matlab周期方波信号.docx
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matlab周期方波信号
matlab周期方波信号
（一）周期离散方波信号频域分析
与周期模拟信号一样，周期离散信号同样可以展开成傅里叶级数形式，并得到离散傅里叶级数（DFS）
上式可以看成周期离散信号x（n）的离散傅里叶级数展开。
上式是DFS的反变换，记作IDFS并且称
与
构成一对离散傅里叶级数变换对。
（以上两式中
）
在MTALAB中，DFS通过建立周期延拓函数语句实现：
functionXk=DFS（n,x,N）
ifN>length（x）
n=0:
N-1;
x=[xzeros（1,N-length（x））];
end
k=0:
N-1;
WN=exp（-j*2*pi/N）;
nk=n'*k;
WNnk=WN.^nk;
Xk=x*WNnk;
end
建立一个离散非周期方波信号
通过周期延拓后所得的周期序列利用DFS计算实现代码如下：
clearall;closeall;clc;
n=0:
3;
x=ones（1,4）;
X=fft（x,1024）;
Xk1=DFS（n,x,4）;
Xk2=DFS（n,x,8）;
figure
（1）;
plot（（-1023:
2048）/2048*8,[abs（X）abs（X）abs（X）],'--'）;holdon;
stem（-4:
7,[abs（Xk1）abs（Xk1）abs（Xk1）],'LineWidth',2）;grid;
figure
（2）;
plot（（-1023:
2048）/2048*16,[abs（X）abs（X）abs（X）],'--'）;holdon;
stem（-8:
15,[abs（Xk2）abs（Xk2）abs（Xk2）],'LineWidth',2）;grid;
set（gcf,'color','w'）;
运行后得到的是分别以4和8为周期延拓后的
频谱：
即第一幅图表示的是周期序列
的频谱，
第二幅图表示的是周期序列
的频谱。
两图中的包络线表示的是通过快速傅里叶变换（FFT）所得到的频谱线。
（二）非周期离散方波信号频域分析
对于非周期离散方波信号，可采用离散时间傅里叶变换DTFT进行分析。
上式为离散时间信号x（n）的离散时间傅里叶变换（DTFT）。
上式为
的离散时间傅里叶反变换（IDTFT）。
由于：
所以序列x（n）绝对可和，意味着DTFT存在，而非稳定序列（比如周期序列）不满足绝对可和条件，所以其DTFT不存在。
在MTALAB中，DTFT可以用以下语句实现：
w=-3*pi:
0.01:
3*pi;
K=length（w）;
X=x*exp（-j*n'*w*K）;
建立一个离散非周期方波信号
的离散傅里叶变换
利用DTFT计算实现代码如下：
clearall;closeall;clc;
n=0:
7;
x=ones（1,8）;
w=-3*pi:
0.01:
3*pi;
X=x*exp（-j*n'*w）;
figure
（1）;
plot（w/pi,abs（X））;grid;
figure
（2）;
plot（w/pi,angle（X））;grid;
set（gcf,'color','w'）;
运行后分别得到该离散非周期方波信号的幅频特性与相频特性：
幅频特性
相频特性
（三）两种变换DFS的DTFT的性质
DFS主要具有如下性质：
1.线性性质
2.周期卷积性质
3.复共轭
4.帕斯瓦尔定理
DTFT同连续时间信号傅里叶变换相似，具有如下性质：
1.线性性质
2.时域频域平移性质
3.时间翻转性质
4.共轭对称性质
5.时域频域卷积性质
6.调制性质
7.频域微分性质
8.帕斯瓦尔定理
从DTFT的推导过程，说明DTFT是DFS当
的极限情况。
共同点：
在时域都是离散的，在频域都是以
为周期，周而复始。
不同点：
离散时间周期信号频谱是离散的，具有谐波性，
是谐波复振幅，适用于计算机计算。
而离散时间非周期信号的频谱则是连续的，不具有谐波性，
表示的是谐波密度，是连续变量Ω的函数，所以不便于计算机进行分析计算。
（四）离散傅里叶变换（DFT）
由于DTFT不便于计算机进行计算，所以需要建立一种时域和频域都是离散的傅里叶变换对，这就是离散傅里叶变换（DFT）
上式为离散时间非周期信号的离散傅里叶变换（DFT）
上式为DFT的反变换，记作IDFT。
和
称为离散傅里叶变换（DFT）对。
在MTALAB中，DFT通过建立函数实现：
functionXk=DFT（n,x,N）
ifN>length（x）
n=0:
N-1;
x=[xzeros（1,N-length（x））];
end
k=0:
N-1;
WN=exp（-j*2*pi/N）;
nk=n'*k;
WNnk=WN.^nk;
Xk=x*WNnk;
End
建立一个离散非周期方波信号
的离散傅里叶变换
利用DFT计算实现代码如下：
clearall;closeall;clc;
n=0:
7;
x=ones（1,8）;
X=fft（x,1024）;
Xk2=DFT（n,x,16）;
figure
（1）;
plot（（-1023:
2048）/2048*32,[abs（X）abs（X）abs（X）],'--'）;holdon;
stem（-16:
31,[abs（Xk2）abs（Xk2）abs（Xk2）],'LineWidth',2）;grid;
figure
（2）;
plot（（-1023:
2048）/2048*32,[angle（X）angle（X）angle（X）],'--'）;holdon;
stem（-16:
31,[angle（Xk2）angle（Xk2）angle（Xk2）],'LineWidth',2）;grid;
set（gcf,'color','w'）;
运行后分别得到该离散非周期方波信号的幅频特性与相频特性：
幅频特性
相频特性
两图中的包络线表示的是通过快速傅里叶变换（FFT）所得到的频谱线。
离散傅里叶变换是傅里叶变换在时域、频域均离散化的形式，因而与其他傅里叶变换有着相似的性质。
但是它又是从傅里叶级数派生而来的，所以又具有一些与其他傅里叶变换不同的特性，最主要的是圆周位移性质和圆周卷积性质。
一、快速傅里叶变换（FFT）
快速傅里叶变换，简称FFT，是计算DFT的快速算法，习惯上是指以库利和图基算法为基础的一类高效算法。
根据快速傅里叶变换基本思路以及基2FFT算法，在MTALAB中，FFT通过建立函数实现：
functiony=fft（x）
m=nextpow2（x）;
N=2^m;
iflength（x）x=[x,zeros（1,N-length（x））];
end
nxd=bin2dec（fliplr（dec2bin（[1:
N]-1,m）））+1;
y=x（nxd）;
formm=1:
m
Nmr=2^mm;
u=1;
WN=exp（-i*2*pi/Nmr）;
forj=1:
Nmr/2
fork=j:
Nmr:
N
kp=k+Nmr/2;
t=y（kp）*u;
y（kp）=y（k）-t;
y（k）=y（k）+t;
end
u=u*WN;
end
end
建立一个离散非周期方波信号
的快速傅里叶变换利用FFT计算实现代码如下：
clearall;closeall;clc;
x=ones（1,8）;
fx=fft（x,512）;
z=abs（fx）;
k=0:
length（z）-1;
plot（k,z）;
运行后得到该离散非周期方波信号的幅频特性：
分别利用FFT和DFT进行相同运算：
clearall;closeall;clc;
K=input（'K='）;
N=2^K;
n=0:
N-1;x=randn（1,2^K）;
tic,X=fft（x,N）,toc
tic,X=DFT（n,x,N）,toc
运行结果如下：
Columns1through4069
Elapsedtimeis0.218536seconds.
Columns1through4069
Elapsedtimeis16.726921seconds.
由此可见，采用DFT计算时间为16.726921秒，而采用FFT计算只需要0.218536秒；说明，FFT在计算速度上，明显优于其他算法。
三、采样定理
（一）时域采样定理
为了验证时域采样定理，可以把原始采样序列每隔D-1点取一个值，形成一个新的序列。
在MATLAB中，通过以下程序实现：
clearall;closeall;clc;
x=ones（1,8）;
D=2;
xd=x（1:
D:
length（x））;
fx=fft（x,512）;
fxd=fft（xd,512）;
z=abs（fx）;
s=abs（fxd）;
k=0:
length（z）-1;
plot（k,s,k,z）;
D=2时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。
D=3时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。
D=4时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。
D=0.5时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。
由此可见，采样周期在D大于2的范围内，出现明显的混叠现象，有失真产生，而在小于1的范围内，采样过于密集，增加运算系统负担。
因此，可验证时域采样定理。
（二）频域采样定理
为了验证频域采样定理，可以把原始采样序列每隔D-1点取一个值，形成一个新的序列。
在MATLAB中，通过以下程序实现：
clearall;closeall;clc;
x=-10:
0.001:
10;
y=（sin（x））/x;
X=fft（y,20）;
D=7;
Xd=X（1:
D:
length（X））;
fxd=ifft（Xd,20）;
s=fxd;
k=0:
length（s）-1;
plot（k,s）;
D=7时根据频域样本集合恢复的原信号
D=3时根据频域样本集合恢复的原信号
D=10时根据频域样本集合恢复的原信号
由此可见，采样周期在D小于7的范围内，根据频域样本恢复的原信号与实际原信号有很大差别。
因此，可验证频域采样定理。
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