数学新设计北师大选修23精练第二章 概率 23.docx
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数学新设计北师大选修23精练第二章概率23
§3 条件概率与独立事件
A组
1.设A与B是相互独立事件,则下列命题正确的是（ ）
A.A与B是对立事件
B.A与B是互斥事件
C.
不相互独立
D.A与
是相互独立事件
解析:
若A与B是相互独立事件,则A与
也是相互独立事件.
答案:
D
2.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为
乙、丙去北京旅游的概率分别为
.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析:
因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为
.因此,他们不去北京旅游的概率分别为
所以,至少有1人去北京旅游的概率为P=1-
.
答案:
B
3.
如图,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为（ ）
A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576
解析:
方法一 由题意知K,A1,A2正常工作的概率分别为P（K）=0.9,P（A1）=0.8,P（A2）=0.8,
∵K,A1,A2相互独立,
∴A1,A2至少有一个正常工作的概率为P（
A2）+P（A1
）+P（A1A2）=（1-0.8）×0.8+0.8×（1-0.8）+0.8×0.8=0.96.
∴系统正常工作的概率为P（K）[P（
A2）+P（A1
）+P（A1A2）]=0.9×0.96=0.864.
方法二 A1,A2至少有一个正常工作的概率为1-P（
）=1-（1-0.8）（1-0.8）=0.96,故系统正常工作的概率为P（K）[1-P（
）]=0.9×0.96=0.864.
答案:
B
4.已知A,B,C是三个相互独立事件,若事件A发生的概率为
事件B发生的概率为
事件C发生的概率为
则A,B,C均未发生的概率为 .
解析:
A,B,C均未发生的概率为P（
）=
.
答案:
5.甲、乙二人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝三色,已知甲击中红、黄、蓝三区域的概率依次是
乙击中红、黄、蓝三区域的概率依次是
二人射击情况互不影响,若甲、乙各射击一次,试预测二人命中同色区域的概率为 .
解析:
同命中红色区域的概率为
同命中黄色区域的概率为
同命中蓝色区域的概率为
∴二人命中同色区域的概率为
.
答案:
6.某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
且各轮问题能否正确回答互不影响.
（1）求该选手顺利通过三轮考核的概率;
（2）该选手在选拔中回答两个问题被淘汰的概率是多少?
解
（1）设“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件记为Ai（i=1,2,3）,且它们相互独立.
则P（A1）=
P（A2）=
P（A3）=
设“该选手顺利通过三轮考核”为A事件,
则P（A）=P（A1A2A3）=P（A1）·P（A2）·P（A3）=
.
（2）因为回答2个问题被淘汰即第一轮答对,第二轮答错,概率是P=
.
7.某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生之间是否选修哪门课互不影响.已知学生小张只选甲的概率为0.08,只选甲和乙的概率为0.12,至少选一门的概率为0.88,用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
（1）求学生小张选修甲的概率;
（2）记“函数f（x）=x2+ξx为R上的偶函数”为事件A,求事件A的概率;
（3）求ξ的分布列.
解
（1）由题意知,学生小张三门选修课一门也不选的概率为1-0.88=0.12.
设学生小张选修甲、乙、丙三门选修课的概率分别为x,y,z.
则
解得
所以学生小张选修甲的概率为0.4.
（2）若函数f（x）=x2+ξx为R上的偶函数,则ξ=0,当ξ=0时,表示小张选修了三门功课或三门功课都不选.所以P（A）=P（ξ=0）=xyz+（1-x）（1-y）（1-z）=0.4×0.6×0.5+（1-0.4）×（1-0.6）×（1-0.5）=0.24,故事件A的概率为0.24.
（3）依题意知ξ=0,2,所以ξ的分布列为
ξ
0
2
P
0.24
0.76
8.导学号43944034甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为
乙获胜的概率为
各局比赛结果相互独立.
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率;
（2）记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布.
解用A表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,则P（Ak）=
P（Bk）=
k=1,2,3,4,5.
（1）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=P（A1）P（A2）+P（B1）P（A2）P（A3）+P（A1）P（B2）·P（A3）P（A4）=
.
（2）X的可能取值为2,3,4,5.
P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=P（A1）P（A2）+P（B1）P（B2）=
P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）
=P（B1）P（A2）P（A3）+P（A1）P（B2）P（B3）=
P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）
=P（A1）P（B2）P（A3）P（A4）+P（B1）P（A2）P（B3）·P（B4）=
P（X=5）=1-P（X=2）-P（X=3）-P（X=4）=
.
所以X的分布列为
X
2
3
4
5
P
B组
1.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析:
设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,P（A）=
B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,P（B）=
.
则P（AB）=P（A）P（B）=
.
答案:
A
2.一个盒子中有20个大小、形状、质地相同的小球,其中5个红的,5个黄的,10个绿的,从盒子中任取一球,若它不是红球,则它是绿球的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析:
记A:
取的球不是红球.B:
取的球是绿球.则P（A）=
P（AB）=
∴P（B|A）=
.
答案:
C
3.设两个独立事件A和B都不发生的概率为
A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析:
设事件A发生的概率为x,事件B发生的概率为y,则由题意得（1-x）（1-y）=
x（1-y）=（1-x）y,联立解得x=
故事件A发生的概率为
.
答案:
D
4.把一枚质地均匀的硬币任意抛掷两次,事件A={第一次出现正面},事件B={第二次出现正面},则P（B|A）=（ ）
A.
B.
C.
D.
解析:
P（A）=
P（AB）=
所以P（B|A）=
.故选A.
答案:
A
5.箱子里有除颜色外都相同的5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析:
因为每次取出黑球时都放回,所以在取到白球以前,每次取出黑球的概率都是
在第4次取球后停止表示前3次取出的都是黑球,第4次才取出白球,故所求概率为
.
答案:
B
6.某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6,使用寿命超过2年的概率为0.3,则使用寿命超过1年的该元件还能继续使用1年的概率为 .
解析:
设事件A为“该元件的使用寿命超过1年”,B为“该元件的使用寿命超过2年”,则P（A）=0.6,P（B）=0.3,易知P（AB）=P（B）=0.3,
于是P（B|A）=
=0.5.
答案:
0.5
7.根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立.
（1）求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;
（2）求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率;
（3）求一位车主至少购买甲、乙两种保险中1种的概率.
解记A表示事件“购买甲种保险”,B表示事件“购买乙种保险”,则由题意得A与B,A与
与B,
都是相互独立事件,且P（A）=0.5,P（B）=0.6.
（1）记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”,
则C=AB.
∴P（C）=P（AB）=P（A）·P（B）=0.5×0.6=0.3.
（2）记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”,则D=
B.
∴P（D）=P（
B）=P（
）·P（B）=（1-0.5）×0.6=0.3.
（3）方法一:
记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”,则事件E包括
B,A
AB,且它们彼此为互斥事件.
∴P（E）=P（
B+A
+AB）
=P（
B）+P（A
）+P（AB）
=0.5×0.6+0.5×0.4+0.5×0.6=0.8.
方法二:
事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件.
∴P（E）=1-P（
）=1-（1-0.5）×（1-0.6）=0.8.
8.导学号43944035设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.
（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
（2）X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的分布列.
解记Ai表示事件:
同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2.
B表示事件:
甲需使用设备.
C表示事件:
丁需使用设备.
D表示事件:
同一工作日至少3人需使用设备.
（1）D=A1·B·C+A2·
·C+A2B.
P（B）=0.6,P（C）=0.4,P（Ai）=
×0.52,i=0,1,2,
所以P（D）=P（A1·B·C+A2·B+A2·
·C）
=P（A1·B·C）+P（A2·B）+P（A2·
·C）
=P（A1）P（B）P（C）+P（A2）P（B）+P（A2）P（
）P（C）
=0.31.
（2）X的可能取值为0,1,2,3,4,
P（X=0）=P（
·A0·
）
=P（
）P（A0）P（
）
=（1-0.6）×0.52×（1-0.4）
=0.06.
P（X=1）=P（B·A0·
·A0·C+
·A1·
）
=P（B）P（A0）P（
）+P（
）P（A0）P（C）+P（
）·P（A1）P（
）
=0.6×0.52×（1-0.4）+（1-0.6）×0.52×0.4+（1-0.6）×2×0.52×（1-0.4）=0.25.
P（X=4）=P（A2·B·C）=P（A2）P（B）P（C）=0.52×0.6×0.4=0.06,
P（X=3）=P（D）-P（X=4）=0.25.
P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）-P（X=4）
=1-0.06-0.25-0.25-0.06
=0.38.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.06
0.25
0.38
0.25
0.06
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