直角三角形.docx

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直角三角形

直角三角形

知识导引

1、直角三角形的性质：

（1）直角三角形的两个锐角互余；

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°。

2、直角三角形的判定方法：

（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、注意直角三角形的性质和判定之间的互逆关系。

4、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是45°，且两条直角边相等，等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。

典例精析

例1：

已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=

BC，则△ABC底角的度数为（）

A、45°B、75°C、45°或75°D、60°

例2：

两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连结CD。

（1）请找出图②中的全等三角形并给予证明（说明：

结论中不得含有未标识的字母）；

（2）试说明：

CD⊥BE。

例3：

如图所示，四边形ABCD由一个∠ACB=30°的Rt△ABC与等腰Rt△ACD拼成，E为斜边AC的中点，则∠BDE=。

例3—1：

如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，试判断DE与CE是否相等并说明理由。

例4：

已知：

在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点F，试说明AE=AF。

例5：

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交其延长线于点E，求证：

CE=

BD

探究活动

例：

小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中∠ACB=

，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△DEF纸片的直角顶点D落在纸片△ABC的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上。

（1）若DE与BC相交于点G，取AG中点M，连接BM、DM，当△DEF纸片沿CA方向平移时（如图3），请你观察、测量BM、DM的长度，猜想并写出BM与DM的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）在

（1）条件下，求出∠BMD的大小（用含

式子表），并说明当

=45°时，△BMD是什么三角形；

（3）在图3的基础上，将△DEF绕点C逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时△CGD变成△CHD，同样取AH的中点M，连接BM、DM（如图4），请继续探究BM与DM的数量关系和∠BMD的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明

为何值时，△BMD为等边三角形．

学力训练

A组务实基础

1、下列命题：

①同旁内角互补，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角。

它们的逆命题是真命题的个数为（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）

A、

B、

C、

D、

3、如图，Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D。

E、F分别是CD，AD上的点，且CE=AF。

如果∠AED=62°，那么∠DBF=（）

A、62°B、38°C、28°D、26°

（第3题图）（第4题图）（第5题图）

4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AC、AB的中点，连结DE、CE，则下列结论中不一定正确的是（）

A、DE∥BCB、DE⊥ACC、∠ACE=∠BCED、AE=CE

5、如图，将一副三角板叠放在一起且直角的顶点重合于点O，则∠AOB＋∠DOC＝度

6、如图，Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，如果∠A=30°，BD=1cm，那么∠BCD=，BC=cm，AD=cm。

（第6题图）（第7题图）（第8题图）

7、如图所示，已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，垂足为点D，E为AC的中点，AD=DE=6cm，则∠ACD=，AC=cm，∠DAC=，△ADE是三角形。

8、如图所示，一根长a米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍的A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行，请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离（填“发生”或“不发生”）变化，理由是

9、如图，只剪两刀把一个直角三角形分割成三个直角三角形。

（至少给出三种剪法，用铅笔作出分割线，只要有一条分割线不同，就视作不同的剪法）

10、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数。

11、如图，在直角三角形ABC中，CM是斜边AB上的中线，MN⊥AB，∠ACB的平分线CN交MN于点N，求证：

CM=MN

12、

（1）等腰直角△ABC和等腰直角△CDE的位置如图1所示，连结BE，并延长交AD于点F，试问：

AD与BE之间有什么关系？

证明你的结论。

（2）若保持其他条件不变，等腰直角△CDE绕C点旋转，位置如图2所示，试问：

AD与BE之间的关系还存在吗？

若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。

B组瞄准中考

1、（枣庄中考）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于（）

A、315°B、270°C、180°D、135°

（第1题图）（第2题图）（第3题图）

2、（潍坊中考）如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于点E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（）

A、AB=BFB、AE=DEC、AD=CDD、∠ABE=∠DFE

3、（贵阳中考）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（）

A、3.5B、4.2C、5.8D、7

4、（贵阳中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于点F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）

A、3B、2C、

D、1

（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）

5、（威海中考）如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=90°，AB=AC，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）

A、25°B、65°C、70°D、75°

6、（日照中考）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形

；在等腰直角三角形

中，作内接正方形

，在等腰三角形

中，作内接正方形

；…；依次作下去，则第n个正方形

的边长是（）

A、

B、

C、

D、

7、（益阳中考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是地边上的高，E为AC中点，则DE＝

8、（内江中考）下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有个。

（第8题图）

9、（珠海中考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线。

（1）用尺规作图的方法，作∠ADC的平分线DN。

（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状（只写结果）

10、（朝阳中考）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AC上，点E在BC上，且CD=CE，连结DE。

（1）线段BE与AD的数量关系是，位置关系是；

（2）如图2，当△CDE绕点C顺时针旋转一定角度

后，

（1）中的结论是否仍然成立？

如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。

11、（杭州中考）已知：

△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，点M为CE的中点。

（1）如图1，当点D，E分别在AC，AB上时，求证：

△BMD为等腰直角三角形；

（2）如图2，将图中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时问题

（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？

请对你的结论加以证明。

12、（河北中考）如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC，△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP。

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ，你认为

（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

C组冲击金牌

1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是AD，BC的中点，若∠B与∠C互余，则MN与BC－AD的关系是（）

A、2MN＜BC－ADB、2MN＞BC－AD

C、2MN＝BC－ADD、MN＝2（BC－AD）

2、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE，连结DE，DF，EF，在此运动变化过程中，有下列五个结论：

①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8，其中正确的结论是

3、如图所示的△ABC是电子跳蚤游戏盘，AB=AC=BC=6，如果跳蚤开始时在BC边的

处，

，跳蚤第一步从

跳到AC边的

（第1次落点）处，且

；第二步从

跳到AB边的

（第2次落点）处，且

；第三步从

跳到BC边的

（第3次落点）处，且

；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为

（n为正整数），则点

与点

之间的距离为。

4、如图，在△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，且∠BAD=∠CAE=90°，AM为△ABC中BC边上的中线，连结DE，求证：

DE=2AM。

5、如图，△ABC为等腰直角三角形，BC是斜边，AD∥BC，BD交AC于点E，且BD=BC，求证：

CE=CD。

6、如图，在△ABC中，AB＞AC，BE，CF都是△ABC的高，P是BE上一点，且BP=AC，Q是CF延长线上一点且CQ=AB，连结AP，AQ，QP，试判断△APQ的形状。