七宝中学自招综合素养测试数学题(附答案).pdf

七宝中学自招综合素养测试数学题(附答案).pdf

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冲刺冲刺1717年自主招生之年自主招生之20162016年七宝中学综合素养调研测试年七宝中学综合素养调研测试一、一、填空题（每题填空题（每题5分，共分，共40分）分）1.若若125的立方根是的立方根是A，25的算术平方根为的算术平方根为B，则，则AB_.2.设设x，y为实数，则代数式为实数，则代数式2x24xy5y24x2y5的最小值为的最小值为_.3.方程：

方程：

3x4x5x6x的解有的解有_个个.4.已知两质数已知两质数p，q之和为之和为2019，则则p1q1pq的值为的值为_.5.在直角三角形在直角三角形ABC中，中，CD，CE分别是斜边分别是斜边AB上的高，中线，上的高，中线，BCa，AC3a3，若若tanDCE1，则则a_.3DAEBC6.在平面直角坐标系内，已知四个定点在平面直角坐标系内，已知四个定点A3，0，B1，1，C0，3，D1，3及一个及一个动动点P，则则PAPBPCPD的最小值为的最小值为_.7.已知函数已知函数fxx22a2xa2，gxx22a2xa28.设设H1xmaxfx，gx，H2xminfx，gx，maxp，q表示表示p，q中的较中的较大值，大值，minp，q表示表示p，q中的较小值，记中的较小值，记H1x得最小值得最小值A，H2x得最大值为得最大值为B，则AB_.8.不等式不等式x1x24x30有多重解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中做有多重解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中做出出y1x1和和y2x24x3的图像然后进行求解，请类比求的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：

设解以下问题：

设a，b为整数，若对任意为整数，若对任意x0，都有都有ax2x22b0成立，成立，则则ab_.二、解答题：

（共二、解答题：

（共20分）分）9.（10分）已知关于分）已知关于x的方程的方程4x28nx3n20和和x2n3x2n220问问是否存在这样的是否存在这样的n值，使方程值，使方程的两个实数根的差的平方等于方程的两个实数根的差的平方等于方程的一整数根？

若存的一整数根？

若存在，求出这样的在，求出这样的n值；若不存在，请说明理由值；若不存在，请说明理由.10.（10分）对于数对序列分）对于数对序列Pa，b，a，b，a，b，记记TPab，1122nn111TkPbkmaxTk1P，a1a2ak2kn，其其中中maxTk1P，a1a2ak表示表示TP和和aaa两个数中最大的数两个数中最大的数k112k.1对于数对序列对于数对序列P:

2，5，4，1，求求T1P，T2P的值；的值；2记记m为为a、b、c、d四个数中最小值的数，对于有两个数对四个数中最小值的数，对于有两个数对a，b，c，d组成的数对序列组成的数对序列P:

a，b，c，d和和P:

c，d，a，b，试分别对试分别对ma的的md时两种情况比较时两种情况比较T2P和和T2P的大小的大小.冲刺冲刺1717年自主招生之年自主招生之20162016年七宝中学综合素养调研测试年七宝中学综合素养调研测试一、填空题（每题一、填空题（每题5分，共分，共40分）分）1.若若125的立方根是的立方根是A，25的算术平方根为的算术平方根为B，则，则AB_.【答】2533，【解析】3AB21255525552.设设x，y为为实实数数，则则代代数数式式2x24xy5y24x2y5的的最最小小值值为为_.【答】0【解析】原式x24xy4y2x24x4y22y1x2y2x22y120当x2，y1时等号成立.6.方程：

方程：

3x4x5x6x的解有的解有_个个.【答】13x4x5x3x4x5x【解析】由题意1，而、均随x的增大而减小，值域666666取到0到正无穷之间.于是原方程有且仅有一个解.4.已知两质数已知两质数p，q之和为之和为2019，则则p1q1pq的值为的值为_.【答】2016【解析】根据题意p，q中必有一个偶数，p2017，q2p1q120165.在直角三角形在直角三角形ABC中，中，CD，CE分别是斜边分别是斜边AB上的高，中线，上的高，中线，BCa，AC3a3，若若tanDCE1，则则a_.3DAEBC【答】3103【解析】设DEx，则AEBECE10x，9AC2ADAB101210x2，BC2BDAB101210x291102，BC3103.8.在平面直角坐标系内，已知四个定点在平面直角坐标系内，已知四个定点A3，0，B1，1，C0，3，D1，3及一个及一个动动点P，则则PAPBPCPD的最小值为的最小值为_.【答】3225【解析】易知四边形ABCD为凸四边形，设对角线BD与AC交点为O，PA+PBPCPDACBD=18203225，当P与O重合时等号成立.9.已知函数已知函数fxx22a2xa2，gxx22a2xa28.则H1xmaxfx，gx，H2xminfx，gx，maxp，q表示表示p，q中的较中的较大大值，值，minp，q表示表示p，q中的较小值，记中的较小值，记H1x得最小值得最小值A，H2x得最大值为得最大值为B，则则AB_.【答】12【解析】fxxa224a4，gxxa224a8当xa2，fxgx4a4，当xa2，fxgx4a8，而gmaxga24a8，H2xgxgmax4a8fminfa24a4，H1xfxfmin4a4，两个等号都能取到，A4a4，B4a8AB128.不等式不等式x1x24x30有多重解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中做有多重解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中做出y1x1和和y2x24x3的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：

的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：

设设a，b为整数，若对任意为整数，若对任意x0，都有都有ax2x22b0成立，则成立，则ab_.【答】3【解析】作图略，显然a0，由于x的负半轴上ax2与x22b不同号ax2与x22b在x负半轴上交点相同，2a2ba2x24a2b2a0，a1，b2，ab3二、解答题：

（共二、解答题：

（共20分）分）9.（10分）已知关于分）已知关于x的方程的方程4x28nx3n20和和x2n3x2n220问是问是否存在这样的否存在这样的n值，使方程值，使方程的两个实数根的差的平方等于方程的两个实数根的差的平方等于方程的一整数根？

若存的一整数根？

若存在，求出这样的在，求出这样的n值；若不存在，请说明理由值；若不存在，请说明理由.【答】0【解析】若存在n满足题意，x1x224n23n2，中xn1x2n10，若4n23n2n10，则n12，但1n32不为整数，舍；若4n23n22n2，则n0或14，当2n2为整数，则n0.将n0代入验证成立.10.（10分）对于数对序列分）对于数对序列Pa，b，a，b，a，b，TPab，1122nn记记111TkPbkmaxTk1P，a1a2ak2kn，其其中中maxTk1P，a1a2ak表表示示TP和和aaa两个数中最大的数两个数中最大的数k112k.的的值值；1P:

2，5，4，1，TP，TP对于数对序列对于数对序列求求122记记m为为a、b、c、d四四个个数数中中最最小小值值的的数数，对对于于有有两两个个数数对对a，b，c，d组组成成的的数数对对序列序列P:

a，b，c，d和和P:

c，d，a，b，试分别对试分别对ma的的md时两种情况比较时两种情况比较T2P和和T2P的的大大小小.【答】17，82T1PT1P【解析】1T1P257，T2P1max7，241782T1Pab，T2Pdmaxab，acdabcbc，2T1Pcd，T2Pbmaxcd，cabcdada，2T1PT1Pabcdbc-da22若ma，T1PT1P2abcbcac或ab，于是T1PT1P2若md，T1PT1P2dbcbcdb或dc，于是T1PT2P.2