八年级数学竞赛讲座应用题附答案.docx
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八年级数学竞赛讲座应用题附答案
第三十五讲应用题
在本讲中将介绍各类应用题的解法与技巧．
当今数学已经渗入到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点．
应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分体会到数学与自然和人类社会的密切联系，增强对数学的理解和应用数学的信心．
解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，将其转化为数学模型．其求解程序如下：
在初中范围内常见的数学模型有：
数式模型、方程模型、不等式模型、函数模型、平面几何模型、图表模型等．
例题求解
一、用数式模型解决应用题
数与式是最基本的数学语言，由于它能够有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性，因而成为描述和表达数学问题的重要方法．
【例1】（2003年安徽中考题）某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变。
有关数据如下表所示：
景点
A
B
C
D
E
原价（元）
10
10
15
20
25
现价（元）
5
5
15
25
30
平均日人数（千人）
1
1
2
3
2
（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平。
问风景区是怎样计算的？
（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%。
问游客是
怎样计算的？
（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？
思路点拨
（1）风景区是这样计算的：
调整前的平均价格：
，设整后的平均价格：
∵调整前后的平均价格不变，平均日人数不变．
∴平均日总收入持平．
（
2）游客是这样计算的：
原平均日总收入：
10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元）
现平均日总收入：
5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）
∴平均日总收入增加了
（3）游客的说法较能反映整体实际．
二、用方程模型解应用题
研究和解决生产实际和现实生恬中有关问题常常要用到方程<组）的知识，它可以帮助人们从数量关系和相等关系的角度去认识和理解现实世界．
【例2】（重庆中考题）某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：
当同时开启一道正门和两道侧门时，2min内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4mln内可以通过800名学生．
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20％．安全检查规定：
在紧急情况下全大楼的学生应在5min内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：
建造的这4道门整否符合安全规定?
请说明理由．
思路点拨列方程（组）的关键是找到题中等量关系：
两种测试中通过的学生数量．设未知数时一般问什么设什么．“符合安全规定”之义为最大通过量不小于学生总数．
（1）设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生，由题意得：
解得：
（2）这栋楼最多有学生4×8×4
5=1440（名）．
拥挤时5min4道门能通过．
5×2（120+80）（1－20％）=1600（名）,
因1600>1440，故建造的4道门符合安全规定．
三、用不等式模型解应用题
现实世界中的不等关系是普遍存在的，许多问题有时并不需要研究它们之间的相等关系，只需要确定某个量的变化范围，即可对所研究的问题有比较清楚的认识．
【例3】（苏州中考题）我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内月平均的风速不小于3m／s的时间共约160天，其中日平均风速不小于6m／s的时间占60天．为了充分利用“风能”这种“绿色资源”，该地拟建一个小型风力发电场，决定选用A、B两种型号的风力发电机，根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：
一天的发电量）如下表：
日平均风速v（米/秒）
v<3
3≤v<6
v≥6
日发电量（千瓦·时）
A型发电机
O
≥36
≥150
B型发电机
O
≥24
≥90
根据上面的数据回答：
（1）若这个发电场购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为千瓦·时；
（2）已知A型风力发电机每台O.3万元，B型风力发电机每台O.2万元．该发电场拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电总量不少于102000千瓦·时，请你提供符合条件的购机方案．
根据上面的数据回答：
思路点拨
（1）（100×36+60×150）x=12600x；
（2）设购A型发电机x台，则购B型发电机（10—x）台,
解法一根据题意得：
解得5≤x≤6．
故可购A型发电机5台，B型发电机5台；或购A型发电机6台，B型发电视4台．
四、用函数知识解决的应用题
函数类应用问题主要有以下两种类型：
（1）从实际问题出发，引进数学符号，建立函数关系；
（2）由提供的基本模型和初始条件去确定函数关系式．
【例4】（扬州）杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点．对经营的某种晚报，杨嫂提供丁如下信息：
①买进每份0.20元，卖出每份0.30元；
②一个月内（以30天计），有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份；
③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同．当天卖不掉的报纸，以每份0.10元退回给报社；
（1）填表：
一个月内每天买进该种晚报的份数
100
150
当月利润（单位：
元）
（2）设每天从报社买进该种晚报x份，120≤x≤200时，月利润为y元，试求出y与x的函数关系式，并求月利润的最大值．
思路点拨
（1）填表：
一个月内每天买进该种晚报的份数
100
150
当月利润（单位：
元）
300
390
（2）由题意可知，一个月内的20天可获利润：
20×=2x（元）；其余10天可获利润：
10=240—x（元）；
故y=x+240，（120≤x≤200），当x=200时，月利润y的最大值为440元．
注根据题意，正确列出函数关系式，是解决问题的关键，这里特别要注意自变量x的取值范围．
另外，初三还会提及统计型应用题，几何型应用题．
【例5】（桂林市）某公司需在一月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．
（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用200
0元；如果请乙工程队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：
A．请甲队单独完成此项工程；B．请乙队单独完成此项工
程；
C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上方案哪一种花钱最少?
思路点拨这是一道策略优选问题．工程问题中：
工作量=工作效率×工时．
（1）设乙工程队单独完成此项工程需x天，根据题意得：
x=30合题意，
所以，甲工程队单独完成此项工程需用20天，乙队需30天．
（2）各种方案所需的费用分别为：
A．请甲队需2000×20=40000元；
B．请乙队需1400×30=4200元；
C．请甲、乙两队合作需（2000+1400）×12=40800元．
所队单独请甲队完成此项工程花钱最少．
【例6】（2全国联赛初赛题）一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天17km的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点，试问：
科学考察队的生态区考察了多少天?
思路点拨挖掘题目中隐藏条件是关键!
设考察队到
生态区去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，则x+y+z=60，
17x－25y=－1，即25y－17x=1．①
这里x、y是正整数，现设
法求出①的一组合题意的解，然后计算出z的值．
为此，先求出①的一组特殊解（x0，y0），（这里x0，y0可以是负整数）．用辗转相除法．
25=l×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×（25—17）=3×17-2×25．
与①的左端比较可知，x0=－3，y0=－2．
下面再求出①的合题意的解．
由不定方程的知识可知，①的一切整数解可表示为x=－3+25t，y=－2+17t，
∴x+y=42t－5，t为整数．按题意0∴z=60—（x+y）=23．
答：
考察队在生态区考察的天数是23天．
注本题涉及到的未知量多，最终转化为二元一次不定方程来解，希读者仔细咀嚼所用方法．
【例7】（江苏省第17届初中竞赛题）华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下：
（1）若一次购物少于200元，则不予优惠；
（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；
（3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折
优惠．
小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元．现在小亮决定一次去购
买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少?
思路点拨应付198元购物款讨论：
第一次付款198元，可是所购物品的实价，未
享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款．故应分两种情况加以讨论．
情形1当198元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为198元．
又554=450+104，其中450元为购物500元打九折付的钱，104元为购物打八折付的钱；104÷0.8=130（元）．
因此，554元所购物品的原价为130+500=630（元），于是购买小呀花198+630=828（元）所购的全部物品，小亮一次性购买应付500×0.9+（828－500）×0.8=712.4（元）．
情形2当198元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为198
÷0.9=220（元）．仿情形1的讨论，，购220+630=850{元}物品一次性付款应为500×0.9+（850－500）×0.8=730（元）．
综上所述，小亮一次去超市购买小明已购的同样多的物品，应付款712.40元或730元
【例8】（2002年全国数学竞赛题）某项工程，如果由甲、乙两队承包，2
天完成，需180000元；由乙、丙两队承包，3
天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2
天完成，需付160000元．现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少?
思路点拨关键问题是甲、乙、丙单独做各需的天数及独做时各方日付工资．分两个层次考虑：
设甲、乙、丙单独承包各需x、y、z天完成．
则
，解得
再设甲、乙、丙单独工作一天，各需付u、v、w元，
则
，解得
于是，由甲队单独承包，费用是45500×4=182000（元）．
由乙队单独承包，费用是29500×6=177000（元）．
而丙队不能在一周内完成．所以由乙队承包费用最少．
学历训练
（A级）
1．（河南）在防治“SARS”的战役中，为防
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