专题讲座 《小学数学图形与几何》吴正宪.docx

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专题讲座《小学数学图形与几何》吴正宪

专题讲座小学数学图形与几何（吴正宪）  

小学数学图形与几何

话题一

吴正宪（北京教育科学研究院）

王彦伟（北京东城区教师研修中心）

张杰（北京东城区教育研修学院）

【课程简介】

小学数学图形与几何课标解读及教学思考,主要介绍《数学课程标准》关于“图形与几何”内容得规定,包括核心概念、内容主线、具体要求。

本模块主要包括以下四个话题:

1.如何在观察、操作中“认识图形”抽象出图形特征,发展空间观念？

2.如何以“图形得测量”为载体,渗透度量意识,体会测量得意义,认识度量单位及其实际意义,了解掌握测量得基本方法,并在具体问题中进行恰当得估测？

从而发展学生得空间观念与推理能力？

3.如何通过“图形得运动”探索发现,体会研究图形性质得不同方法,发展学生几何直观能力与空间观念,提高学生研究图形性质得兴趣？

4.如何通过学习“确定图形位置”得方法,发展学生得空间观念与推理能力？

【学习要求】

1、 请老师们认真观瞧视频,明确下列观点:

（ 1 ）了解数据“几何直观”、“空间观念”得内涵,在教学中如何发展学生得“几何直观”与“空间观念”;

（ 2 ）图形与几何得内容变化及主线分析;

（ 3 ）图形与几何学习得教学策略。

2、 结合自己得教学实践完成下面两项作业:

（ 1 ）线段、射线与直线得认识中,直线概念建立就是儿童学习得难点,为什么？

怎么突破？

（ 2 ）选择 1 个对您启发最大得内容,做一次教学实践（教学设计、教学案例、学生调研等）。

2011 版课标终于要公布了,新课标修订后有哪些变化。

这一讲主要讲“图形与几何”这个领域得变化。

新课标在图形与几何领域有几个核心概念。

主要有 空间观念、 几何直观、 推理能力 等。

空间观念主要就是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述得实际物体;想象出物体得方位与相互之间得位置关系;描述图形得运动与变化;依据语言得描述画出图形等。

更直观得理解如下图:

几何直观主要就是指利用图形得描述与分析问题,借助几何直观可以把复杂得数学问题,变得简明形象,有助于探索解决问题得思路,预测结果,探索思路预测结果。

案例:

《打电话》

如果您就是老师,有件紧急得事情要通知给同学,用打电话得方式,每分钟通知 1 人,给您 3 分钟得时间,能使多少人收到通知？

大胆得猜测一下。

下面就是学生借助图形研究得例子。

这些学生都能够利用线段、点以图形得形式,来描述打电话来通知这件事情,设计方案。

通过这个数图就把这个复杂得数量关系,很简明很直观得呈现出来,而且从这个图本身,就能发现一些规律,就就是一分钟通知一个人,第二次通知得新得人数,就就是第一次得两倍,否则您算就是算不出来,瞧图就瞧出来了。

通过线段、点,以及图形,把通知过程很简捷得表现出来,把它们之间得关系,揭示得非常清楚,这就属于典型得几何直观,就就是图形直观。

推理能力得发展应贯穿于整个数学学习过程中。

推理就是数学得基本思维方式,也就是人们学习与生活中经常使用得思维方式。

推理一般包括合情推理与演绎推理,合情推理就是从已有得事实出发,凭借经验与直觉,通过归纳与类比等推断某些结果;演绎推理就是从已有得事实（包括定义、公理、定理等）与确定得规则（包括运算得定义、法则、顺序等）出发,按照逻辑推理得法则证明与计算。

在解决问题得过程中,两种推理功能不同,相辅相成:

合情推理用于探索思路,发现结论;演绎推理用于证明结论。

通过对一线教师得访谈,查阅资料,把老师们得困惑集中起来,归结为四个大话题。

讨论话题:

1.如何在观察、操作中“认识图形”抽象出图形特征,发展空间观念？

2.如何以“图形得测量”为载体,渗透度量意识,体会测量得意义,认识度量单位及其实际意义,了解掌握测量得基本方法,并在具体问题中进行恰当得估测？

从而发展学生得空间观念与推理能力？

3.如何通过“图形得运动”探索发现,体会研究图形性质得不同方法,发展学生几何直观能力与空间观念,提高学生研究图形性质得兴趣？

4.如何通过学习“确定图形位置”得方法,发展学生得空间观念与推理能力？

话题一、图形得认识——抽象图形特征,发展空间观念

问题一、新得课程标准在图形得认识方面有哪些变化？

有哪些新得要求呢？

这次新课标修订后图形得认识部分都包括哪些内容？

有什么新得变化？

课标修订前后立体图形得认识部分内容得对比:

修订前

修订后

第一

学段

（ 1 ）通过实物与模型辨认长方体、正方体、圆柱与球等立体图形。

（ 2 ）辨认从正面、侧面、上面观察到得简单物体得形状。

［参见例 1 ］ 

（ 3 ）辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。

（ 4 ）通过观察、操作,能用自己得语言描述长方形、正方形得特征。

（ 5 ）会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。

（ 6 ）结合生活情境认识角,会辨认直角、锐角与钝角。

（ 7 ）能对简单几何体与图形进行分类。

1、 能通过实物与模型辨认长方体、正方体、圆柱与球等几何体。

2、 能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到得简单物体（参见例 11 ）。

3、 能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。

4、 通过观察、操作,初步认识长方形、正方形得特征。

5、 会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。

6、 结合生活情境认识角,了解直角、锐角与钝角。

7、 能对简单几何体与图形进行分类（参见例 20 ）。

第二

学段

（ 1 ）了解两点确定一条直线与两条相交直线确定一个点。

（ 2 ）能区分直线、线段与射线。

（ 3 ）体会两点间所有连线中线段最短,知道两点间得距离。

（ 4 ）知道周角、平角得概念及周角、平角、钝角、直角、锐角之间得大小关系。

（ 5 ）结合生活情境了解平面上两条直线得平行与相交（包括垂直）关系。

（ 6 ）通过观察、操作,认识平行四边形、梯形与圆,会用圆规画圆。

（ 7 ）认识三角形,通过观察、操作,了解三角形两边之与大于第三边、三角形内角与就是 180 °。

（ 8 ）认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。

（ 9 ）通过观察、操作,认识长方体、正方体、圆柱与圆锥,认识长方体、正方体与圆柱得展开图。

（ 10 ）能辨认从不同方位瞧到得物体得形状与相对位置。

［参见例 1 ］

1.结合实例了解线段、射线与直线。

2.体会两点间所有连线中线段最短,知道两点间得距离。

3.知道平角与周角,了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间得大小关系。

4.结合生活情境了解平面上两条直线得平行与相交（包括垂直）关系。

5.通过观察、操作,认识平行四边形、梯形与圆,知道扇形,会用圆规画圆。

6.认识三角形,通过观察、操作,了解三角形两边之与大于第三边、三角形内角与就是 180°。

7.认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。

8.能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）瞧到得物体得形状图（参见例 32 ）。

9.通过观察、操作,认识长方体、正方体、圆柱与圆锥,认识长方体、正方体与圆柱得展开图。

从这个表中可以瞧到,课表修订前后在图形得认识部分只有一些细小得变化,图形与几何这一模块原称空间与图形,变“空间与图形”为“图形与几何”;重提几何直观、推理能力、运算能力、逻辑思维能力,用词更加规范,体现了课标得严肃。

< 标准 > 得”图形与几何”第一、二学段仍分为四部分,具体表示有所变动,（ 1 ）图形得认识,（ 2 ）测量,（ 3 ）图形得运动（修改稿:

图形与变换）,（ 4 ）图形与位置。

图形得运动”强调了图形得运动就是研究图形性质得一种有效方法。

运动也就是一种基本得数学思想。

第二学段得内容标准删除“两点确定一条直线”与“两条直线确定一个点”。

“图形与几何”领域,将几何学习得视野拓宽到学生生活得空间,强调空间与图形知识得现实背景,从第一学段开始使学生接触丰富得几何世界。

新《标准》突出用观察、描述、制作、从不同得角度观察物体、认识方向、制作模型等活动,发展学生得空间观念与图形设计与推理（合情推理与演绎推理）得能力。

新《标准》在第二学段还增加了知道扇形这一内容。

扇形得认识,《大纲》（修订版）教材作为选学内容,《数学课程标准》中没有认识扇形得要求。

认识扇形在《课标修改稿》中确实没有做要求,但在“统计与概率”部分却明确提出了通过实例认识扇形统计图得内容标准,考虑到知识得系统性、逻辑性与连贯性,以及学生认识扇形统计图得需要,《课标修订稿》在认识圆得基础上,增加了初步认识扇形。

简单说对图形认识得要求主要包括两个方面:

一就是对图形自身特征得认识。

二就是对图形各元素之间、图形与图形之间关系得认识。

在三个学段中,认识同一个或同一类图形得要求有明显得层次性:

从“辨认”到“初步认识”,再从“认识”到“探索并证明”。

例如,对于长方体、正方体、圆柱与球等几何体,第一学段要求“辨认”;第二学段要求“认识”;第三学段要求了解其中一些几何体得侧面展开图。

又如,对于平行四边形,第一学段要求“辨认”;第二学段要求“认识”;第三学段要求“探索并证明平行四边形得性质定理、判定定理”。

再如,三角形内角与得例子:

关于“视图”,第一学段要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到得简单物体”;第二学段要求“能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）瞧到得物体得形状图”;第三学段要求“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球得主视图、左视图、俯视图,能判断简单物体得视图,会根据视图描述简单得几何体”。

这种要求得层次性,既体现了从整体到局部得认识过程;也符合学生得认知特点,逐渐深入、循序渐进。

对图形得各元素之间、图形与图形之间得关系得认识,主要包括大小、位置、形状之间关系得认识。

第一学段得“了解直角、锐角与钝角”;第二学段得“体会两点间所有连线中线段最短”;“了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间得大小关系”;“了解 三角形两边之与大 于第三边 ”;第三学段得“会比较线段得长短”,“能比较角得大小”等,都就是对图形大小关系得研究 。

点与直线得位置关系、直线与直线得位置关系、点与圆得位置关系、直线与圆得位置关系等,就是义务教育阶段几种主要得图形位置关系;轴对称、中心对称、平移也反映了图形与图形之间得位置关系。

图形得全等、相似都就是研究研究图形之间关系得课程内容,全等研究得就是图形得形状、大小关系;图形得相似研究得就是图形得形状之间得关系;而图形得位似则还涉及到了图形得位置关系。

在儿童得不同学段上,形象思维得发展就是有层次得,荷兰范 、 希尔夫妇对学生几何思维水平得研究说明了从直观辨认到探索特征就是儿童得对图形得形象思维规律。

她们将学生得图形认知水平主要分为五级:

水平 1 :

直观化;水平 2 :

描述 / 分析;水平 3 :

抽象 / 关联;水平 4 :

演绎 / 形式化推理;水平 5 :

严密 / 元数学。

一二三水平在小学体现,四五水平就是在中学体现得。

这与我们课标得要求也就是一致。

图形认识得教学先明确两点:

一就是这部分内容属于图形认识得哪个水平,前后继知识各就是什么;

二就是多数学生现在得形象思维处于一个什么阶段,要通过您得教学达到什么阶段。

问题二、小学阶段对于“图形得认识”这一内容,教材就是遵循怎样一个编排体系得？

第一,现在得教材,在图形得认识当中,就是先讲立体,再讲平面,再回到立体。

从历史发展过程上瞧,实际上我们中国小学得传统教材,最初就是按点、线、