相似三角形题型归纳总结非常全面.docx
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相似三角形题型归纳总结非常全面
相似三角形题型归纳
一、比例的性质:
比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：
—=—<=>
亠上O3x=2y
23
（2）反比性质：
（必〃工0）baac
xy23
T=〒o_=—（xy0）
23xy
（3）更比性质：
或bdca
—=—（abedH0）ba
扌諾o亠彳或2諾5工0）
23>3x2
（4）合比性质：
-=-<=>^—=——（W*0）baba
a2x+y2+3“…_。
_（v*0）
y3y3
（5）分比性质：
a-c^U~h-C~l/（加h0）bdbd
y_3oy—x_3—2（20）
x2X2
⑹合分比性质：
bda-bc_d
（bd工0,aHb,c工d）
x2x+y2+3z八一=厅0—（yHOn）
y3x-y2-3
（7）等比性质：
acmz.fc、
—=—=・・・=—（b+d+…+“h0）bdn
a+c+--+ma,Ax
zz>=——（Z?
+d+•・・+nH0）
b+d+・・・+打b
234
已知-=-=->则当x+f+zhO时，
xyz
2_3_4_2+3+4
xyzx+y+z^
二、成比例线段的概念：
1.比例的项：
在比例式cr.b=c：
d（即纟=上）中，a,d称为比例外项，b,c称为比例内项.特别地，hd
在比例式a\b=b.c（即上=?
）中，b称为a,c的比例中项，满足b2=ac・
bc
2.成比例线段：
四条线段6b,Gd中，如果Q和b的比等于C和d的比，即-=那么这四条线
bd
段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.
3.黄金分割：
如图，若线段M上一点C,把线段朋分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC
是和BC的比例中项（即AC2=ABBC）,则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段&8的黄金分割点，其中AC=^1AB^Q.61SAB,=Q0.382AB,ACAB
22
的比叫做黄金比.（注意：
对于线段A3而言，黄金分割点有两个.）
•••
ACB
三.平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理
两条直线被三条平行线所截.所得的对应线段成比例.简称为平行线分线段成比例立
ABDE
BCEF
如
AFBE
ACAB
AE_AFAE_AFEB^FCAB^AC
—=SLEFT/BC&F
△ABCsMBCZB=ZB',ZC=ZCr
ZA=ZA\
AB_BC_AC
A^=WC=A^C
A
A'
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如&B）称为上，位置靠下的称为下，两条
线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为二=二，空=刍rr全全
2.平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.如
AEAFAE
EF=
AABC△A'B'C'AM、AHADAABCBCA!
MfA!
HrA!
D9AA0CBfC
AB_BC_ACAM_AH_AD7^=^C=A^C==A^r=A7T=WD;
AABC/\A!
BfC
ABBCACAB+BC+AC;
而一而一而一A®+B'C'+AC一
EBFCAB
△△
BCB、C9
>
△=Z4‘ZZ?
=ZZTAABCsMBC
砂B'C'A'C'SCsMBC
ABAC
A®ACZA_ZA
△ABCs/WBC
4
DE//BCoHADEsAABCoA°-AE-DE
ABACBC
AB
A
AB〃CDo'AOBsHCODO竺=竺=竺
CDOCOD
DG_AN
△ABCAADGs^ABCBCZBAC=90°/\ADGsHEBDs&GCsMBC
E
MFC
A
E
A
A
A
A
ZAED=ZB
AABCszMED
AEAC=ADAB
/
I
c
AE
AD_
AC
DE
~BC
B
A
ZACD=ZB
△ABCsAACD
/
d
AC
AD
CD
八/
\
AC2=ADAB
[）/
\
AB
AC
BC
B
c
A
/\
ZAED=ZB
^ABC^AAED
/
\
AE
AD
DE
\
AEAC=ADAB
、\厂
AB
AC
BC
a
AB1.BD
AABCsMDE
ABDE=BCCD
ED丄BD
AC丄EC
BD
AABCs*DEsAACE
E
ZABC=ZCDE=ZACE
Z^ABCsMDE
ABDE=BCCD
ABBCAC
CD^^DE^CE
CBD
AABCs*DEsAACE
ADAC
MBCMCDE&=忑CBDBJCD
ABAC
ABBC
ZABC=ZACE
AABCZA4C
ABBD
AC=CD
A
AABD^ACAD
ZB=ZCAD
ZC=ZBAD
AB2=AD2+BD2AC2=AD2+CD2BC2=
=AB2+AC2
DC
CCE//ADBAECE//ADZ1=Z£Z2=Z3ADZBACZ1=Z2
AE=ACCE〃AD^=竺竺=竺
AECDACCD
AABCABAC
ABBD
AC=CD
A
F；VE
A
w
/n
BMC
BMC
ENBM
.ENBM
EF//BC
EF//BC一
NFMC
NFMC
x+3y—z
x-3y+z
abcH0
a+b.
x=ky=
=3kz
=5k
x+3y-z
k+9k-5k
5
=——
c_2b
x一3y+z
k-9k—5k
3
11-2
x:
y=2:
3
x+y
5
y-x1
x_1
x+1
3
y
3
y3
2y3
y+i
x:
y:
z=1:
3:
5
--"V+加=动=4<・xyz3x-y
D
2a-c+3eb+c-a
c+a-b
x1—工_a+b—c（a+b）（b+c）（a+c）y]
2b—d+3/a
b
cabc
4
“_c_幺_2a+c
K"7"7~3b+d
2a—c+3e_2
2b-d+3f"3
b+c-ac+a-ba+h-c（b+c-a）+（c+a-b）+（u+h—c）====1abca+h+c
（a+h）（h+c）（a+c）
=8
abc
ubc
==—丄\ndf
abc7〃从矿百Q〃be〃cf44
b+c=2a,a+c=2b,u十b=2c
a+h+c=O
（a+b）（b+c）（a+c）（~c）・（一“）•（-b）
DE=
EF=
'ABE
121^//厂U・<*_Cf_C・_S,\abe_'£\E1）B
QL//V/…J△皿=UdEB°ACfi£=、ZEB…=T=T
ADV
=\AD//BE
BCS^be
—-—A〃/，〃/3
2221
DE
'EF
AH9
AG=0.6cmBG=1.2cmCP=1.5cmCH=AABC—=-AE=3BD3
AC=AC=3BD=3
CD=2CE=
£5
T
ZADC=90QAD//BCZDFC=ZAEBZXADF^ACAEAD=8DC=6AD〃BC
ZDAF=ZACESFC=ZAEBZDFA=ZAECAA£>F^AC4EAD=8DC=6AC=10.123
x6=
2
g52sg沁善忌CE弓BC弓
△ABCZXDEFZA=90°"=90。
AC=5BC=\3DF=\0EF=26ZC=85°ZE=85°
—=—AB=\AC=1・5BC=2EF=8DE=10FD=\6ZA=46°4=80。
Z£=45°BCDF
•・・AD=AC・•・ZFDC=ZACB•・•DE・••EB=ECZABC=ZFCD••AABCsLCD（3）由等
腰直角三角形得到心加Mac条件变为妙①冷―倍"巴
题型一亀财：
字和“8”字模型
例题1
（1）如图4-1,已知口A3CD中，过点8的直线顺次与AC.AD及CD的延长线相交
于点QF、G,若BE=5,EF=2,则FG的长为・
解析:
（2）如图4・2,已知在口4BCD中，M、N为的三等分点，DM、DN分别交AC于几Q两点，
•••AAEFsMEB,AGFD^AGBC,：
.—=—=19：
.2L=AI）~AF=1
CB
EB
5CB
CB
5
•FG
DF3
即FG
3
得FG=10・5・
BG
CB5
FG+7
5
（2）!
3由
DC〃
AB,得
AP
PC
AM1
==—9
AB3
=-AC,
4
同理
2
AQ=^AC,
5
吟获冷心却C,心AC,故Ap：
p0：
ec=l：
^：
|=5:
3：
12
巩固4
（1）如图4」在ZV1BC中，M、E把&C边三等分，MN//EF//BC.MN、EF把ZVIBC
分成三部分，则自上而下部分的面积比为.
（2）如图4・2,AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F,且AB=1,CD=3、则的值为.
（3）如图43已知在平行四边形&BCD中.M为的中点，DM,D3分别交&C于P,Q
两点，则AP：
PQ：
QC=
图44
图4・3
解析：
（1）1：
3:
5：
（2
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