备战高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题17恒成立问题数形结合法.docx

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备战高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题17恒成立问题数形结合法

专题17恒成立问题——数形结合法

【热点聚焦与扩展】

不等式恒成立问题常见处理方法：

①分离参数

恒成立（

可）或

恒成立（

即可）；②数形结合（

图象在

上方即可）；③讨论最值

或

恒成立；④讨论参数.

1、函数的不等关系与图象特征：

（1）若

，均有

的图象始终在

的下方

（2）若

，均有

的图象始终在

的上方

2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数

3、要了解所求参数在图象中扮演的角色，如斜率，截距等

4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）

5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备

6、什么情况下会考虑到数形结合？

利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：

（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图

（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义

（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征

【经典例题】

例1．【2018届浙江省金华十校4月模拟】若对任意的

，存在实数

，使

恒成立，则实数

的最大值为__________．

【答案】9

【解析】若对任意的

，

恒成立，可得：

恒成立，

令

，

，

原问题等价于：

，结合对勾函数的性质分类讨论：

（1）当

时，

，

，

原问题等价于存在实数

满足：

，

故

，解得：

，则此时

；

（2）当

时，

，

，

原问题等价于存在实数

满足：

，

原问题等价于存在实数

满足：

，

故

，解得：

，则此时

；

当

时，

，

原问题等价于存在实数

满足：

，

故

，解得：

，则此时

；

综上可得：

实数

的最大值为

.

点睛：

对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

（1）a≥f（x）恒成立⇔a≥f（x）max；

（2）a≤f（x）恒成立⇔a≤f（x）min.

例2.【2018届一轮训练】已知log

（x＋y＋4）

（3x＋y－2），若x－y≤λ恒成立，则λ的取值范围是______________．

【答案】[10，＋∞）

点睛：

线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：

一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

例3．已知函数

在

上不单调，则实数

的取值范围是__________．

【答案】

【解析】已知函数

定义域为

，

，

，令

，图象如图，

∵函数

在

上不单调，

∴区间

在

零点1或3的两侧，

或

，

解得

或

.

即实数

的取值范围是

.

点睛：

利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值（范围）时，隐含恒成立思想

例4．【2018届二轮训练】对于0≤m≤4的任意m，不等式x2＋mx>4x＋m－3恒成立，则x的取值范围是________________．

【答案】（－∞，－1）∪（3，＋∞）

【解析】不等式可化为m（x－1）＋x2－4x＋3>0在0≤m≤4时恒成立．

令f（m）＝m（x－1）＋x2－4x＋3.结合二次函数的图象得

⇒

⇒

即x<－1或x>3.

故答案为：

（－∞，－1）∪（3，＋∞）

例5.已知不等式

在

上恒成立，则实数

的取值范围是_________

【答案】

可得：

，综上可得：

.

【名师点睛】

（1）通过常系数函数图象和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围.

（2）学会观察图象时要抓住图象特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的

）.

（3）处理好边界值是否能够取到的问题.

例6.若不等式

对于任意的

都成立，则实数

的取值范围是___________

【答案】

【解析】本题选择数形结合，可先作出

在

的图象，

扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得

，观察图象进一步可得只需

时，

，即

，所以

例7.已知函数

，若对任意的

，都有

成立，则实数

的取值范围是_____________

【答案】

【名师点睛】本题也可以用最值法求解：

若

，则

，而

是开口向上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以

，再解出

的范围即可.

例8.已知函数

若直线

与函数

的图象只有一个交点,则实数

的取值范围是________.

【答案】

或

【解析】作出函数f（x）的图象如图,

例9.已知函数

是定义在

上的奇函数，当

时，

，若

，则实数

的取值范围是_____________

【答案】

【解析】

是奇函数且在

时是分段函数（以

为界），且形式比较复杂，恒成立的不等式

较难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值法.从数形结合的角度来看，一方面

的图象比较容易作出，另一方面

可看作是

的图象向右平移一个单位所得，相当于也有具体的图象.所以考虑利用图象寻找

满足的条件.先将

写为分段函数形式：

，作出正半轴图象后再根据奇函数特点，关于原点对称作出

负半轴图象.

恒成立，意味着

的图象向右平移一个单位后，其图象恒在

的下方.通过观察可得在平移一个单位至少要平移

个长度，所以可得：

答案：

.

例10【2018届河南省高三4月考试】已知函数

.

（1）若

在

处取得极值，求

的值；

（2）若

在

上恒成立，求

的取值范围.

【答案】

（1）

；

（2）

上恒成立，

时再分两种情况讨论可得

时，

在

上恒成立，当

时，根据二次函数的性质可得不满足题意，进而可得结果.

试题解析：

（1）

，

∵

在

处取到极值，

∴

，即

，∴

.

经检验，

时，

在

处取到极小值.

（2）

，令

，

①当

时，

，

在

上单调递减.

又∵

，∴

时，

，不满足

在

上恒成立.

时，

，

单调递增，∴

.

又∵

，∴

，故不满足题意.

③当

时，二次函数

开口向下，对称轴为

，

在

上单调递减，

，∴

，

在

上单调递减.

又∵

，∴

时，

，故不满足题意.

综上所述，

.

【精选精练】

1．【2018届东莞市高三毕业班第二次综合考试】已知函数

若不等式

恒成立，则实数

的取值范围为（）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

2.若函数

有极大值点

和极小值点

，则导函数

的大致图象可能为（）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

则导函数在区间

上为正数，在区间

上为负数，在区间

上为正数；

观察所给的函数图象可知，只有C选项符合题意.

本题选择C选项.

3．已知函数

在区间

上是增函数，则实数

的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】二次函数

的对称轴为

；∵该函数在

上是增函数；∴

，∴

，∴实数

的取值范围是

，故选B.

4.若

不等式

恒成立,则

的取值范围是______

【答案】

或

【解析】思路：

本题中已知

的范围求

的范围，故构造函数时可看作关于

的函数，恒成立不等式变形为

设

即关于

的一次函数，由图象可得：

无论直线方向如何，若要

，只需在端点处函数值均大于0即可，即

解得：

或

答案：

或

【名师点睛】

（1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知，则以该字母作为自变量构造函数.

（2）线段的图象特征：

若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧.

（3）对点评

（2）的推广：

已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与端点同侧.

5.设

，若

时均有

，则

_________

【答案】

答案：

6.【2018届二轮训练】当实数x，y满足

时，ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【解析】

要使平面区域在直线

的下方，则只要

在直线上或直线下方即可，即

，得

，综上

，所以实数

的取值范围是

，故答案为

.

7．【2018届二轮训练】已知函数f1（x）＝|x－1|，f2（x）＝

x＋1，g（x）＝

＋

，若a，b∈[－1,5]，且当x1，x2∈[a，b]时，

＞0恒成立，则b－a的最大值为________．

【答案】5

【解析】

且

恒成立，

在区间

上单调第增，

∵函数

当

时，

，单调减；

当

单调增；

当

时，

，单调递增．

的最大值为

．

故答案为5.

8．【2018届吉林省长春市高三监测（三）】已知函数

，若

，则实数

的取值范围是___________.

【答案】

9．【2018届吉林省长春市高三监测（三）】已知函数

，若

，则实数

的取值范围是___________.

【答案】

【解析】当

，

当

，

故

.

故答案为：

10．当

时，不等式

恒成立，则实数

的最大值是__________．

【答案】3

【解析】令

，则由题意可知

，

∵

，

∴

，

当且仅当

，即

时，等号成立，

∴

，从而

．

故实数

的最大值是

．

故答案为：

3.

另法：

的图象即函数

的图象向右、向上均平移1单位得到，结合图象可得解.

11．【2018届宁夏银川高三4月模拟】已知函数

是定义在

上的奇函数，当

时，

，给出以下命题：

①当

时，

；

②函数

有

个零点；

③若关于

的方程

有解，则实数的取值范围是

；

④对

恒成立，

其中，正确命题的序号是__________．

【答案】①④

若方程

有解，则

，且对

恒成立，故③错误，④正确.

故答案为①④.

12．函数

的定义域为

（

为实数）.

（1）若函数

在定义域上是减函数，求

的取值范围；

（2）若

在定义域上恒成立，求

的取值范围.

【答案】

（1）

；

（2）

【解析】试题分析：

（1）利用单调性的定义，根据函数

在定义域上是减函数，可得不等式

恒成立，从而可求

的取值范围；

（2）利用分离参数思想原题意等价于

恒成立，

∵

，∴函数

在

上单调减，

∴

时，函数取得最小值

，即

.