完整word版苏教版五年级数学下册公因数公倍数讲义.docx

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完整word版苏教版五年级数学下册公因数公倍数讲义

公因数和公倍数

【知识要点】

1、一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。

一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

一个数倍数的个数是无限的。

一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，用符号[，]表示。

几个数的公倍数也是无限的。

3、两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数，用符号（，）。

两个数的公因数也是有限的。

4、两个素数的积一定是合数。

举例：

3×5=15，15是合数。

5、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。

举例：

[6，8]=24，（6，8）=2，24是2的倍数。

6、求最大公因数和最小公倍数的方法：

倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

举例：

15和5，[15，5]=15，（15，5）=5

素数关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。

举例：

[3，7]=21，（3，7）=1

一个素数和一个合数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。

[5，8]=40，（5，8）=1

相邻关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。

[9，8]=72，（9，8）=1

特殊关系的数（两个都是合数，一个是奇数，一个是偶数，但他们之间只有一个公因数1），

比如4和9、4和15、10和21，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。

一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。

【例题讲解】

例1、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？

能截多少正方形？

要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公约数。

 （36、60）＝12 

（60÷12）×（36÷12）＝15个   

例2、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。

如每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？

每个花束里至少要有几朵花？

要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的的个数一定是96和72的公约数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公约数。

1、 最多可以做多少个花束 （96、72）＝24 2、 每个花束里有几朵红玫瑰花 96÷24＝4朵 

3、 每个花束里有几朵白玫瑰花 72÷24＝3朵 4、 每个花束里最少有几朵花 4+3＝7朵 

例3、一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。

后来改为每隔6米栽一棵树。

求重新挖树坑时可以少挖几个？

解：

这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：

96÷4+1=25（个） 后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。

由于4和6的最小公倍数是12，所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。

96÷12+1=9（个） 

96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。

知识点：

公因数和最大公因数

练习：

1、写出下面每组数的最大公因数。

3和5（）4和8（）1和13（）13和26（）

4和9（）17和51（）21和36（）22和55（）

2、

÷

=5（

、

都是非零的自然数），

和

的最大公因数是（）。

3、

和

是相邻的两个非零的自然数，

和

的最大公因数是（）。

4、把一张长18cm，宽12cm的长方形纸，分成同样大小的正方形且没有剩余，每个小正方形边长最大是（）厘米，最少可分成（）个。

5、两根钢管，甲管长36分米，乙管长40分米，把它们截成同样长的小段而且没有剩余，每小段最长（）分米，最少可截成（）段。

知识点：

公倍数与最小公倍数

练习：

1、写出下面每组数的最小公倍数。

3和5（）4和8（）1和13（）13和26（）

4和9（）17和51（）21和36（）22和55（）、

2、

÷

=5（

、

都是非零的自然数），

和

的最小公倍数是（）。

3、

和

是相邻的两个非零的自然数，

和

的最小公倍数是（）。

4、一种长方形的地砖长8厘米，宽6厘米，用这种地砖铺成一块正方形，至少需要（）块地砖。

正方形的面积最少是（）平方厘米。

5、暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。

小林每6天去一次，小军每8天去一次。

7月31日两人同时参加游泳训练，（）月（）日他们又再次相遇。

6、暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。

小林每6天去一次，小军每8天去一次。

8月1日两人同时参加游泳训练，（）月（）日他们又再次相遇。

7、3和7是21的（）①因数②公因数③倍数

8、8是24和64的（）①因数②最大公因数③倍数

【综合练习】

一、填空（共20分）

1、最小的素数是（　　　　　），最小的合数是（　　　　　）。

2、18的因数有（　　　　　），24的因数有（　　　　　　），它们的公因数有（　　　　　）。

3、在1～20的自然数中，既不是素数又不是合数的数有（　　　　　　　），既是素数又是偶数的有（　　　　　　　　　　）。

4、自然数按因数个数的多少可以分成（　　　　）、（　　　　）和（　　　　　）。

5、1082至少加上（　　　）是3的倍数，至少减去（　　　）才是5的倍数。

6、一个数的最大因数是13，这个数的最小倍数是（　　　　　）。

7、两个自然数a、b的最大公因数是1，它们的最小公倍数是（　　　　　）。

8、如果A＝2×2×3，B＝2×3×3，那么它们的最大公因数是（　　　　　），最小公倍数是（　　　　　）。

9、一个数是3的倍数，又是5的倍数，还有因数7。

这个数最小是（　　　　　）。

10、一个数既是30的因数、又是45的因数，最大的是（　　　　　）。

11、用0、1、2三个数字排成的所有三位数中，同时是2、3、5的倍数的数有（　　　　　　　　　　　　　　　　）。

12、如果两个数的最大公因数是1，它们最小公倍数是91，那么这两个数的和最大是（　　　　　　　　）。

二、判断题（共5分）

1、两个连续自然数（0除外）它们的最大公因数是1。

　　　　　　　　　（）

2、在24的因数中，是素数的只有2和3。

　　　　　　　　　　　　　　（）

3、5和7没有公因数，但5和7有公倍数。

　　　　　　　　　　　　（）

4、所有的偶数都是合数。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（）

5、两个数的公倍数一定比这两个数都大。

　　　　　　　　　　　　　（）

三、选择题（共5分）

1、任何两个奇数的和是（　　　　）。

A　奇数B　合数　　　C　偶数

2、两个素数的积一定是（　　　　）。

A　素数B　合数　　　C奇数

3、任何两个自然数的（　）的个数是无限的。

A　公倍数　B　公因数　C　倍数

4、A是B倍数，那么它们的最小公倍数是（　　）。

A　AB　B　A　C　B

5、两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，这两个数一定不是（）。

A　15和90　B　45和90　C　45和30

四、写出每组数的最大公因数（共12分）

32和112和18　72和48

78和117　23和60　　　　12和60

五、写出每组数的最小公倍数（共12分）

　　　4和15　　　　　　　　　5和7　　　　　　　　　90和30

　　　9和15　　　　　　　　　13和39　　　　　　　6和13

六、列式计算（共8分）

1、一个自然数被3、5除都余1，这个数最小是多少？

2、五个连续奇数的和是425，最小的一个是多少？

七、解决问题（共38分，第8题3分，其余每题5分）

1、一枝钢笔的价钱是18.6元，比一枝圆珠笔贵10.9元，一枝圆珠笔多少元?

（列方程解答）

2、小明的妈妈比小明大26岁，爸爸今年38岁，比妈妈大4岁，小明今年多大了？

（列方程解答）

3、甲、乙两人到图书馆去借书，甲每4天去一次，乙每5天去一次，如果7月1日他们两人在图书馆相遇，那么他们下一次同时到图书馆是几月几日？

4、有两根小棒分别长20分米，28分米。

要把它们都截成同样长的小棒，不许剩余，每根小棒最长能有多少分米？

5、一个长方形的面积是24厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有多少种？

6、在一张长40厘米，宽32厘米的长方形红纸上裁出同样大小，面积最大的正方形，并且没有剩余。

一共可以裁出多少个这样的正方形？

7、五

（1）班学生人数不超过50人，在分小组做游戏时，可以分为每组6人或者每组8人，两种分法都刚好分完。

这个班的学生可能有多少人？

8、园林工人在一段公路的一边每隔4米栽一棵树，一共栽了17棵。

现在要改成每隔6米栽一棵树。

那么，不用移栽的树有多少棵？

【解决问题】

1、甲、乙两人到图书馆去借书,甲每4天去一次,乙每5天去一次,如果7月1日他们两人在图书馆相遇,那么他们下一次同时到图书馆是几月几日？

2、一块长方形纸片,长18厘米,宽12厘米,把它剪成同样大小的边长是整厘米数的正方形且没有剩余,最少可以剪多少个？

3、同学们做了24朵红花和56朵黄花,把这些花分成相同的若干束,最多可以分成几束？

每束里红花和黄花各有几朵？

4、五

（1）班学生做早操，每行12人或16人都正好站成整行，这个班不到50人，这个班究竟有多少人？

5、一块砖长42厘米，宽26厘米，用这样的砖铺成一块正方形地，至少要多少块？

6、有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给18人，结果都剩下3个，这筐苹果至少有多少个？

【拓展练习】

1、学校操场长96米，从一端起到另一端每隔4米插有一面小红旗。

现在要改成每隔6米插一面红旗。

问可以不必拔出来的小红旗有多少面？

2、某校同学们做操,把学生分为10人一组,14人一组,18人一组,都恰好分完,这个学校至少有多少个学生？

3、有一列数1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……,从第三个数开始,每个数是都前面两个数的和,前100个数中偶数有多少个？

4、1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。

当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三种路线同时发车？

5、从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？

6、在一根长100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一个红点，同时自右到左每隔5厘米染一个红点，染后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？

【挑战奥数】

【例题讲解】

在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法

可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。

如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么

　　（18，12）×[18，12]=（2×3）×（2×3×3×2）

　　=（2×3×3）×（2×3×2）=18×12。

　　也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。

当把1