这种仪器的垂直弹射高度为
米．…12分
（18）【解析】以
为正交基底建立空间直角坐标系
，
则各点的坐标为
，
，
，
．
（Ⅰ）因为
平面
，所以
是平面
的一个法向量，
．因为
，
．
设平面
的法向量为
，则
，
，
即
令
，解得
所以
是平面
的一个法向量．从而
所以二面角
的余弦值为
…………………………………6分
（Ⅱ）因为
，设
，
又
，则
，又
，
从而
设
则
当且仅当
，即
时，
的最大值为
.
因为
在
上是减函数，此时直线
与
所成角取得最小值．
又因为
，所以
…………12分
（19）【解析】（Ⅰ）由直方图可知，第一组有3人，第二组有7人，第三组有27人，
因为后四组的频数成等差数列，所以后四组的频数依次为27,24,21,18，所以视力
在
以下的频率为
，故全年级视力在
以下的人数约为
．
…………3分
（Ⅱ）
，
因此在犯错误的概率不超过
的前提下认为视力与学习成绩有关系．……6分
（Ⅲ）依题意9人中年级名次在
名和
名分别有3人和6人，
可取0、1、2、3
，
，
，
的分布列为
0
1
2
3
的数学期望
.……12分
（20）【解析】（Ⅰ）由题意知，
，
，∴
∴
:
，
:
…………2分
（Ⅱ）为定值
，理由如下：
设斜率为
的直线交椭圆
于点
，线段
中点
，
由
得
，
∵
存在且
，∴
，且
，∴
同理，
；故有
；…………7分
（Ⅲ）设直线
的方程为
，
联立方程得
，化简得
由
化简得
，
不妨设
，
联立方程得
，化简得
，
由
化简得
可取
从而两平行线间距离
，又
；
∴
的面积最大值为
…………12分
（21）【解析】（Ⅰ）（ⅰ）因为
，
，
依题意，
，且
，解得
，
所以
，当
时，
；当
时，
．
故
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
当
时，
取得最小值0．………………………………2分
（ⅱ）由（ⅰ）知，
，即
，从而
即
．
设
则
，
（1）当
时，因为
，
（当且仅当
时等号成立），
此时
在
上单调递增，从而
，即
．
（2）当
时，由于
，所以
，
又由
（1）知
，所以
，故
，
即
．（此步也可以直接证
）
（3）当
时，令
，则
，
显然
在
上单调递增，又
，
所以
在
上存在唯一零点
，
当
时，
在
上单调递减，
从而
，即
所以
在
上单调递减，
从而当
时，
，即
，不合题意．
综上，实数
的取值范围为
．………………………………7分
（Ⅱ）依题意，不妨设
，有
，
，两式相减得：
，整理得
，
则
，于是
，
令
，则设
，
则
，
∴
在
上单调递增，则
，于是有
，
即
，
………………………………12分
注：
其他解法酌情给分.
（22）【解析】（Ⅰ）证明：
由圆
与
相切于点
得
，
结合
，得
，所以
，
，
，
四点共圆.…………4分
（Ⅱ）解：
由（Ⅰ）知
，
，
，
四点共圆，所以
，由题意知
结合
，得
所以
，由
，
.…………10分
（23）【解析】（Ⅰ）当
时，直线
的直角坐标方程为
，圆
的圆心坐标为（1，0），圆心到直线的距离
，圆
的半径为1，故圆上的点到直线
的距离的最
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