直线平面垂直的判定与性质.docx

直线平面垂直的判定与性质.docx

《直线平面垂直的判定与性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线平面垂直的判定与性质.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

直线平面垂直的判定与性质

第5讲　直线、平面垂直的判定与性质

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）．

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.

答案　A

2．（2014·绍兴调研）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（　　）．

A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α

B．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α

C．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α

D．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β

解析　与α，β两垂直平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故A错；对B，存在n∥α情况，故B错；对D；存在α∥β情况，故D错；由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确．

答案　C

3．（2013·新课标全国Ⅱ卷）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）．

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

解析　假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，则m∥n，这与已知m，n为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1∥l.

答案　D

4.（2014·深圳调研）如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（　　）．

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

解析　因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.

答案　C

5．（2014·郑州模拟）已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：

①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.

其中正确的是（　　）．

A．①④B．②④

C．②③D．③④

解析　如图，由题意，β∩γ＝l，∴l⊂γ，由α⊥γ，α∩γ＝m，且l⊥m，∴l⊥α，即②正确；由β∩γ＝l，∴l⊂β，由l⊥α，得α⊥β，即④正确；而①③条件不充分，不能判断．

答案　B

二、填空题

6.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD（只要填写一个你认为正确的条件即可）．

解析　∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.

答案　DM⊥PC（或BM⊥PC）

7．已知平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为

和

，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′＝________.

解析　连接AB′和A′B，设AB＝a，可得AB与平面α所成的角为∠BAB′＝

，在Rt△BAB′中，有AB′＝

a，同理可得AB与平面β所成的角为∠ABA′＝

，所以A′A＝

a，因此在Rt△AA′B′中，A′B′＝

＝

a，所以AB∶A′B′＝a∶

a＝2∶1.

答案　2∶1

8．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：

________（用代号表示）．

解析　逐一判断．若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；①③④⇒②与②③④⇒①均正确．

答案　①③④⇒②（或②③④⇒①）

三、解答题

9.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

证明　

（1）因为平面PAD∩平面ABCD＝AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.

所以PA⊥底面ABCD.

（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.

又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BE∥平面PAD.

（3）因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由

（1）知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.

所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，且CD⊂平面PCD，

又E，F分别是CD和CP的中点，

所以EF∥PD，故CD⊥EF.

由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，

∴CD⊥平面BEF.

所以平面BEF⊥平面PCD.

10．（2013·泉州模拟）如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．

（1）求证：

B1D1∥平面A1BD；

（2）求证：

MD⊥AC；

（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

（1）证明　由直四棱柱，得BB1∥DD1，

又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.

而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，

∴B1D1∥平面A1BD.

（2）证明　∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴BB1⊥AC.

又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.

而MD⊂平面BB1D，∴MD⊥AC.

（3）解　当点M为棱BB1的中点时，

平面DMC1⊥平面CC1D1D.

证明如下：

取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．

∵N是DC的中点，BD＝BC，

∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，

而平面ABCD⊥平面DCC1D1，

∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点，

∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形．

∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.

∵OM⊂平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.

能力提升题组

（建议用时：

25分钟）

一、选择题

1.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（　　）．

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线AC上

D．△ABC内部

解析　由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．

答案　A

2．（2014·北京东城区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝

，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（　　）．

A．A′C⊥BD

B．∠BA′C＝90°

C．CA′与平面A′BD所成的角为30°

D．四面体A′－BCD的体积为

解析　取BD的中点O，连接A′O，OC，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD.平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴A′O⊥平面BCD，∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD.假设A′C⊥BD，又A′C∩A′O＝A′，∴BD⊥平面A′OC，∴BD⊥OC与OC不垂直于BD矛盾，∴A′C不垂直于BD，A错误．∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′D，∴A′C＝

，∵A′B＝1，BC＝

＝

，∴A′B2＋A′C2＝BC2，A′B⊥A′C，B正确．∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C错误．VA′－BCD＝

S△A′BD·CD＝

，D错误，故选B.

答案　B

二、填空题

3．（2013·河南师大附中二模）如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：

①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.

其中正确的有________（把所有正确的序号都填上）．

解析　由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确．

答案　①④

三、解答题

4．（2014•成都检测）如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，二面角S－CD－A的平面角为45°，M为AB的中点，N为SC的中点．

（1）证明：

MN∥平面SAD；

（2）证明：

平面SMC⊥平面SCD；

（3）记

＝λ，求实数λ的值，使得直线SM与平面SCD所成的角为30°.

（1）证明　如图，取SD的中点E，连接AE，NE，则NE＝

CD＝AM，NE∥CD∥AM，

∴四边形AMNE为平行四边形，

∴MN∥AE.

∵MN⊄平面SAD，AE⊂平面SAD，∴MN∥平面SAD.

（2）证明　∵SA⊥平面ABCD，

∴SA⊥CD.

∵底面ABCD为矩形，

∴AD⊥CD.

又SA∩AD＝A，

∴CD⊥平面SAD，

∴CD⊥SD，∴∠SDA即为二面角S－CD－A的平面角，即∠SDA＝45°，∴△SAD为等腰直角三角形，∴AE⊥SD.

∵CD⊥平面SAD，∴CD⊥AE，又SD∩CD＝D，∴AE⊥平面SCD.

∵MN∥AE，∴MN⊥平面SCD，又MN⊂平面SMC，

∴平面SMC⊥平面SCD.

（3）解　∵

＝λ，设AD＝SA＝a，则CD＝λa.

由

（2）知MN⊥平面SCD，∴SN即为SM在平面SCD内的射影，

∴∠MSN即为直线SM与平面SCD所成的角，即∠MSN＝30°.

在Rt△SAM中，SM＝

，而MN＝AE＝

a，

∴在Rt△SNM中，由sin∠MSN＝

得

＝

，解得λ＝2，

∴当λ＝2时，直线SM与平面SCD所成的角为30°.