高等数学第9章试题.docx

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高等数学第9章试题

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高等数学第9章试题

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高等数学

院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______

一、选择题（共20小题，20分）

1、设

Ω是由z≥及x2+y2+z2≤1所确定的区域，用不等号表达I1，I2，I3三者大小关系是

A.I1>I2>I3;B.I1>I3>I2;C.I2>I1>I3;D.I3>I2>I1.

答（）

2、设f（x,y）为连续函数，则积分

可交换积分次序为

答（）

3、设Ω是由曲面z=x2+y2,y=x,y=0,z=1所围第一卦限部分的有界闭区域，且f（x,y,z）在Ω上连续，则等于

（A）（B）

（C）（D）

答（）

4、设u=f（t）是（－∞,+∞）上严格单调减少的奇函数，Ω是立方体：

|x|≤1;|y|≤1;|z|≤1.

I=a,b,c为常数，则

（A）I>0（B）I<0

（C）I=0（D）I的符号由a,b,c确定

答（）

5、设Ω为正方体0≤x≤1;0≤y≤1;0≤z≤1.f（x,y,z）为Ω上有界函数。

若

，则

（A）f（x,y,z）在Ω上可积（B）f（x,y,z）在Ω上不一定可积

（C）因为f有界，所以I=0（D）f（x,y,z）在Ω上必不可积

答（）

6、由x2+y2+z2≤2z,z≤x2+y2所确定的立体的体积是

（A）（B）

（C）（D）

答（）

7、设Ω为球体x2+y2+z2≤1,f（x,y,z）在Ω上连续，I=x2yzf（x,y2,z3）,则I=

（A）4x2yzf（x,y2z3）dv（B）4x2yzf（x,y2,z3）dv

（C）2x2yzf（x,y2,z3）dv（D）0

答（）

8、函数f（x,y）在有界闭域D上有界是二重积分存在的

（A）充分必要条件；（B）充分条件，但非必要条件；

（C）必要条件，但非充分条件；（D）既非分条件，也非必要条件。

答（）

9、设Ω是由3x2+y2=z,z=1－x2所围的有界闭区域，且f（x,y,z）在Ω上连续，则

等于

（A）（B）

（C）（D）

答（）

10、设f（x,y）是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果为

答（）

11、设Ω1,Ω2是空间有界闭区域，Ω3=Ω1∪Ω2,Ω4=Ω1∩Ω2，f（x,y,z）在Ω3上可积，则的充要条件是

（A）f（x,y,z）在Ω4上是奇函数（B）f（x,y,z）≡0,（x,y,z）∈Ω4

（C）Ω4=Æ空集（D）

答（）

12、设Ω1:

x2+y2+z2≤R2;z≥0.Ω2:

x2+y2+z2≤R2;x≥0;y≥0;z≥0.则

（A）z99dv=4x99dv.（B）y99dv=4z99dv.

（C）x99dv=4y99dv.（D）（xyz）99dv=4（xyz）99dv.

答（）

13、设Ω为正方体0≤x≤1;0≤y≤1;0≤z≤1.f（x,y,z）在Ω上可积，试问下面各式中哪一式为f（x,y,z）在Ω上的三重积分的值。

（A）（B）

（C）（D）

答（）

14、设，则I满足

答（）

15、函数f（x,y）在有界闭域D上连续是二重积分存在的

（A）充分必要条件；（B）充分条件，但非必要条件；

（C）必要条件，但非充分条件；（D）既非充分条件，又非必要条件。

答（）

16、若区域D为|x|≤1,|y|≤1,则

（A）e;（B）e－1;（C）0;（D）π.

答（）

17、二重积分（其中D：

0≤y≤x2,0≤x≤1）的值为

答（）

18、设有界闭域D1与D2关于oy轴对称，且D1∩D2=f,f（x,y）是定义在D1∪D2上的连续函数，则二重积分

答（）

19、设Ω为单位球体x2+y2+z2≤1,Ω1是Ω位于z≥0部分的半球体，

I=（x+y+z）f（x2+y2+z2）dv,则

（A）I>0（B）I<0

（C）I=0（D）I=2（x+y+z）f（x2+y2+z2）dv

答（）

20、设Ω为一空间有界闭区域，f（x,y,z）是一全空间的连续函数，由中值定理

而V为Ω的体积，则：

（A）若f（x,y,z）分别关于x,y,z为奇函数时f（ξ,η,ζ）=0

（B）必f（ξ,η,ζ）≠0

（C）若Ω为球体x2+y2+z2≤1时f（ξ,η,ζ）=f（0,0,0）

（D）f（ξ,η,ζ）的正负与x,y,z的奇偶性无必然联系

答（）

二、填空题（共20小题，20分）

1、根据二重积分的几何意义

=___________.其中D：

x2+y2≤1.

2、设Ω是一空间有界闭区域，其上各点体密度为该点到平面Ax+By+Cz=D的距离平方。

则Ω质量的三重积分公式为________________.

3、设D：

x2+y2≤2x,由二重积分的几何意义知=________.

4、设函数f（x,y）在有界闭区域D上连续，且f（x,y）＞0,则的几何意义是

__________________.

5、二次积分f（x,y）dy在极坐标系下先对r积分的二次积分为

____________.

6、设积分区域D的面积为S,（r,e）为D中点的极坐标，则_________.

7、根据二重积分的几何意义

其中D：

x2+y2≤a2,y≥0,a＞0.

8、设函数f（x,y）在有界闭区域D上有界，把D任意分成几个小区域Δσi（i=1,2,…,n），在每一个小区域Δσi上任取一点（ξi,ηi）,如果极限存在（其中入是___________________），则称此极限值为函数f（x,y）在D上的二重积分，记作

9、设积分区域D的面积为S，则

10、设f（t）为连续函数，则由平面z=0，柱面x2+y2=1和曲面z=[f（xy）]2所围立体的体积可用二重积分表示为___________________________________________.

11、设f（x,y,z）在有界闭区域Ω上可积，Ω=Ω1∪Ω2,，则

I=f（x,y,z）dv=f（x,y,z）dv+_____________________________________。

12、设Ω为空间有界闭区域，其上各点的体密度为该点到平面Ax+By+Cz+D=0的距离。

则Ω关于直线的转动惯量的三重积分公式为_________________.

13、设D：

x2+y2≤4,y≥0,则二重积分

14、设Ω1:

x2+y2+z2≤R2,Ω2:

x2+y2+z2≤R2;x≥0;y≥0;z≥0.u=f（t）是（－∞,+∞）上的偶函数，且在（0，+∞）上严格单调增加，则

（A）xf（x）dv=4xf（x）dv（B）f（x+z）dv=4f（x+z）dv

（C）f（x+y）dv=4f（x+y）dv（D）f（xyz）dv=4f（xyz）dv

答（）

15、二次积分f（x,y）dy在极坐标系下先对r积分的二次积分为___________.

16、=___________________。

17、设平面薄片占有平面区域D，其上点（x,y）处的面密度为μ（x,y），如果μ（x,y）在D上连续，则薄片的质量m=__________________.

18、设区域D是x2+y2≤1与x2+y2≤2x的公共部分，试写出在极坐标系下先对r积分的累次积分_________________.

19、设Ω为一有界闭区域，其上各点的体密度为ρ（x,y,z）.设M为其质量，而（,,）为其重心，Ω关于xoy平面的静矩定义为：

Mxy=M,Mxy的三重积分计算式为________________.

20、设函数f（x,y）在有界闭区域D上有界，把D任意分成n个小区域Δσi（i=1,2,…,n）,在每一个小区域Δσi任意选取一点（ξi,ηi）,如果极限

（其中入是Δσi（i=1,2,…,n）的最大直径）存在，则称此极限值为______________的二重积分。

三、计算题（共20小题，20分）

1、计算二重积分

其中

2、设Ω是由x=0,y=0,z=0,x=1－y2及所围的有界闭区域。

计算I=.

3、设D是由直线x+y=a,x+y=b,y=αx,y=βx所围的有界闭区域（0

4、设Ω是由x2+y2=R2;z=0;z=1;y=x;y=所围恰好位于第一卦限部分的一立体。

试求积分I=.

5、设Ω是由曲面x2+y2=1,z=0,z=1所围的有界闭区域，计算.

6、设Ω是由bz≤x2+y2+z2≤az（a>b>0）所确定的闭区域。

试计算

7、计算二重积分

其中D：

0≤y≤sinx,.

8、计算二重积分其中D是由抛物线y2=2px和直线x=p（p>0）所围成的区域。

9、设Ω是由曲面z=x2+y2,z=2（x2+y2）,xy=1,xy=2,y=2x及x=2y所围位于x≥0及y≥0

部分的闭区域。

试计算I=

10、计算三重积分I=，其中Ω是由所围位于部分的立体

11、设Ω是由a2≤x2+y2≤2a2（a>0），y≥0，z≤0以及所确定的闭区域。

试计算

12、计算二重积分其中D：

x2+y2≤1.

13、由二重积分的几何意义，求

14、计算二重积分其中积分区域D是x2+y2≤a2（a>0）.

15、设Ω是由以及0≤z≤sin（x+y）所确定的立体。

试计算

16、计算二次积分

17、计算二重积分

其中

18、计算二重积分其中D：

x≤y≤,0≤x≤1.

19、设Ω是由,y=0,z=0及所围的有界闭区域。

试计算.

20、计算二重积分其中D是由直线x=－2,y=0,y=2及左半圆x=所围成的区域。

四、证明题（共20小题，20分）

1、试证：

在平面薄片关于所有平行于oy轴的轴的转动惯量中，对于穿过重心的轴所得的转动惯量最小。

2、设f（t）是连续函数，证明

3、锥面x2+y2－z2=0将闭区域x2+y2+z2≤2az（a>0）分割成两部分，试证其两部分体积的大小之比为3：

1.

4、设函数f（x,y）在有界闭域D上连续，且D可以分为两个闭域D1和D2，证明

5、设f（u）为可微函数，且f（0）=0,证明

6、设函数f（x,y）在有界闭域D上连续，且M，m分别是f（x,y）在D上的最大值与最小值，证明：

其中σ是D的面积。

7、设Ω为单位球体x2+y2+z2≤1,试证可选择适当的坐标变换，使得

（a2+b2+c2=1）

8、设f（x,y）为区域D：

上的连续函数，试证

9、设函数f（x,y）和g（x,y）在D上连续，且f（x,y）≤g（x,y）,（x,y）ÎD，利用二重积分定义证明：

10、设f（x）是[a,b]上的连续正值函数，试证不等式：

其中D：

a≤x≤b,a≤y≤b.

11、设f（u）为连续函数，试证

12、设Ω是上半单位球体x2+y2=z2≤1,z≥0,f（x,y,z）在Ω上连续，试利用球面坐标积分方法证明（ξ，η，ζ）∈Ω使得

13、设p（x）是[a,b]上的非负连续函数，f（x）,g（x）是[a,b]上的连续单增