数学北师大版九年级下册二次函数的应用矩形的面积.docx
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数学北师大版九年级下册二次函数的应用矩形的面积
章节名称
二次函数的应用（面积问题）
计划学时
1
学习内容
分析
本节课是在学会配方法的基础上，对实际问题的第一次应用，对于面积问题，在课堂教学中，着重是长方形的面积问题。
学习者分析
学生在前两节课已经学会了
的性质，在上一节课中学会了把
配方成上面式子的方法。
因而，上两节课过关的话，本节课可以轻松完成任务。
教学目标
课程标准：
通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
知识与技能：
1、通过图形之间的关系列出函数解析式
2、用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题
过程与方法：
通过图形间的关系，进一步体会二次函数，面积变化的思想情感、态度与价值观：
通过本节课的教学，使学生能够正确面对困难，迎接挑战的坚强品质，为巩固二次函数运用打下了基础
教学重点及解决措施
用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题，在本课时中，我们主要解决的是如果求长方形面积的最大值问题。
我们在学习过程中，首先是设长方形的其中一条边为
，而另外一边则通过一定的关系找出来，并用含有
的代数式表示，那么就可以表示到长方形的面积，最后就是利用配方法解决这个函数的最值问题了。
教学难点及解决措施
通过图形之间的关系列出函数解析式，这个是本节课最难的地方，实际上，只要设好其中一边为
，而另外一边用含有
的代数式表示，那么长方形的面积就可以得到了。
教学设计思路
1、通过前置作业前面三题让学生回忆二次函数的图象和顶点坐标的求法，实际就是复习配方法
2、利用配方法解决二次函数的最大（小）值问题
3、把二次函数用在实际生活中，应该怎么样去处理。
学生求最值时可能还会利用顶点公式求,忽略定义域的限制,但实际问题中都受现实条件的制约,做完练习后及时让学生总结出了取最值的点的位置往往在顶点和两个端点之间选择,为学习新课做好知识铺垫。
依据的理论
1、数学学习的内容不仅包括数学的一些现成结果，还包括结果的形成过程。
这里的“过程”大体上包括两个方面：
（1）发现和分析实际问题的组成部分，并对这些成分作符号化处理，把一个实际问题转化为数学问题。
（2）在数学范畴之内对已经符号化了的问题做进一步抽象化处理，从符号一直到尝试建立和使用不同的数学模型，发展更为完善、合理的数学概念框架。
在这样的过程中，客观的数学知识被赋予了学习者的智慧、情感，从而成为有生命力的、富有个性的数学知识。
在这样的过程中，学生经历了成功的喜悦，增进了学好数学的信心，形成了应用意识及创新精神。
2、动手实践，自主探索，合作交流是重要的数学学习方式。
这就要求，学生要有充分的从事数学活动的时间和空间，在自主探索、亲身实践、合作交流的氛围中，解除困惑，更清楚地明确自己的思想，并有机会分享自己和他人的想法。
在亲自体验和探索中认识数学，解决问题，理解和掌握基本的数学知识、技能和方法。
在合作交流、与人分享和独立思考的氛围中倾听、质疑、说服、推广直至感到豁然开朗，这是数学学习的一个新境界，数学学习变成学生的主体性、能动性、独立性不断生成、张扬、发展、提升的过程。
信息技术应用分析
知识点
学习水平
媒体内容与形式
使用方式
使用效果
二次函数的配方
掌握二次函数的配方
试卷内容
学生讨论
加深学生对上节课内容的理解
二次函数的最大（小值）
掌握如果求二次函数的最大值
试卷内容
学生讨论
通过熟悉顶点坐标，学生容易掌握，效果明显好
利用二次函数求长方形面积的最大值
理解并熟练运用二次函数求长方形的面积
PPT，试卷内容
学生成果用投影仪展示
通过活动的长和宽，熟悉长方形面积的变化
教学过程
教学
环节
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
活动1
知识回顾，讨论前置作业中配方法的使用
1、把
配方可得
当
时，图象开口向
，
有最
值
当
时，图象开口向
，
有最
值
2、将下列两个二次函数进行配方
（1）
（2）
5分钟
学生在自主完成相应内容的基础上，互相讨论所做的题目，为本节课内容打好基础。
承上启下，通过回顾配方法，可以得到形如
的形式，那么可以找到其顶点坐标为
，实际上，当
时，则可以找到函数的最大（小）值，而这过程中，还需要看二次项系数
大于0还是小于0
活动2
如何求函数的最大值
1、自变量x为何值时，二次函数y＝－2x2＋20x
（0＜x＜10）取得最大值
2、自变量x为何值时，二次函数y＝－100x2＋100x＋200（0≤x≤2）取得最大值
5分钟
学生完成，并讨论什么时候取得最大值
运用配方法，可以得到顶点式，从而知道顶点坐标，那么函数的最大值自然很容易得到。
例题讲解，学会如何找出长方形两边之间的关系，并通过配方法找出长方形面积的最大值
1、用6m长的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？
最大透光面积是多少？
5分钟
学生听课，例题讲解，老师引导学生设好长方形的宽后，如何找出长
在设好其中一边为
的情况下，利用题目中的数据，找出如何利用含有
的代数式表示长方形的另外一边，从而可以得到长方形的面积，接着就是利用配方法求这个长方形面积的最大值。
特别的，由于这是实际问题，所以还要找出
的取值范围，看看是否符合题意
活动3
总结反思，完成课堂练习前3题，熟悉长方形两边之间的关系
1、如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，应选择窗子的长、宽各为多少米？
2、张伯伯准备利用现有的一面墙和40ｍ长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场。
回答下面的问题：
（1）设每个小矩形一边的长为xm，设四个小矩形的总面积为ym2，请写出用x表示y的函数表达式。
（2）你能利用公式求出所得函数的图象的顶点坐标，并说出y的最大值吗？
（3）若墙的长度为10米，x取何值时，养兔场的面积最大？
10分钟
学生自主完成练习，并能如何求面积的最大值
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.利用配方法对所列函数关系式数学求解;
5.检验结果的合理性。
活动4
深化提高，会找三角形中长方形面积的最大值
1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上。
（1）如果设矩形的一边
，那么AB边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为
，当x取何值时，y的最大值是多少?
2、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
（1）如果设矩形的一边
，那么AB边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为
，当x取何值时，y的最大值是多少?
长和宽各是多少米？
15分钟
学生自主完成练习，并能如何求面积的最大值
在三角形中的长方形，如果要求最大值，必须通过先证相似才能够达到目的，如果学生在这方面缺乏的，一定要补充说明
活动5布置作业，拓展升华
1、在某市开展的创城活动中，桃园小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图2所示）．若设花园的BC的边长为x（cm），花园的面积为y（m2）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量是x的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？
若能，求出此时x的值；若不能，说明理由；
（3）根据
（1）中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大？
最大面积为多少？
2、在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。
如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）t为何值时S最小？
求出S的最小值。
5分钟
课
堂
教
学
流
程
图
教
学
反
思
二次函数的应用——求面积问题这节课是在学生掌握如何配方的基础上面，结合生活中实际内容产生的一节课。
在这节课主要是求长方形的最大值，因而是已经降低了难度。
也就是说只要能够配方的话，马上就可以知道最大值了。
但实际应该过程中，学生往往对配方中符号的变化判断错误；而最难的问题在于学生对图象的表示有所欠缺，在教学过程中出现了这样的情况，所以今后教学中，一定注意图象各条线段之间的关系，从而更加容易得到长方形的面积
D
M
教师引导学生回顾所学内容
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