完整版二元一次不等式组知识点讲解及习题推荐文档.docx
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完整版二元一次不等式组知识点讲解及习题推荐文档
第三节:
二元一次不等式组与简单的线性规划
1、二元一次不等式表示的区域:
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的
平面区域。
注意:
由于对直线同一侧的所有点(x,y),把它代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域(一般在C≠0时,取原点作为特殊点)
2、二元一次不等式组表示的区域:
二元一次不等式表示平面的部分区域,所以二元一次方程组表示各个区域的公共部分。
(二元一次不等式表示的区域)
例1、画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。
(跟踪训练)画出不等式4x-3y≤12表示的平面区域。
(点的分布)
例2、已知点P(x0,y0)与点A(1,2)在直线l:
3x+2y-8=0的两侧,则()A、3x0+2y0>0B、3x0+2y0<0
C、3x0+2y0>8D、3x0+2y0<8
(跟踪训练)已知点(3,1)和点(-4,6)在直线3x–2y+m=0的两侧,则()
A.m<-7或m>24B.-7<m<24
C.m=-7或m=24D.-7≤m≤24
(二元一次不等式组表示的平面区域)例3、画出不等式组表示的区域。
⎧y(1⎪x+2y≤4
⎩
⎪y≥-2
(2)
⎧x<3
⎪2y≥x
⎪3x+2y≥6
⎩3y(已知区域求不等式)
例4、求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0所围成的平面区域所表示的不等式。
(跟踪训练)下图所示的阴影区域用不等式组表示为
(已知不等式组求围成图形的面积)
⎧x≤3,
例5、求不等式组⎨⎪x+y≥0,
⎩
⎪x-y+2≥0
表示的平面区域的面积
⎪
⎧2x-3y>0,
2x+3y-6<0,
⎨
(跟踪训练)在直角坐标系中,由不等式组⎪
⎪3x-5y-15<0,
⎩y<0
所确定的平
面区域内整点个数
(绝对值不等式的画法)
例6、画出不等式|x|+|y|<1所表示的区域。
(跟踪训练)画出不等式|x-2|+|y-3|>3所表示的区域。
(整式不等式表示的区域)
例7、画出不等式(x+2y-1)(x-y+3)>0所表示的平面区域
(跟踪训练)画出不等式⎨⎧(x-y+5)(x+y)≥0,表示的平面区域
⎩0≤x≤3
3、线性规划:
(1)线性规划问题举例设z=2x+y,式中变量x,y满足如下条件:
⎧2x+y-1≤0,
⎪x≥0,
⎪y≥0.
求z的最大值,和最小值
由上面知道,变量x、y所满足的每一个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些区域的公共部分
直线:
l0:
2x+y=0,作一组直线与l0平行,l:
2x+y=t,(t为任意实数)可知,当l在l0的右上方时,直线l上的点(x,y)满足2x+y>0.
(2)(线性)约束条件:
即不等式组
(线性)目标函数:
即上式中的z=2x+y.
(3)可行解:
满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解。
可行域:
由所有可行解组成的区域叫做可行域
最优解:
使得目标函数取得最大值和最小值得解叫做最优解。
(线性目标在线性约束条件下的最值)
⎧2x+y-1≤0,
例1、若x,y满足约束条件⎨⎪x≥0,
⎩
⎪y≥0.
求z=x+2y的最大值是
⎧x+y≤5,
(跟踪训练1)若x,y满足不等式组⎨⎪2x+y≤6,
⎩
⎪x≥0,y≥0,
则使k=6x+8y取得最大
值的点的坐标是.
⎧x-y+5≥0,
(跟踪训练2)已知x,y满足约束条件
⎪+y≥0,
⎪x≤3.
则z=4x-y的最小
值为.
(最优解有无数个问题)
例2、给出平面区域如图所示,其中A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是(
)
213
A.
B.C.2D.
322
(跟踪训练)已知平面区域如右图所示,z=mx+y(m>0)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m的值为()
A.7
20
B.-7C.1
202
D.不存在
(线性规划解决实际问题)
例3、某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级,各级车工每人每天加工能力,成品合格率及日工资数如下表所示:
级别
加工能力(个/
人天)
成品合格率
(%)
工资(元/
天)
Ⅰ
240
97
5.6
Ⅱ
160
95.5
3.6
工厂要求每天至少加工配件2400个,车工每出一个废品,工厂要损失2元,现有Ⅰ级车工8人,Ⅱ级车工12人,且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工,试问如何安排工作,使工厂每天支出的费用最少.
(跟踪训练)某工厂要制造A种电子装置45台,B电子装置55台,为了给每台装配一个外壳,要从两种不同的薄钢板上截取,已知甲
种薄钢板每张面积为2平方米,可作A的外壳3个和B的外壳5个;乙种薄钢板每张面积3平方米,可作A和B的外壳各6个,用这两种薄钢板各多少张,才能使总的用料面积最小?
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