探究初中几何问题.docx

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探究初中几何问题

探究初中几何问题

一几何作图及操作探究

这类问题是应用所学的知识对生活中可实施性、操作性问题进行讨论、归纳和动手设计的题型，它涉及日常生活中的方方面面，出现的类型有：

寻找最佳点问题、测量问题、面积分配问题、几何设计问题．这类试题是让学生通过具体的操作或借助计算机技术来获得感性认识，构建数学知识，以达到动手动脑的目的．解决这类问题时，一般需要经历观察、操作、思考、想象、推理、交流、反思等实践活动过程，利用已有的感知与发现结论从而解决问题.关键是要学生学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题，适合现有的知识水平和实践能力．

（一）几何作图题

1、尺规作图题

例（2007南京）已知直线l及直线l外一点A，分别按下列要求写出画法，并保留作图痕迹.

⑴在图1-1中，只用尺规在直线l上画出两点B、C,使得点A、B、C是一个等腰三角形的三个顶点；

⑵在图1-2中，只用圆规在在线l外画出一点P，使得点A、P所在直线与直线l平行.

解析⑴画法一：

以A点为圆心，大于A点到直线l的距离为半径画弧，与直线l交于B、C两点，则点B、C即为所求.（如图1-3）

画法二：

在直线l上取一点B，以B为圆心，AB的长为半径画弧，与直线l交于点C，则点B、C即为所求.（如图1-4）

⑵画法：

在直线l上任取B、C两点，以A为圆心，BC的长为半径画弧，以C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点P，则点P即为所求.（如图1-5）

练习：

（2006锦州）在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是：

画线段AB，分别以点A、B为圆心，以大于

AB长为半径画弧，两弧相交于点C，连接AC；再以点C为圆心，AC长为半径画弧，交AC和延长线于点D，连接BD，则△ABD就是直角三角形.

⑴请你说明其中的道理；

⑵请利用上述方法作一个三角形，使其中一个锐角为300（不写作法，保留作图痕迹）.

2、格点作图

例1如图2-1，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，∠AOB画在方格纸上，请作出∠AOB的平分线.

图3-2

图3-1

解析在正方形网格中找到适当的格点，利用网格中有些线段的端点在格点上，可以计算线段的长度，从而利用三边相等证明两个三角形全等，再得到角相等.如图3-2在正方形网格中找到P1，P2，P3这三个点，作射线OP，射线OP即为所求.

例2如图，在一个“10×10”的正方形DEFG网格中有一个△ABC．

⑴在网格中画出△ABC向下平移三个单位得到的△A1B1C1；

⑵在网格中画出△ABC绕C点逆时针方向旋转900得到的△A2B2C；

⑶若以EF所在的直线为x轴,ED所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,写出A1,A2两点的坐标.

图4-1图4-2

解析　⑴图形平移时,图形上的每个点都平移相同的距离,如图4-2中所示△A1B1C1;⑵图形旋转过程中,各部分都旋转相同的角度,如图4-2中所示△A2B2C;⑶平面直角坐标系如图4-2所示,易知:

A1（8,2）,A2（4,9）.

练习　1.（2007宁波）面积为１个平方单位的正三角形,称为单位正三角形．下面图中的每一个小三角形都是单位正三角形．三角形的顶点称为格点．在图5-1，图5-2，图5-3中分别画出一个平行四边形、梯形和对边都不平行的凸四边形，要求这三个图形的顶点都在格点、面积都为１２个平方单位．

2.在如图6所示的平面直角坐标系中，已知△ABC．

（1）将△ABC向x轴负半轴方向平移4个单位得到△A1B1C1，画出图形并写出点A1的坐标；

（2）以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出图形并写出点A2的坐标；

（3）△A2B2C2可以看作是由△A1B1C1先向右平移4个单位，然后以原点O为旋转中心，顺时针旋转90°得到的．除此之外，△A2B2C2还可以由△A1B1C1怎样变换得到？

请选择一种方法，写出图形变换的步骤．

（二）操作探究题

例1（2006连云港）

（1）图7-1是一块直角三角形纸片．将该纸片按如方法折叠，使点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；

（2）再将图7-1中的△CBE沿对称轴EF折叠（如7-2图）.通过折叠,原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝无重叠）所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”。

你能将图7-3中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？

如果能折成，请在图7-3中画出折痕；

（3）请你在图7-4中的方格纸中画出一个斜三角形,同时满足下列条件：

①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点上；

（4）有些特殊的四边形，如菱形，能过折叠也能折成组合矩形（其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上）．请你进一步探究：

一个非特殊的四边形（指除平行四边形、梯形外的四边形）满足何条件时，一定能折成组合矩形？

解析　　

（1）由对称性可知∠A=∠ACE,所以∠ECB=∠B,所以△CEB为等腰三角形；

（2）任意三角形都能折成“组合矩形”，其具体做法可以参照图7-3的折法,将其分成两个直角三角形，有三种不同的折法；（3）首先要体现出一条边与该边上的高相等，这样折出来的矩形才是正方形，再者要满足正方形的顶点都在格点上；（4）当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个“组合矩形”．

练习　1.图8-1是一个等腰三角形,把它分成两个全等的三角形,图8-2是个任意三角形,把它分割成四个全等的三角形,图8-3是个直角三角形,∠C=900，AC=1,BC=2,把这个三角形分成五个全等的三角形．

例2（2007福建宁德）已知:

矩形纸片ABCD中,AB=26cm,BC=18.5cm,点E在AD上,且AE=6cm,点P是AB边上一动点．

按如下操作:

步骤一:

折叠纸片,使点P与点E重合,展开纸片得折痕MN（如图）;

步骤二:

边P作PT⊥AB,交MN所在的直线于点Q,连接QE（如图）．

（1）无论点P在AB边上任何位置,都有PQQE（填“﹥”、“﹦”、“﹤”号）；

（2）如图所示,将纸片ABCD放在平面直角坐标系中,按上述步骤一、二进行操作:

①当点P在A点时,PT与MN交于点Q1,Q1点的坐标是（,）；

②当PA=6cm时,PT与MN交于点Q2,Q2点的坐标是（,）；

③当PA=12cm时,在图中画出MN,PT（不要求写画法）,并求出MN与PT的交点Q3点的坐标;

（3）点P在运动过程中,PT与MN形成一系列的交点Q1,Q2,Q3,……．观察、猜想：

众多的交点形成的图象是什么？

并直接写出该图象的函数表达式．

解析

（1）PQ=QE．

（2）①（0,3）；②（6,6）；③画图，如图所示．方法一　设MN与EP交于点F,在Rt△APE中,∵PE=

∴PF=

PE=

．∵∠Ｑ3PE+∠EPA=900,∠AEP+∠EPA=900,∴∠Ｑ3PE=∠AEP．∴△Ｑ3PF∽△PEA,∴

∴Ｑ3（12,15）．方法二　过点E作EG⊥Ｑ3P于G,则四边形APGE是矩形．∴GP=6,EG=12．设Ｑ3G＝x，则Ｑ3E＝Ｑ3P=x+6．在Rt△Ｑ3EG中,∵EQ32=EG2+Q3G2,∴（x+6）2=122+x2,∴x=9,∴Ｑ3（12,15）．（3）这些点形成的图象是一段抛物线．函数关系式是：

y=

x2+3（0≤x≤26）．

练习（2007桂林）已知:

如图，△ABC关于y轴对称,点B、P关于y轴的对称点分别是点C、Q．BP=AP=2,P点的坐标为（-1,0）．

（1）分别写出Q点和C点的坐标,并指出与△ABP关于y轴对称的三角形；

（2）M为线段CQ上的点,若以x轴为旋转轴,旋转△PAM一周形成的旋转体的全面积为

求线段AM的长；

（3）N为线段AM上一动点（与点A、M不重合）,过点N分别作NH⊥x轴于H,NG⊥y轴于G．求当矩形OHNG的面积最大时N点的坐标．

二几何应用问题

几何应用问题是近几年来中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类题型，

几何应用问题的命题内容和形式趋向多样化，但其主要内容仍以全等的应用、相似的应用、解直角三角考查有关几何知识之外，更注重考查学生抽象、转化的思维能力．此类问题的表现形式是：

由几何图形的性质通过计算、推理来说明某种几何设计是否最优，或是设计出符合要求的几何方案，除能有效地结合实际问题的背景，抽象出几何模型，利用几何知识加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、解释、反思，解题时应特别注意数形结合、分类讨论等数学思想．

一般有三类：

（一）三角形在实际问题中的应用；

（二）几何设计问题；（三）几何综合应用问题．

（一）三角形在实际问题中的应用

例一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别如图11-1，图11-2所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求。

（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）。

解析由AB=1.5米，S△ABC=1.5平方米，得BC=2米.设甲加工的桌面边长为ｘ米，∵DE//AB，Rt△CDE∽Rt△CBA,∴

，即

，解得

。

如图11-3，过点B作Rt△ABC斜边AC的高BH，交DE于P，并AC于H。

由AB＝1.5米，BC＝2米，

平方米，C＝2.5米，BH＝1.2米。

设乙加工的桌面边长为y米，∵DE//AC，Rt△BDE∽Rt△BAC，∴

，即

，解得

。

因为

，即

，

，所以甲同学的加工方法符合要求。

练习如图；某人在公路上由A到B向东行走，在A处测得公路旁的建筑物C在北偏东60°方向。

到达B处后，又测得建筑物C在北偏东45°方向。

继续前进，若此人在行走过程中离建筑物C的最近距离是（25

+25）米，求AB之间的距离。

（二）有关方案设计问题应用

例1　（2007福建龙岩）拼图与设计:

（1）如图13-1,四边形ABCD是一位师傅用地板砖铺设地板尚未完工的地板图形为了节省材料,他准备在剩余的六块砖中（如图13-2所示）挑选若干块进行铺设,请你在图13-3所示的网格纸上帮他设计3种不同的示意图．

（2）师傅想用

（1）中的④号砖四块铺设一个中心对称图形,请你把设计的图形画在图13-4所示的10×10的方格中．（要求以O点为对称中心）

解析

（1）首先要确定六块砖的图形特点,然后根据地板的图形特点进行铺设．也可以逆向操作，将地板图形进行适当的分割，正确作图如图所示．

（2）根据中心对称的特征,绕中心O作适当的旋转.此题答案不唯一.

例2在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，如图的设计方案是使AC＝8，BC＝6．

（1）求△ABC中AB边上的高h

（2）设DN＝x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：

这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？

如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．（1999，云南）

解析

（1）由S=

AB·h=

AB·BC得h=

；

（2）∵NF∥AB，∴△CNF∽△CAB，∴

∴NF=

，SDEFN=

，∴当x＝2.4时，SDEFN的值最大．（3）当SDEFN最大时x=2.4，此时F为BC中点．在Rt△FEB中，EF＝2.4，BF＝3，∴BE=

=

=1.8，又BM-1.85＞BE，故大树必位于欲修建的水池边上，应重新