微积分在物理竞赛中的应用.docx

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微积分在物理竞赛中的应用

求解在立体斜面上滑动的物体的速度

一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数

恰好满足

，

为斜面的倾角。

今使物体获得一水平速度

而滑动，如图一，求：

物体在轨道上任意一点的速度V与

的关系，设

为速度与水平线的夹角。

解：

物体在某一位置所受的力有：

重力

，弹力

以及摩擦力

。

摩擦力

总是与运动速度V的方向相反，其数值

重力在斜面上的分力为

，如图二，将

分解为两个分力：

是

沿轨迹切线方向的分力，

；

是沿轨迹法向的分力，

，如图三。

根据牛顿运动定律，得运动方程为

（1）

（2）

由

（1），

而

得到

（3）

式中

是t的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在

与t中消去一个变量，才能积分，注意到

（4）

而

表示曲线在该点的曲率半径

，根据

（2）式，

（5）

由式（3）（4）（5），可得到

，

积分，得到

，

运用积分法求解链条的速度及其时间

一条匀质的金属链条，质量为m，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为

，另一边长度为

而且

，如图一。

试求：

链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。

解：

设金属链条的线密度为

当一边长度为

，另一边长度为

时受力如图二所示，则根据牛顿运动定律，得出运动方程

则

因为

，所以

令

可以求得链条滑离钉子时的速度大小

再由

得到

积分，得到

令x=

可以求得链条滑离钉子所需的时间为

求解棒下落过程中的最大速度

在密度为

的液体上方有一悬挂的长为L,密度为

的均匀直棒，棒的下端刚与液面接触。

今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，若

，求：

棒下落过程中的最大速度。

解：

剪断细绳后，直棒在下沉过程中受到重力

和浮力

的作用，如图一所示。

根据牛顿运动定律，有

（1）

随着棒往下沉，浮力逐渐增大。

当直棒所受合力为零，即

时，棒的加速度为零，速度最大。

设棒达到最大速度时，棒浸入液体中的长度为

，设棒的截面积为S，则有

解得，

（2）

取x坐标如图所示，则

（1）式可以写为

做变量代换，令

代入上式，得到

两边积分，得到

得到，

将

（2）式代入（3）式，得棒的最大速度为

运用微分法求解阻尼平抛

质量为m的物体，以初速为

，方向与地面成

角抛出。

如果空气的阻力不能忽略，并设阻力与速度成正比，即

，k为大于零的常数。

求：

物体的运动轨道。

解：

根据受力情况，列出牛顿运动定律方程

其分量式，

（1）

（2）

将

代入式

（1），得

改写成

两边积分，得到

可见由于空气阻力的存在，x方向的速度不再是常数，而随时间逐渐衰减。

由于

再积分，并以t=0时x=0,代入得到

（3）

同理，由于

式

（2）转化为

积分，并以t=0时，

代入，得到

可见，y方向的速度也不再是匀减速的。

再将上式对时间积分，并以t=0时y=0代入，得到

（4）

由（3）（4）两式消去t,得到有阻力时的轨道方程

显然由于空气阻力的作用，抛体的轨道不再是简单的抛物线了，实际轨道将比理想轨道向左下方偏离，如图一。

例如：

以初速620m/s,仰角

发射的步枪子弹的射程，没有空气阻力时应为40km,而实际射程只有4km.

求解飞机的滑行距离

飞机以

的水平速度触地滑行着陆。

滑行期间受到空气的阻力为

，升力为

，其中V是飞机的滑行速度。

设飞机与跑道间的摩擦系数为

，试求：

飞机从触地到停止所滑行的距离。

解：

取飞机触地点为坐标原点，取飞机滑行方向为x轴。

飞机在水平方向上受力为：

摩擦力

，空气阻力为

；在竖直方向上受力为：

重力、支持力和升力

如图一所示，应用牛顿第二定律，得到

由上两式消去N，得到

利用

得到

分离变量，积分

，

得到

在飞机触地的瞬间，

支持力N=0,由运动方程，得到

于是

这就是飞机从触地到停止所滑行的距离。

社

（升阻比），

。

代入数值计算后，得到

x=221m.

求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题

两小球的质量均为m，小球1从离地面高度为h处由静止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初速

同时竖直上抛。

设空气阻力与小球的运动速率成正比，比例系数为k（常量）。

试求：

两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。

解：

两小球均受重力和阻力作用，取坐标如图一所示，两小球的运动方程可统一表示为

它们运动状态的差别仅由于初始条件的不同而引起的，故

分离变量

对于小球1，初始条件为

时，

故

（1）

对于小球2，初始条件是t=0时，

故

得到

（2）

由

（1）式，得到

积分，得到

由式

（2）得到

积分，得到

两小球相遇时，

相遇时间为

，由（3（4）两式，得到

，

故

把上述结果代入（3）或者（4），得到两小球相遇的地点

代入

（1）

（2），得到两小球相遇时的速度

讨论：

（1）当阻力很小时，即当

时，利用展开式

上述结果简化为

这正是不考虑空气阻力时的结果。

（2）当考虑如提设的空气阻力时，由上述结果可知，只在下述条件下

或者

两小球才有可能相遇。

在非惯性系中求解球环系统的运动情况

一轻绳的两端分别连接小球A和小环B，球与环的质量相等，小环B可在拉紧的钢丝上作无摩擦的滑动，如图一。

现使小球在图示的平面内摆动。

求：

小球摆离铅垂线的最大角度

时小环和小球的加速度。

解：

当小球摆动时，小环沿钢丝做加速运动。

以小环B为参考系，则小球受重力和绳子拉力外，还受惯性力

的作用，如图二。

其加速度

沿圆弧的切线方向。

在最大摆角为

时的运动方程为

小环B在水平方向的运动方程为

.

解方程，得到

。

小球A相对地的加速度

，取如图二所示的坐标系，则有

旋转液体的液面

以等角速度ω旋转的液体，液面的形状如何求得？

解答：

假设它的剖面是一条曲线，Y轴是转轴，旋转面以Y轴为对称轴，此时在液面会得到一正压力R，R可以同时提供向心力

，

，和重力

因此

其中

、

都是常数，因此该剖面的曲线是拋物线，液面形状是该拋物线绕Y轴的旋转面。

直接求sin（x）的导函数

从几何上如何找到sin（x）的微分呢？

解答：

直接求

把θ变动△θ，sinθ从

变到

，我们要了解

与△θ之比，△θ是一小段弦长，是斜线区域这个近似直角三角形的斜边，此

与△θ之比之比可以想成是cosθ

四只苍蝇飞行问题

有四只苍蝇A,B,C,D分别位于平面上的﹙1,1﹚，﹙-1,1﹚，﹙-1,-1﹚，﹙1,-1﹚，之后它们一起以每秒1单位的速度行动，行动的方式为：

A苍蝇一直向着B苍蝇靠近，

B苍蝇一直向着C苍蝇靠近，

C苍蝇一直向着D苍蝇靠近，

D苍蝇一直向着A苍蝇靠近，试问：

﹙1﹚四只苍蝇会在何处相遇？

﹙2﹚它们多久会相遇？

﹙3﹚找出A苍蝇的行动轨迹，并大致画出。

﹙4﹚计算A苍蝇从开始到相遇的路径长。

﹙5﹚苍蝇A会有什么样的生理反应？

解答：

﹙1﹚、﹙2﹚：

从物理相对运动的点来看A的行进方向始终和B的行进方向保持垂直，你可以想象苍蝇移动了瞬间之后，方向就立即修正﹙参照图一、二、三﹚，由于四只苍蝇是做等速运动，所以每一时刻以四只苍蝇围出来的四边形会是正方形，﹙行进方向垂直加上等速﹚于是当时间愈久的时候，苍蝇愈来愈靠近，正方形愈来愈小，最后会内缩成一点，这一点会是原点，这就是他们相遇的地方。

此外，A靠近B是垂直方向靠近，所以从B苍蝇看来，A还是以1单位/秒的等速向B靠近，原来A、B的距离是2单位，因此需要

秒的时间四只苍蝇会相遇﹙

，

，

的推论都一样，∴四只会一起相遇﹚

图一图二

图三

﹙3﹚：

我们将苍蝇A的坐标位置用极坐标的方式表达，

，而B的位置就是

要注意的是：

和

都是

的函数

而A的速度是

此向量要与

平行，于是﹙如果

﹚

，初始值

，

，

。

（

）其轨迹如下图所示

事实上我们必须注意到，在

的情形下会有

的推论，我们不妨用积分式算出

时刻走了多少路：

﹙等式右边是速度乘上时间﹚

，在

的时候，

，"

"。

所以其实苍蝇A的轨迹应为

上述讨论要表达的是说，加上

这一点是需要的，并且加上那一点后，轨迹还是连续的﹙可以想一下如何定义在端点的连续性﹚

﹙4﹚：

由﹙3﹚

﹙5﹚：

由﹙3﹚得知在

到2的时候，

，换言之，在之前已转了无限多圈，于是苍蝇会“头昏”。

雪球融化

假设雪球融化的速率与表面积成正比，若有一个半径为10公分的雪球，在气温气压皆固定的情况之下，在5分钟后融化为一个半径5公分的雪球，请问雪球完全融化需要多少时间？

解答：

假设此雪球在时间

分钟时的半径为

公分，由题意可知

，

，又雪球融化的速率与表面积成正比，雪球融化的速率即雪球体积的变化率，雪球的体积为

，表面积为

，所以有

为一比例常数，由于体积随时间经过而减少，可知

为常数，由

，

，可解出

，由此可看出雪球的半径随时间经过等速率减少，雪球完全融化时

，

所以雪球在10分钟后完全融化。

雨中行车

若你驾驶一辆风玻璃与地面垂直的吉普车欲从甲地到乙地，此时天正下着雨，假设所有雨滴皆以速度u垂直落下，且均匀的分布在空气中，请问你是该开的快一点或是慢一点，才能使落在挡风玻璃的雨水总量最少？

解答：

图一

假设每立方公尺中有α克的雨水，若车子以速度v前进，以车子为标准坐标来看，则雨水以水平速度v，垂直速度u朝车子而来,假设速度与水平夹角θ，则对单位面积的挡风玻璃来说，在

到

间，落在其上的雨水正好是

时，单位面积上高为

，倾斜角度θ的圆柱内的水﹙如图二﹚

图二

总共有

克，所以单位时间内单位面积所接收的雨水为

，若甲到乙地距离

，挡风玻璃总面积

，则从甲以等速v开车到乙挡风玻璃所接收的雨水共有

为一常数，与

无关。

若并非以等速行车，结果又会是如何呢？

假设v为t的函数，写成

，单位时间内单位面积接收的雨水为

，假设在

时间后从甲到达乙，则

。

则从甲到乙所接收的总雨量为

依然是一个常数，与v无关，也就是说不管怎么开，落在挡风玻璃上总雨量都是固定的。

工人拉船

码头上，有一个圆筒状铁柱，从船上抛出一根绳子，一端固定在船尾，另一端绕铁柱三圈后由一工人拉着，假设工人施力10公斤，绳子与铁柱的磨擦系数是1/3，请问船尾受力多大？

解答：

在绳子与铁柱有

的接触时，拉力

会提供

﹙接近

﹚的正压力给铁柱，所以有

，积分得

，其中

就是10公斤，

，而

，所以

。

录音带

如果你曾注意过收音机带动录音带的情形，相信你会发现在收听﹙或者快转﹚的时候，在左方的轮子会逆时针旋转，以带动磁带，而原本在右方的磁带地方就会被一直带动，最后会绕到左方的轮子上。

现在我们考虑二个问题：

两个轮子磁带半径的变化率之比为多少？

如果我知道录音带从一开始﹙左方的轮子没有磁带，所有磁带都在