完整版二元一次不等式组知识点讲解及习题推荐文档.docx

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第三节：

二元一次不等式组与简单的线性规划

1、二元一次不等式表示的区域：

二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的

平面区域。

注意：

由于对直线同一侧的所有点（x,y），把它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（x0,y0），从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域（一般在C≠0时，取原点作为特殊点）

2、二元一次不等式组表示的区域：

二元一次不等式表示平面的部分区域，所以二元一次方程组表示各个区域的公共部分。

（二元一次不等式表示的区域）

例1、画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。

（跟踪训练）画出不等式４ｘ－３ｙ≤１２表示的平面区域。

（点的分布）

例2、已知点P（x0,y0）与点A（1,2）在直线l:

3x+2y-8=0的两侧，则（）A、3x0+2y0>0B、3x0+2y0<0

C、3x0+2y0>8D、3x0+2y0<8

（跟踪训练）已知点（3，1）和点（－4，6）在直线3x–2y+m=0的两侧，则（）

A．m＜－7或m＞24B．－7＜m＜24

C．m＝－7或m＝24D．－7≤m≤24

（二元一次不等式组表示的平面区域）例3、画出不等式组表示的区域。

⎧y

（1⎪x+2y≤4

⎩

⎪y≥-2

（2）

⎧x<3

⎪2y≥x

⎪3x+2y≥6

⎩3y

（已知区域求不等式）

例4、求由三直线x-y=0；x+2y-4=0及y+2=0所围成的平面区域所表示的不等式。

（跟踪训练）下图所示的阴影区域用不等式组表示为

（已知不等式组求围成图形的面积）

⎧x≤3,

例5、求不等式组⎨⎪x+y≥0,

⎩

⎪x-y+2≥0

表示的平面区域的面积

⎪

⎧2x-3y>0,

2x+3y-6<0,

⎨

（跟踪训练）在直角坐标系中，由不等式组⎪

⎪3x-5y-15<0,

⎩y<0

所确定的平

面区域内整点个数

（绝对值不等式的画法）

例6、画出不等式|x|+|y|<1所表示的区域。

（跟踪训练）画出不等式|x-2|+|y-3|>3所表示的区域。

（整式不等式表示的区域）

例7、画出不等式（x+2y-1）（x-y+3）>0所表示的平面区域

（跟踪训练）画出不等式⎨⎧（x-y+5）（x+y）≥0,表示的平面区域

⎩0≤x≤3

3、线性规划：

（1）线性规划问题举例设z=2x+y,式中变量x,y满足如下条件：

⎧2x+y-1≤0,

⎪x≥0,

⎪y≥0.

求z的最大值，和最小值

由上面知道，变量x、y所满足的每一个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些区域的公共部分

直线：

l0:

2x+y=0,作一组直线与l0平行，l:

2x+y=t,（t为任意实数）可知，当l在l0的右上方时，直线l上的点（x,y）满足2x+y>0.

（2）（线性）约束条件：

即不等式组

（线性）目标函数：

即上式中的z=2x+y.

（3）可行解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解。

可行域：

由所有可行解组成的区域叫做可行域

最优解：

使得目标函数取得最大值和最小值得解叫做最优解。

（线性目标在线性约束条件下的最值）

⎧2x+y-1≤0,

例1、若x,y满足约束条件⎨⎪x≥0,

⎩

⎪y≥0.

求z=x+2y的最大值是

⎧x+y≤5,

（跟踪训练1）若x，y满足不等式组⎨⎪2x+y≤6,

⎩

⎪x≥0,y≥0,

则使k=6x+8y取得最大

值的点的坐标是.

⎧x-y+5≥0,

（跟踪训练2）已知x，y满足约束条件

⎪+y≥0,

⎪x≤3.

则z=4x-y的最小

值为．

（最优解有无数个问题）

例2、给出平面区域如图所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目标函数z=ax+y（a>0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（

）

213

A.

B．C．2D．

322

（跟踪训练）已知平面区域如右图所示，z=mx+y（m>0）在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m的值为（）

A．7

20

B．-7C．1

202

D．不存在

（线性规划解决实际问题）

例3、某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级，各级车工每人每天加工能力，成品合格率及日工资数如下表所示：

级别

加工能力（个/

人天）

成品合格率

（%）

工资（元/

天）

Ⅰ

240

97

5.6

Ⅱ

160

95.5

3.6

工厂要求每天至少加工配件2400个，车工每出一个废品，工厂要损失2元，现有Ⅰ级车工8人，Ⅱ级车工12人，且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工，试问如何安排工作，使工厂每天支出的费用最少.

（跟踪训练）某工厂要制造A种电子装置45台，B电子装置55台，为了给每台装配一个外壳，要从两种不同的薄钢板上截取，已知甲

种薄钢板每张面积为2平方米，可作A的外壳3个和B的外壳5个；乙种薄钢板每张面积3平方米，可作A和B的外壳各6个，用这两种薄钢板各多少张，才能使总的用料面积最小?

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