知识点集合大小定义的标准.docx

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知识点集合大小定义的标准

知识点：

集合大小定义的标准

　　作为集合大小的定义，应该满足什么样的根本要求?

我们当然要尽可能地使它符合一般的关于大小的常识和直觉，其中有许多是要比整体大于部分更加要紧的。

首先，一个集合的大小只应该取决于这个集合本身。

我们知道一个集合可以用多种方法来构造和表示，比方说，

A={小于等于2的正整数｝

B={1,2｝

C={x2-3x+2=0的根｝

其实都是同一个集合，

D={n|n为自然数，且方程xn+yn=zn有xyz0的整数解｝

又怎么样呢?

2019年英国数学家怀尔斯证明了费尔马大定理，所以集合D和上面的集合A、B、C是同一个集合，它里面有两个元素1和2。

我们记得，一个集合由它所含的元素唯一决定，所以它的大小也不能取决于它被表示的方法，或者被构造的途径，它只应该取决于它本身。

一个集合得和自己一样大，这个没有什么好说的;其次，假如集合A不小于〔也就是说或者大于，或者一样大〕集合B，而集合B也不小于集合A，那么它们就必须是一样大的;第三，假如集合A不小于集合B，而集合B又不小于集合C，那么集合A就必须不小于集合C。

在数学上，我们称满足这三个条件的关系为偏序关系〔注：

严格地说，这个偏序关系并不定义在集合之间，而是定义在集合按一样大这个等价关系定义出的等价类之间，关于偏序关系的严格定义的表达和上面所说的也有区别，但这些问题在这里并不要紧，你假如看不懂这个注在讲什么也不要紧〕。

假如一个关于集合大小的定义违背了上面所说的三条之一，这个定义的怪异程度一定会超过上面使用一一对应原那么的定义!

举个例子，比方说我对某位科幻小说作家的喜欢程度就是一个偏序关系。

假如我喜欢阿西莫夫胜于喜欢凡尔纳，而喜欢凡尔纳又胜于喜欢克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我一定更喜欢阿西莫夫。

不过一个偏序关系并不要求任意两个对象都能互相比较。

比方说刘慈欣的程度当然不能和克拉克这样的世界级科幻大师比，但是喜欢是一种很个人的事情，作为一个中国人，我对中国的科幻创作更感兴趣所以似乎不能说我更喜欢克拉克，但也不能说我更喜欢刘慈欣，而且也不能说同样喜欢，因为喜欢的地方不一样所以更确切地也许应该说，他们俩之间不能比较。

但偏序关系中存在这样的可能性，有一个对象可以和两个不能互相比较的对象中的每一个相比较，比方说我喜欢阿西莫夫胜过刘慈欣和克拉克中的任一个。

不过作为集合大小的定义，我们希望可以比较任意两个集合的大小。

所以，对于任何给定的两个集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一样大，这三种情况必须有一种正确而且只能有一种正确。

这样的偏序关系被称为全序关系。

最后，新的定义必须保持原来有限集合间的大小关系。

有限集合间的大小关系是很清楚的，所谓的大，也就是集合中的元素更多，有五个元素的集合要比有四个元素的集合大，在新的扩大了的集合定义中也必须如此。

这个要求是理所当然的，否那么我们没有理由将新的定义作为老定义的扩大。

整体大于部分原那么的困难和一一对应原那么的优点

满足上面几条要求的定义，最简单的就是认为无限就只有一种，所有的无限集合都一样大，而它们都大于有限集合。

这其实是康托尔创立集合论以前数学家的看法，所以康托尔把无限分成许多类的革命性做法使得数学家们大吃了一惊。

但是这样的定义未免太粗糙了一点，只不过是把无限集合比有限集合大换了种方法说罢了，我们看不出这有什么用处。

没有用的定义不要也罢再说在这种定义中，自然数和正偶数也一样多，因为所对应的集合都是无限集合。

假如我们在上面几条要求中，再加上整体大于部分这条要求会怎么样呢?

我们想像平面上有条射线，射线的一端是原点，然后在上面我们每隔一厘米画一个点，并在每个点旁边标上1、2、3等，这样就有无穷个点。

那么这个点集和自然数集合比较大小的结果应该如何?

按照我们前面的要求，任何两个集合都应该可以比较大小的。

我们很容易想像到，这其实是一条数轴的正半轴，上面的点就是代表自然数的那些点，所以这些点的个数应该和自然数的个数一样。

而且，按照整体大于部分的规定，那些标有10、20、30的点的集合比所有点的集合要小。

但是一厘米实在是非常人为的规定，假如我们一开场就每隔一分米画一个点，顺着上面的思路，这些点的个数也该和自然数一样多，但是这恰好是按一厘米间隔画点时标有10、20、30的点啊!

那些点始终是一样的，所以它们的个数不应该取决于在它们的旁边标记的是1、2、3还是10、20、30。

再举一个例子。

假设我给你一个大口袋，里面有无限多个小口袋，上面按照自然数标了号1、2、3。

在1号口袋中有1粒豆子，2号口袋中有2粒豆子，依次类推。

如今我当着你的面拿掉1号小口袋，那么剩下的小口袋数和原来的相比方何?

假如按照整体大于部分的观点，应该是少了，少一条。

但是假如我当初就背着你拿掉1号口袋，然后从其他每个小口袋中取出一粒豆子，再把小口袋上的号码改掉，2改成1，3改成2，然后再把大口袋给你，你显然不会知道我做了手脚，因为这时大口袋里的东西和原来没有任何区别，所以小口袋的数量和原来一样多。

这就和少一条矛盾了，从小口袋里拿一粒豆子或者是涂改上面的标号不应该改变口袋的数量。

大家明白我是打了一个比方，大口袋就是一个集合。

按照上面的要求，集合的大小只应该取决于集合本身，而不应该取决于集合的表示方法或构造方法，也就是得到集合的过程。

你拿到了大口袋，也就是就应该知道里面小口袋的数量，而不用知道我是否做过手脚。

这样的例子可以举很多。

我们发现，假如坚持整体大于部分的话，固然可以使得某些集合和自己的子集相比较时，比方比较自然数和正偶数的个数时，符合直观和常识。

但是更多的非常直观的东西和常识却都会变成错误的。

比方说，x'=x+1这样一个数轴上的坐标平移，会将坐标上的点集{1,2,3｝变为{2,3,4｝，一个坐标平移居然可以变动点集中元素的个数!

元素可以一一对应的两个集合大小一样这条原理的失效，会使得我们在比较两个元素很不一样的集合时无所适从：

怎样不使用一一对应的方法来比较自然数和数轴上〔0,1〕区间中点的个数?

在上面的两个例子中我们会有这样的感觉，对于无限集合来说，从部分中似乎可以产生出整体来。

比方射线上的每隔一厘米画一个点的例子，假如我们把不是10的倍数的点去掉，然后将平面收缩到原来尺度的非常之一，我们就重新得到了原来的那个点集。

在装豆子的口袋的例子中，只要从去掉1号口袋后剩下的那些袋子中拿去一粒豆子，我们就又得到了原来的那个大口袋。

这暗示了无限集合的一个重要特点：

从某种意义上来说，它和自己的一部分相似。

事实上，无限集合的一个定义就是能和自己的一部分一一对应的集合。

所以在无限集合大小的比较中，违背了整体大于部分的原那么并不奇怪，因为这恰好就是无限集合的特征。

假如使用一一对应的比较方法，我们发现它满足所有第二节中提出的关于集合大小定义的要求。

而且除了整体大于部分这个我们已经解释过的不适用的原那么外，不违背其他的直觉和常识。

事实上用一一对应的方法来比较两个集合的大小，也是非常符合直观的。

假如有两盒火柴，我们想比较哪盒中的火柴数量更多，我们大可不必去数出每盒中火柴的数量，那样很容易出错。

其实只要从不断地从两盒火柴中拿掉一样数量的火柴，最后假如同时两盒都不剩下火柴，那么就说明数量一样多，否那么就是还剩有火柴的那盒比较多。

而更重要的是，这样的定义非常有用。

康托尔在提出他关于集合的基数理论后，非常简洁地证明了几乎所有实数都是超越数，而那个时候数学家连一个超越数的实例都还没有找到!

引起第三次数学革命的罗素悖论也是从基数理论中产生出来的。

虽然集合的基数理论如今已经为一般的数学系学生和许多数学爱好者所熟悉，数学家们还是能从中找到非常有趣和深奥的课题，比方说超大集合理论，这是关于一些基数大得匪夷所思的集合的理论。

我们知道对于任何一个集合A，它的幂集P〔A〕〔也就是它所有子集构成的集合〕一定比它本身大，所以我们可以构造一系列的集合A，P〔A〕，P〔P〔A〕〕一个比一个大，所以没有最大的集合。

而超大集合理论声称，存在一个集合B，比前面这一系列集合中的每个都要大!

所以说，使用一一对应原那么来定义集合大小，是数学家迫不得已和最正确的选择。

直觉的合理性和数学构造

在文章的最前面我们提到过，从直觉上说来，自然数的个数应该是正偶数的两倍，这里难道没有一点合理的因素在内吗?

有时我们会听到数学家说：

几乎所有的自然数都不是素数。

假如按照一一对应的原那么，素数和自然数是一样多的〔第一个素数2对应1，第二个素数3对应2，第三个素数5对应3，第n个素数对应n，〕，这不矛盾吗?

数学并不依赖于直觉，但是尊重直觉，直觉中常常包含着合理的因素。

受过数学训练的人对数学的直觉一般来说要比其别人更有合理性，数学大师可以用直觉把握住很深化的数学理论，他们有时会说：

虽然我还没有一个严格证明，但是我知道它是对的。

数学大师的直觉当然不是每个人能模拟的，但是我们确实可以改变对一些数学物体的想像方法，来改善自己的直觉，使得它更有合理性。

当我们谈到集合的大小，这里所议论的集合应该是没有附加的数学构造的。

当所比较的集合都是自然数的子集时，直觉往往会偷偷地把自然数的数学构造加在上面。

什么是数学构造?

让我们先从最一般的集合说起。

当我们议论集合时，我们只应该把它看做一个装着元素的大袋子，里面的元素之间没有任何联络，比方说自然数集合，我们应该想像那是一个装了标了号的球〔或者其他什么〕的大袋子，球和球之间并没有什么联络，10并不一定非得在100的前面出现，假如你把口袋使劲抖抖，里面的球有些翻上来有些被压到底下去，但这并不改变这个集合这仍然是自然数集合。

所谓的构造，就是在元素间增加联络，使得它们不能随意乱动。

建筑工地上搭的脚手架就是一种构造，上面的钢管啊铁丝啊木板啊都不是随随意便堆在一起的，而是按照一定的方式联络在一起。

修建完了一幢大楼后，工人们会把它们都拆下来再拿到另一个工地上去安装使用，虽然构成脚手架的元素钢管铁丝木板还是原来的那些，但是脚手架却完全是另一个了，变化了的其实是构造。

数学构造也一样。

比方说上面我们讲的序关系，就是元素之间的一种联络。

我们可以很方便地验证自然数的大小满足我们前面所说的偏序关系的三个条件，而且每两个自然数之间都可以比较大小，所以在自然数集合上有一个全序关系，这个关系就给了自然数集合一个构造，就叫序构造。

你可以把拥有全序构造的自然数集合仍旧想像成上面那个装了球的袋子，只是这时候那些球已经被从小到大串成了一串，不能随意乱跑了。

平时我们想像自然数集合，可能会把它想成数轴上离原点越来越远的一串点，或者1、2、3、这样从小到大的一列数，不知不觉地，我们已经把序结设想像进去了。

当我们感到正偶数的个数应该是自然数个数的一半，因为每隔一个数就有一个是偶数，我们是在想像那条串成一串的球，偶数球得老老实实地和奇数球一个隔一个地串在一起，而不是杂乱无章放在袋里，后面这种情况是谈不上每隔一个的。

在考虑到自然数的序构造后，我们就可以给自然数的个数是正偶数的个数的两倍这种直觉一个合理的解释了。

考虑小于100的正偶数，一共有49个，所以占小于100的自然数的49/99，接近1/2;假如把小于100改成小于1000，那么结果是499/999，更接近1/2了;把上面的100和1000换成越来越大的数字，我们会发现正偶数所占的比例会越来越接近1/2。

这就提示我们可以采用这样一种关于自然数的子集的大小的定义：

假如A是自然数的一个子集，令p〔n〕为A中小于n的元素的个数，我们称limnp〔n〕/n〔就是当n趋向无穷大时，p〔n〕/n的极限〕为A相对于自然数集合的大小。

在这个定义下，正偶数集合相对于自然数集合的大小就是1/2。

按照这样的定义，素数集合相对于自然数集合的大小是0，这也就是所谓的几乎所有的自然数都不是素数。

用上面这个方法还可以比较两个自然数集合的子集的相对大小，详细方法就由读者自己来考虑了。

假如没有自然数序构造这个背景，我们就只可以使用一一对应的方法来讨论集合的基数，那种自然数的个数是正偶数的个数的两倍的直觉只是一种错觉。

比方说考虑下