天津卷理科数学高考真题.docx
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天津卷理科数学高考真题
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅰ卷1
答卷时，
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件A、B互斥，那么P（AB）P（A）P（B）．
·如果事件A、B相互独立，那么P（AB）P（A）P（B）．
·圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高．
1
·棱锥的体积公式VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高．
3
一、选择题：
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A{1,1,2,3,5},B{2,3,4},C{xR|1x3}，则（AC）B
A．2B．2,3C．1,2,3D．1,2,3,4
xy20,
xy20,
2．设变量x,y满足约束条件则目标函数z4xy的最大值为
x1,
y1,
A．2B．3C．5D．6
3．设xR，则“x25x0”是“|x1|1”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
22
5．已知抛物线y4x的焦点为F，准线为l，若l与双曲线x2y21ab
别交于点A和点B，且|AB|4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为
伸长到原来的2倍
g2，则f
4
A．2
8．已知aR，设函数
A．2B．3C．2D．5
0.2
6．已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a,b,c的大小关系为
A．acbB．abcC．bcaD．cab
7．已知函数f（x）Asin（x）（A0,0,||）是奇函数，将yfx的图象上所有点的横坐标纵坐标不变），所得图象对应的函数为gx．若gx的最小正周期为2π，且3
8
B．2C．2D．2
2
x22ax2a,x1,
f（x）若关于x的不等式f（x）0在R上恒成立，则a的xalnx,x1.
取值范围为
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二．填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．i是虚数单位，则5i的值为．
18
10．2x3的展开式中的常数项为．
8x3
11．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条
侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．
x22cos,
12．设aR，直线axy20和圆（为参数）相切，则a的值为
y12sin
14．在四边形ABCD中，AD∥BC,AB23,AD5,A30，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BDAE．
三．解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）
在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知bc2a，3csinB4asinC．
Ⅰ）求cosB的值；
Ⅱ）求sin2B的值．
6
设甲、
2
乙两位同学上学期间，每天7：
30之前到校的概率均为2．假定甲、乙两位同学到校情况互不
3
用X表示甲同学上学期间的三天中7：
30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
7：
30之前到校
设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：
30之前到校的天数比乙同学在
的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
求证：
BF∥平面ADE；求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
1
Ⅲ）
若二面角EBDF的余弦值为1，求线段CF的长．
3
离心率为5．
5
22
设椭圆x2y21（ab0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，ab
Ⅰ）求椭圆的方程；
Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负
半轴上．若|ON||OF|（O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率．
19．（本小题满分14分）
设an是等差数列，bn是等比数列．已知a14,b16，b22a22,b32a34．
Ⅰ）求an和bn的通项公式；
i）求数列a2nc2n1的通项公式；
2n
（ii）求aicinN*．
i1
20．（本小题满分14分）
设函数f（x）excosx,g（x）为fx的导函数．
Ⅰ）求fx的单调区间；
Ⅱ）当x4,2时，证明f（x）g（x）2x0；
f（x）1在区间2n,2n内的零点，其中nN，证明
42
2nxn
2n
e2n
sinx0cosx0
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
三．解答题
15．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力，满分13分．
Ⅰ）解：
在△ABC中，由正弦定理b
sinB
得3bsinC4asinC，即3b4a．又因为
c
，得bsinCcsinB，又由3csinB4asinC，sinC
42
bc2a，得到ba，ca．由余弦定理可得
33
227cos2Bcos2Bsin2B78，故
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
2
4
8
27
9
9
27
2随机变量X的数学期望E（X）322．
3
2（Ⅱ）解：
设乙同学上学期间的三天中7：
30之前到校的天数为Y，则Y~B3,，且
3
M{X3,Y1}{X2,Y0．}由题意知事件{X3,Y1}与{X2,Y0}互斥，且事件
X3与Y1，事件X2与Y0均相互独立，从而由（Ⅰ）知
P（M）P（{X3,Y1}{X2,Y0}）P（X3,Y1）P（X2,Y0）
824120P（X3）P（Y1）P（X2P）Y（0）．
279927243
17．本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立
依题意，可以建立以
A为原点，分别以AB，AD，AE的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐
体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分
13分．
标系（如图），可得A（0,0,0）,B（1,0,0）,C（1,2,0）,D（0,1,0），E（0,0,2）．设CFhh（0>），
所以，线段CF的长为8．
7
则F1,2,h．
（Ⅰ）证明：
依题意，
AB（1,0,0）是平面ADE的法向量，又BF（0,2,h），可得BFAB0，
又因为直线BF平面ADE，所以BF∥平面ADE．
18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的
性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分13分．
c5222Ⅰ）解：
设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4,，又a2b2c2，可得a5，b2,c1．
a5
22
所以，椭圆的方程为xy1．
54
Ⅱ）解：
由题意，设PxP，yPxp0,MxM,0．设直线PB的斜率为kk0，又B0,2，
ykx2,
则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立x2y2整理得45k2x220kx0，可得
1,
54
230
5
230
所以，直线PB的斜率为230或
5
19．本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识．考查化归与转化思想
和数列求和的基本方法以及运算求解能力．满分14分．
6q62d,（Ⅰ）解：
设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q．依题意得2解得nn6q2124d,
d3,
故an4（n1）33n1,bn62n132n．
q2,
所以，an的通项公式为an3n1,bn的通项公式为bn32n．
（Ⅱ）（i）解：
a
2nc2n1a2nbn132n132n194n1
所以，数列a2nc
2n1的通项公式为a2nc2n194n1．
2n
2n2nn
ii）解：
aiciaiaici1aia2ic2i1
i1i1i1i1
n2n2n1i
2n4394i1
i1
322n152n19414n
14
2722n152n1n12nN*．
x5Ⅰ）解：
由已知，有f'（x）ex（cosxsinx）．因此，当x2k,2k（kZ）时，有44
sinxcosx，得f'（x）0，则fx单调递增．
5
2k,2k（kZ）．
44
且fyneyncosynexn2ncosxn2ne2nnN．
由fyne2n1fy0及（Ⅰ），
yn
y0．由（Ⅱ）知，当x,
042
时，g'（x）0，所
以gx在4,2
上为减
函数，
gyngy0g40．又由（Ⅱ）知，
fyngyn2yn0，故
fyne2ne2ne2ne2n
ynny0
2gyngyngy0e0siny0cosy0sinx0cosx0
e2n
所以，2nxne．
2sinx0cosx0
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