学年人教版高中数学选修22同步单元检测试题AB卷解析版共8份.docx

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学年人教版高中数学选修22同步单元检测试题AB卷解析版共8份

2017-2018学年人教版高中数学选修2-2

单元检测试题

目录

第一章导数及其应用A卷1

第一章导数及其应用B卷8

第二章推理与证明A卷14

第二章推理与证明B卷21

第三章数系的扩充及复数的引用A卷27

第三章数系的扩充及复数的引用A卷32

模块综合检测

（一）37

模块综合检测

（二）45

第一章导数及其应用A卷

（基础卷时间120分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．下列各式正确的是（　　）

A．（sina）′＝cosa（a为常数）

B．（cosx）′＝sinx

C．（sinx）′＝cosx

D．（x－5）′＝－x－6

解析：

选C　由导数公式知选项A中（sina）′＝0；选项B中（cosx）′＝－sinx；选项D中（x－5）′＝－5x－6.

2．下列函数中，在（0，＋∞）内为增函数的是（　　）

A．y＝sinx　　　　　　　B．y＝xe2

C．y＝x3－xD．y＝lnx－x

解析：

选B　只有B中y′＝e2＞0在（0，＋∞）内恒成立．

3．若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为（　　）

A．x＋4y＋3＝0B．x＋4y－9＝0

C．4x－y＋3＝0D．4x－y－2＝0

解析：

选D　设切点坐标为（x0，y0），y′＝4x，由题意得4x0＝4，解得x0＝1，所以y0＝2，故切线l的方程为y－2＝4（x－1），即4x－y－2＝0.

4．若函数f（x）＝x3－f′

（1）·x2－x，则f′

（1）的值为（　　）

A．0　　　　　　　　B．2

C．1D．－1

解析：

选A　∵f（x）＝x3－f′

（1）·x2－x，

∴f′（x）＝x2－2f′

（1）·x－1，

∴f′

（1）＝1－2f′

（1）－1，

∴f′

（1）＝0.

5．对任意的x∈R，函数f（x）＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是（　　）

A．0≤a≤21B．a＝0或a＝7

C．a<0或a>21D．a＝0或a＝21

解析：

选A　f′（x）＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）不存在极值点．

6．已知，对于任意实数x，有f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），且x>0时，f′（x）>0，g′（x）>0，则x<0时，（　　）

A．f′（x）>0，g′（x）>0

B．f′（x）>0，g′（x）<0

C．f′（x）<0，g′（x）>0

D．f′（x）<0，g′（x）<0

解析：

选B　f（x）为奇函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递增，f′（x）>0；g（x）为偶函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递减，g′（x）<0.

7.

设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（1－x）f′（x）的图象如右图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）

A．函数f（x）有极大值f

（2）和极小值f

（1）

B．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f

（1）

C．函数f（x）有极大值f

（2）和极小值f（－2）

D．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f

（2）

解析：

选D　由题图可知，当x<－2时，f′（x）>0；当x＝－2时，f′（x）＝0；当－22时，f′（x）>0.由此可以得到函数f（x）在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．

8．设f（x）＝则f（x）dx等于（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选A　f（x）dx＝x2dx＋dx

＝x3＋lnx＝.

9.

已知函数f（x）＝－x3＋ax2＋bx（a，b∈R）的图象如右图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为（　　）

A．－1B．0

C．1D．－2

解析：

选A　法一：

因为f′（x）＝－3x2＋2ax＋b，函数f（x）的图象与x轴相切于原点，所以f′（0）＝0，即b＝0，所以f（x）＝－x3＋ax2，令f（x）＝0，得x＝0或x＝a（a<0）．因为函数f（x）的图象与x轴所围成区域的面积为，所以（－x3＋ax2）dx＝－，所以＝－，所以a＝－1或a＝1（舍去），故选A.

法二：

因为f′（x）＝－3x2＋2ax＋b，函数f（x）的图象与x轴相切于原点，所以f′（0）＝0，即b＝0，所以f（x）＝－x3＋ax2.若a＝0，则f（x）＝－x3，与x轴只有一个交点（0,0），不符合所给的图象，排除B；若a＝1，则f（x）＝－x3＋x2＝－x2（x－1），与x轴有两个交点（0,0），（1,0），不符合所给的图象，排除C；若a＝－2，则所围成的面积为－2x2）dx＝＝≠，排除D，故选A.

10．若函数f（x）＝2x2－lnx在其定义域的一个子区间（k－1，k＋1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选D　由f（x）＝2x2－lnx可知定义域为（0，＋∞），所以k－1≥0，k≥1.故排除B、C两项．又因为f′（x）＝4x－，令f′（x）＝0，得x＝或x＝－（舍去），f（x）在上单调递减，在上单调递增．由题意知且k≥1，得1≤k＜.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．（陕西高考）设曲线y＝ex在点（0,1）处的切线与曲线y＝（x＞0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．

解析：

y′＝ex，曲线y＝ex在点（0,1）处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P（m，n），y＝（x＞0）的导数为y′＝－（x＞0），曲线y＝（x＞0）在点P处的切线斜率k2＝－（m＞0），因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为（1,1）．

答案：

（1,1）

12．函数f（x）＝2x2－lnx的单调递增区间为________．

解析：

函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

令f′（x）＝4x－＝≥0，得x≥.

答案：

13．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v（t）＝27－0.9t（v的单位：

m/s；t的单位：

s），则列车刹车后至停车时的位移为________．

解析：

停车时v（t）＝0，则27－0.9t＝0，∴t＝30，

∴s＝∫v（t）dt＝∫（27－0.9t）dt

＝（27t－0.45t2）＝405（m）．

答案：

405m

14．函数f（x）＝x3－3a2x＋a（a>0）的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围为________．

解析：

令f′（x）＝3x2－3a2＝0，

∴x＝±a.

当f′（x）>0时，x>a或x<－a；

当f′（x）<0时，－a

所以函数f（x）在（a，＋∞），（－∞，－a）上为增函数，

在（－a，a）上为减函数．

故f（x）极大值＝f（－a）＝2a3＋a，

f（x）极小值＝f（a）＝a－2a3，

∴

答案：

三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤．）

15．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝ax2＋bx＋4lnx的极值点为1和2.

（1）求实数a，b的值；

（2）求函数f（x）在区间（0,3]上的最大值．

解：

（1）f′（x）＝2ax＋b＋

＝，x∈（0，＋∞），

由y＝f（x）的极值点为1和2，

∴2ax2＋bx＋4＝0的两根为1和2，

∴

解得

（2）由

（1）得f（x）＝x2－6x＋4lnx，

∴f′（x）＝2x－6＋＝

＝，x∈（0,3]．

当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x

（0,1）

1

（1,2）

2

（2,3）

3

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

－5

4ln2－8

4ln3－9

∵f（3）＝4ln3－9>f

（1）＝－5>f

（2）＝4ln2－8，

∴f（x）max＝f（3）＝4ln3－9.

16．（本小题满分12分）若函数f（x）＝ax2＋2x－lnx在x＝1处取得极值．

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间及极值．

解：

（1）f′（x）＝2ax＋2－，

由f′

（1）＝2a＋＝0，得a＝－.

（2）f（x）＝－x2＋2x－lnx（x＞0）．

f′（x）＝－x＋2－＝.

由f′（x）＝0，得x＝1或x＝2.

①当f′（x）＞0时，1＜x＜2；

②当f′（x）＜0时，0＜x＜1或x＞2.

当x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（0,1）

1

（1,2）

2

（2，＋∞）

f′（x）

－

0

＋

0

－

f（x）

－ln2

因此f（x）的单调递增区间是（1,2），单调递减区间是（0,1），（2，＋∞）．

函数的极小值为f

（1）＝，极大值为f

（2）＝－ln2.

17．（本小题满分12分）已知a∈R，函数f（x）＝（－x2＋ax）ex.

（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在（－1,1）上单调递增，求实数a的取值范围．

解：

（1）当a＝2时，f（x）＝（－x2＋2x）ex，f′（x）＝（－x2＋2）ex.令f′（x）＞0，即（－x2＋2）ex＞0，注意到ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－＜x＜，所以函数f（x）的单调递增区间为（－，）．同理可得，函数f（x）的单调递减区间为（－∞，－）和（，＋∞）．

（2）因为函数f（x）在（－1,1）上单调递增，所以f′（x）≥0在（－1,1）上恒成立．

又因为f′（x）＝[－x2＋（a－2）x＋a]ex，所以[－x2＋（a－2）x＋a]ex≥0，注意到ex＞0，因此－x2＋（a－2）x＋a≥0在（－1,1）上恒成立，也就是a≥＝x＋1－在（－1,1）上恒成立．

设y＝x＋1－，则y′＝1＋＞0，

即y＝x＋1－在（－1,1）上单调递增，

则y＜1＋1－＝，故a≥，

所以实数a的取值范围为.

18．（本小题满分14分）已知函数f（x）＝lnx－.

（1）若f（x）存在最小值且最小值为2，求a的值；

（2）设g（x）＝lnx－a，若g（x）＜x2在（0，e]上恒成立，求a的取值范围．

解：

（1）f′（x）＝＋＝（x＞0），

当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上是增函数，f（x）不存在最小值．

当a＜0时，由f′（x）＝0，得x＝－a，

且0＜x＜－a时f′（x）＜0，

x＞－a时f′（x）＞0.

∴x＝－a时f（x）取最小值，

f（－a）＝ln（－a）＋1＝2，解得a＝－e.

（2）g（x）＜x2，即lnx－a＜x2，即a＞lnx－x2，

故g（x）＜x2在（0，e]上恒成立，也就是a＞lnx－x2在（0，e]上恒成立．

设h（x）＝lnx－x2，则h′（x）＝－2x＝，由h′（x）＝0及0＜x≤e，得x＝.

当0＜x＜时h′（x）＞0，当＜x≤e时h′（x）＜0，即h（x）在上为增函数，在上为减函数，所以当x＝时h（x）取得最大值为h＝ln－.

所以g（x）＜x2在（0，e]上恒成立时，

a的取值范围为.

第一章导数及其应用B卷

（B卷　能力素养提升）

（提升卷时间120分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．已知函数y＝，则它的导函数是（　　）

A．y′＝

B．y′＝

C．y′＝

D．y′＝－

解析：

选B　u＝x－1，