定积分换元法与分部积分法习题doc.docx
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定积分换元法与分部积分法习题doc
1．计算下列定积分：
⑴sin（x
）dx；
3
3
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
sin（x
）dx
sin（x
）d（x
）
cos（x
）
3
3
3
3
3
3
3
[cos（
）
cos（
）]
[
cos（
cos
）]0。
3
3
3
3
3
【解法二】应用定积分换元法
令x
3
u，则dx
du，当x从
单调变化到
时，u从2
单调变化到
4，
3
3
3
4
4
4
2
sin（x
）dx
3
sinudu
cosu23
于是有
2
[cos
cos
]
3
3
3
3
3
3
[
cos
（cos）]
0。
3
3
⑵
1
dx
；
2（11
5x）3
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
1
dx
1
1
（11
5x）
3
d（11
5x）
1
1
5x）
21
2（11
5x）3
5
5
（11
2
2
2
1[
1
2
（11
1
2）
2]
1（12
1）
51
。
10
（11
5
1）
5
10
16
512
【解法二】应用定积分换元法
令11
5xu，则dx
1du，当x从
2单调变化到
1时，u从1
单调变化到
5
16，于是有
1
dx
1
16
u
3
du
1
1
2
16
1
1
1）
51
2（11
5x）3
5
5
u
1
（
。
1
2
10162
512
⑶2sincos3d；
0
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
2
sin
3
d
2
3
1
4
2
1
[cos
4
4
0]
0
cos
0
cosdcos
cos
0
cos
4
4
2
1[0
1]
1
。
4
4
【解法二】应用定积分换元法
令cos
u，则
sind
du，当
从0单调变化到
时，u从1单调变化
2
到0，于是有
2sin
cos3
d
0
u3du
1
u3du
1u4
01
1
1
0
。
0
4
4
⑷
（1sin3
）d
；
0
【解】被积式为
（1
sin3
）d
，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。
由于
1是
独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对
sin3d
的积分，这是正、余弦的奇数
次幂的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分：
sinddcos，余下的sin21cos2，这样得到的（1cos2）dcos便为变
量代换做好了准备。
具体的变换方式有如下两种：
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
（1
sin3）d
1d
sin2
sin
d
0
（1
cos2
）dcos
0
0
0
0
（cos
1
cos3
）0
3
1
（cos
cos0）
（cos3
cos30）
1（1
3
4。
（
1
1）
1）
3
3
【解法二】应用定积分换元法
令cos
u，则
sin
d
du，当
从0单调变化到
时，u从1单调变化
到
1，于是有
（1
sin3）d
1d
sin2
sin
d
0
（1
cos2
）dcos
0
0
0
0
1
1u3）11
（1u2）du
（u
1
3
14
（11）（11）。
33
⑸2cos2udu；
6
【解】这是正、余弦的偶次幂，其一般积分方法为，利用三角函数的半角公式：
cos2u
1cosu
，将平方部份降次成为一次的余弦三角函数：
cos2u
1cos2u，使之
2
2
2
可以换元成为基本可积形式：
【解法一】应用牛顿
-莱布尼兹公式
2cos2udu
21
cos2udu
1
（
2du
1
2cos2ud2u）
6
6
2
2
6
2
6
1（u2
26
1（
23
【解法二】应用定积分换元法
1sin2u
2）
1[（
）
1（sin
sin）]
2
6
2
2
6
2
3
3）。
4
令2ux，则du1dx，当u从单调变化到时，x从单调变化到，
2623
于是有
2cos2udu
21
cos2udu
1（
2du
1
2cos2ud2u）
6
6
2
2
6
2
6
1（u
2
2
6
1
cosxdx）
1[（
2
6
）
1sinx
]
2
3
2
2
3
1[
3
1（sin
sin）]
1（
3
3）。
2
2
3
2
4
2
2dx；
⑹
2x
0
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法
中的三角变换法：
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令x2sinu，当x从0单调
变化到
2时，u从0
单调变化到
，且
2
x2
22sin2u2cosu，
2
dx2cosudu，使得
2
2
2
21
cos2u
2xdx
2cosu2cosudu
2
du
0
0
0
2
2du
2cos2udu
u02
1
2cos2ud2u
0
0
2
0
u02
1
02
sin2u
2
1
1x2
dx；
⑺1
x2
2
1
（sin0）。
222
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法
中的三角变换法：
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令
x
sinu，当x从
1单调
2
变化到
1时，u从
单调变化到
，且
1
x2
1sin2
u
cosu
cosudu，
4
x2
sin2u
，dx
2
sin2u
使得
1
1x
2
dx
2
cosu
cosudu
2cot2udu
2（csc2u1）du
1
2
x2
4
sin2u
4
4
（
cotuu）2
[（cot
cot
）（
4
）]1。
4
2
4
2
4
a
2
a2
x2dx（a
0）；
⑻0x
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是
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