高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算313空间向量的数量积运算学案新人教A版选修212.docx
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高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算313空间向量的数量积运算学案新人教A版选修212
3.1.3 空间向量的数量积运算
学习目标
1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.
知识点一 空间向量数量积的概念
思考1 如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量
与
的数量积？
并总结求两个向量数量积的方法.
答案 ∵
＝
－
，
∴
·
＝
·
－
·
＝|
||
|cos〈
，
〉－|
||
|cos〈
，
〉
＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16
.
求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.
思考2 等边△ABC中，
与
的夹角是多少？
答案 120°.
梳理
（1）定义：
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
（2）数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律
（λa）·b＝λ（a·b）
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·（b＋c）＝a·b＋a·c
（3）空间向量的夹角
①定义：
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作
＝a，
＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉.
②范围：
〈a，b〉∈[0，π].特别地：
当〈a，b〉＝
时，a⊥b.
知识点二 空间向量的数量积的性质
两个向量数量积的性质
①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0
②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝
③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝
④|a·b|≤|a|·|b|
类型一 空间向量的数量积运算
命题角度1 空间向量的数量积基本运算
例1
（1）下列命题是否正确？
正确的请给出证明，不正确的给予说明.
①p2·q2＝（p·q）2；
②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；
③若a与（a·b）·c－（a·c）·b均不为0，则它们垂直.
解 ①此命题不正确.
∵p2·q2＝|p|2·|q|2，
而（p·q）2＝（|p|·|q|·cos〈p，q〉）2＝|p|2·|q|2·cos2〈p，q〉，
∴当且仅当p∥q时，p2·q2＝（p·q）2.
②此命题不正确.
∵|p2－q2|＝|（p＋q）·（p－q）|＝|p＋q|·|p－q|·|cos〈p＋q，p－q〉|，
∴当且仅当（p＋q）∥（p－q）时，|p2－q2|＝|p＋q|·|p－q|.
③此命题正确.
∵a·[（a·b）·c－（a·c）·b]＝a·（a·b）·c－a·（a·c）·b＝（a·b）（a·c）－（a·b）（a·c）＝0，
且a与（a·b）·c－（a·c）·b均为非零向量，
∴a与（a·b）·c－（a·c）·b垂直.
（2）设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：
①a·b；②（3a－2b）·（a＋2b）.
解 ①∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
∴a·b＝3×4×cos120°＝－6.
②∵（3a－2b）·（a＋2b）＝3|a|2＋4a·b－4|b|2＝3|a|2＋4|a||b|cos120°－4|b|2，
∴（3a－2b）·（a＋2b）＝3×9＋4×3×4×（－
）－4×16＝27－24－64＝－61.
反思与感悟
（1）已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算.
（2）如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算.
跟踪训练1 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于（ ）
A.
B.
C.
D.4
答案 C
解析 ∵|a＋3b|2＝（a＋3b）2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×cos60°＋9＝13，∴|a＋3b|＝
.
命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题
例2 已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：
（1）
·
；
（2）
·
；（3）
·
.
解 如图，设
＝a，
＝b，
＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
（1）
·
＝b·[
（c－a）＋b]＝|b|2＝42＝16.
（2）
·
＝
·（a＋c）＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
（3）
·
＝
·
＝
（－a＋b＋c）·
＝－
|a|2＋
|b|2＝2.
反思与感悟 两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.
跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1，求：
（1）（
＋
）·（
＋
）；
（2）|
＋
＋
|.
解
（1）（
＋
）·（
＋
）＝（
＋
）·（
－
＋
－
）＝（
＋
）·（
＋
－2
）＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.
（2）|
＋
＋
|＝
＝
＝
＝
.
类型二 利用数量积求夹角或模
命题角度1 利用数量积求夹角
例3 已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
解 如图所示.∵
＝
＋
，
＝
＋
，
∴
·
＝（
＋
）·（
＋
）＝
·
＋
·
＋
·
＋
·
.
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴
·
＝0，
·
＝0，
·
＝0且
·
＝－a2.
∴
·
＝－a2.
又
·
＝|
|·|
|cos〈
，
〉，
∴cos〈
，
〉＝
＝－
.
又∵〈
，
〉∈[0°，180°]，∴〈
，
〉＝120°，
又∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴异面直线BA1与AC所成的角为60°.
反思与感悟 利用向量求异面直线夹角的方法
跟踪训练3 已知：
PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l⊂α，且l⊥OA.
求证：
l⊥PA.
证明 如图，取直线l的方向向量a，同时取向量
，
.
因为l⊥OA，所以a·
＝0.
因为PO⊥α，且l⊂α，所以l⊥PO，
因此a·
＝0.
又因为a·
＝a·（
＋
）＝a·
＋a·
＝0，
所以l⊥PA.
命题角度2 利用数量积求模（或距离）
例4 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.
解 因为
＝
＋
＋
，
所以
2＝（
＋
＋
）2＝
2＋
2＋
2＋2（
·
＋
·
＋
·
）.
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以〈
，
〉＝90°，〈
，
〉＝〈
，
〉＝60°，
所以
2＝1＋4＋9＋2（1×3×cos60°＋2×3×cos60°）＝23.
因为
2＝|
|2，所以|
|2＝23，|
|＝
，
即AC1＝
.
反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝
求解即可.
跟踪训练4 如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离.
解 ∵
＝
＋
＋
，
∴|
|2＝（
＋
＋
）2＝|
|2＋|
|2＋|
|2＋2
·
＋2
·
＋2
·
＝12＋2（2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°）＝8，
∴|
|＝2
，即A，D两点间的距离为2
.
类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题
例5 如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：
OA⊥BC.
证明 因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
又
·
＝
·（
－
）＝
·
－
·
＝|
|·|
|cos∠AOC－|
|·|
|cos∠AOB＝0，
所以
⊥
，即OA⊥BC.
反思与感悟
（1）证明线线垂直的方法
证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.
（2）证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法
先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.
跟踪训练5 已知向量a，b满足：
|a|＝2，|b|＝
，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________.
答案 45°
解析 ∵a与2b－a垂直，∴a·（2b－a）＝0，
即2a·b－|a|2＝0.
∴2|a||b|·cos〈a，b〉－|a|2＝0，
∴4
cos〈a，b〉－4＝0，∴cos〈a，b〉＝
，
又〈a，b〉∈[0°，180°]，∴a与b的夹角为45°.
1.已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于（ ）
A.14B.
C.4D.2
答案 B
解析 |a－2b＋3c|2＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2－4a·b＋6a·c－12b·c＝14.
2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A.
·
B.
·
C.
·
D.
·
答案 D
解析 选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，
所以AD1⊥B1C，此时有
·
＝0；
选项B，当四边形ABCD为正方形时，易得AC⊥BD，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时
·
＝0；
选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，
所以AB⊥AD1，所以
·
＝0.故选D.
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①（
＋
＋
）2＝3
2；②
·（
－
）＝0；③
与
的夹角为60°.
其中真命题的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.0
答案 B
解析 易知①②正确；
与
的夹角为120°，∴③不正确.故选B.
4.已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2
，|b|＝
，a·b＝－
，则〈a，b〉＝____.
答案
解析 cos〈a，b〉＝
＝－
，∴〈a，b〉＝
.
5.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为______.
答案
解析 |
|2＝
2＝（
＋
＋
）2
＝
2＋
2＋
2＋2（
·
＋
·
＋
·
）
＝12＋22＋12＋2×（1×2×cos120°＋0＋2
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